高等代数知识点总结第三版王萼芳与石生明编 .docx

《高等代数知识点总结第三版王萼芳与石生明编 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数知识点总结第三版王萼芳与石生明编 .docx（21页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品名师归纳总结第四章矩阵学问点考点精要一矩阵及其运算1.矩阵的概念（ 1）由 sn 个数 aij （ i=1 ,2 s。j=1,2 n）排成 n 行 n 列的数表a11a1n,称为 s 行 n 列as1asn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵,简记为Aaijsn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）矩阵的相等设 Aaij mn , Baij lk,假如 m=l ,n=k ,且 ajibij,对 i=1 ,2 m。j=1,2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结都成立,就称 A 与 B 相等,

2、记 A=B 。（ 3）各种特殊矩阵行矩阵,列矩阵,零矩阵,方阵（上）下三角矩阵,对角矩阵,数量矩阵,单位矩阵。2. 矩阵的运算（ 1）矩阵的加法a11a1n+b11b1n=a11b11a1nb1nas1运算规律：asnbs1bsnas1bs1asnbsni) A+B=B+A iA+B+C=A+B+Ciii A+O=Aiv ）A+-A=O（ 3）数与矩阵的乘法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11kas1a1nasnka11kas1ka1nkasn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算规律：（ k+l ） A=kA+lA,kA+B=ka+kB k lA =klAlA

3、=A.（ 3）矩阵的乘法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a1nb11b1nc11c1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结as1asnbs1bsncm1cmn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 cijai 1b1 jai 2b2 j.ainbnj ,i1,2,.s; j1,2.m运算规律：i（ AB ）C=ABC iAB+C=AB+ACiii B+CA=BA+CAiv ）kAB=A kB =kAB一般情形,ABBAAB=AC,AAB=00B=CA=0 或 B=0（ 4）矩阵的转置a11Aas1运

4、算规律：a1na11as1A 的转置就是指矩阵Aasna1 nasni） A Aii ） ABABiii ） ABB Aiv ） kAkA（ 5）方阵的行列式a11a1na11a1n设方阵 AA 的行列式为Aa s1asnas1asn运算规律：iAAiikAknAiiiABA BBA ,这里 A,B 均为 n 级方阵。二矩阵的逆1.基本概念（ 1）矩阵可逆的定义n 级方阵 A 称为可逆的,假如有n 级方阵 B,使得 AB=BA=E ,这里 E 是单位矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）相伴矩阵a11a1nA11A1n设 A 是矩阵ijA中元素 aij的代数余子式,矩阵

5、A*an1annAn1Ann随矩阵。2. 基本性质（ 1）矩阵 A 可逆的充分必要条件是A 非退化（A0 ）,而 A 1A*A（ 2）假如矩阵 A , B 可逆,那么A 与 AB 也可逆,且 A 1 A1 AB1BA113 设 A 是 sn 矩阵,假如 P 是 ss 可逆矩阵, Q 是 nn 可逆矩阵,那么 秩（ A ） =秩（ PA） =秩（ AQ ）三分块矩阵明白分块矩阵的概念及运算,特殊是准对角矩阵的性质。对于两个有相同分块的准对角矩阵A10B10A,B假如它们相应的分块是同级的,就0Al0BlA1B10（ 1） AB0A1Al BlB10（ 2） AB（ 3）A0A1 A2AiAlBl

6、A110（ 4）A 可逆的充要条件是A , A .A 可逆,且此时,12iA 10A1l称 A 的伴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四初等变换与初等方阵1. 基本概念（ 1）初等变换i) 用一个非零的 数 k 乘矩阵的第 i 行（列）记作 rikcik可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ii) 互换矩阵中 i , j 两行（列）的位置,记作rir j cicj 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iii ）将第

7、i 行（列）的 k 倍加到第 j 行（列）上,记作 r jkri c jkci 称为矩阵的三种初等行（列）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵。初等行,列变换称为初等变换所得到的矩阵。（ 2）初等方阵单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。、2. 基本性质（ 1）对一个 sn 矩阵 A 作一次初等 行变换就相当于在 A 的左边乘上相应的ss 初等矩阵。对 A作一次初等 列变换就相当于在 A 的右边乘上相应的nn 初等矩阵。10000100001000000000（ 2）任意一个 sn 矩阵 A 都与一形式为的等价, 它称为矩阵 A 的标准型,主对角线上 1 的个数等于 A 的秩。（

8、 3）n 级矩阵 A 为可逆的充分必要条件是,它能表示成一些初等矩阵的乘积。（ 4）两个 sn 矩阵 A , B 等价的充分必要条件是,存在可逆的s 级矩阵 P 与可逆的 n 级矩阵 Q,使B=PAQ 。3. 用初等变换求逆矩阵的方法把 n 级矩阵 A,E 这两个 nn 矩阵凑在一起, 得到一个 n2n 矩阵（ AE ）,用初等行变换把它的左1边一半化成 E,这时,右边的一半就是A。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第五章 二次型学问考点精要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 二次型及其矩阵表示（ 1）二次型设 P是 一 数 域 , 一 个 系 数 在 数 域

9、P中 的x1, x2 ,., xn的 二 次 齐 次 多 项 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x , x ,x a x22a x x2a x xax22ax xax2称 为 数 域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n11 112 1 21n 1 n22 22n2 nnn n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P 上的一个 n 元二次型。（ 2）二次型矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 f x1, x2,xn是 数 域 P上 的 n元 二 次 型 ,f x1, x2,xn可 写

10、 成 矩 阵 形 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1, x2 ,xn X AX可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 x= x , x ,x , A= a, AA。 A 称为二次型f x , x ,x 的矩阵。秩（ A ）称为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12nijn n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次型f x1, x2 ,xn 的秩。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

11、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）矩阵的合同数域 P 上 nn 矩阵 A,B 称为合同的,假如有属于P 上可逆的 nn 矩阵 C,使BC AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 标准型及规范性定理数域 P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准型d y2d y2d y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 122nn用矩阵的语言表达,即数域P 上任意一个对称矩阵合同于一个对角矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化

12、的线性替换化成规范型z2z2.z 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212r规范形是唯独的。定 理任 意 一 个 实 系 数 的 二 次 型 经 过 一 适 当 的 非 退 化 的 线 性 替 换 化 成 规 范 型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z2.z2z2z2且规范形是唯独的,其中p 称为此二次型的正惯性指数,q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1pp 1p q称为此二次型的负惯指数,2p-q 称为此二次型的符号差。3. 正定二次型及正定矩阵（ 1）基本概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i）正定二次型实二次型f x1, x2

13、,xn 称为正定的, 假如对于任意一组不全为零的实数c1, c2, ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结都有 f c1, c2 ,0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ii ）正定矩阵实对称矩阵 A 称为正定的,假如二次型X AX 正定。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iii ）负定 半正定 半负定 不定的二次型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 f x1, x2 ,xn 是 一 实 二 次 型 ,对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 实 数c1,c2,如 果可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

14、 欢迎下载精品名师归纳总结f c1, c2 , 0. ,那么f x1, x2 ,xn 称为负定的。假如都有f c1, c2 ,0. 那么称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1, x2 ,xn 为半正定的。 假如都有f c1, c2 , 0. ,那么f x1, x2,xn 称为半负定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的。假如它既不是半正定的又不是半负定的,那么f x1, x2 ,xn 就称为不定的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）正定二次型,正

15、定矩阵的判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于实二次型f x1, x2,x = X AX ,其中 A 是实对称的,以下条件等价;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ni) fx1, x2 ,xn 是正定的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iA 是正定的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iiif x1 , x2,xn 的正惯指数为 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iv ）A 与单位矩阵合同v） A 的各阶次序主子式大于零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第六

16、章 线性空间学问点考点精要一线性空间1. 线性空间的定义设 V 是一个非空集合, P 是一个数域。在集合V 的元素之间定义了一种代数运算。这就是说, 给出了一个法就, 对于 V 中的任意两个元素,在 v 中都有唯独的一个元素r 与它们对应, 称为与的和,记为 r。在数域 P 与集合 V 的元素之间仍定义了一种运算,叫做数量乘法。这就是说,对于属于P 中任意数 k 与 V 中任意元素,在 V 中都有唯独的元素与它们对应,称为k 与的数量乘积,记为k。假如加法与数量乘法满意下述规章,那么V 称为数域 P 上的线性空间。（ 1）（ 2）3 在 V 中有一元素 0,对于 V 中任意元素都有0（具有这个

17、性质的元素0 称为 V 的零元素）。（ 4）对于 V 中的每一个元素,都有 V 中的元素,使得0 （称为的负元素）（ 5） 1;（ 6） k lkl （ 7） kl kl（ 8） k kk2. 维数,基与坐标（ 1）假如在线性空间V 中有 n 个线性无关的向量。但是没有更多数目的线性无关的向量,那么V就称为 n 维的。假如在 V 中可以找到任意多个线性无关的向量,那么V 就称为无限维的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）假如在线性空间V 中有 n 个线性无关的向量1,2,.,n ,且 V 中任一向量都可以用它们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

18、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结线性表出,那么 V 是 n 维的,而1,2 ,.,n 就是 V 的一组基。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）在 n 维线性空间中, n 个线性无关的向量1, 2, ., n 称为 V 的一组基。设是 V 中任一向量 , 于 是 1,2,., n ,线 性 相 关 , 因 此可 以 被 基1, 2, ., n 唯 一 的 线 性 表 出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 1a1 1.an n , 其中系数1,2 ,.,n 称为在基 1,2, ., n 下的坐标,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

19、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结记（ 1,2 ,.,n ） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 基变换与坐标变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）设.,与 e , e ,., e是 n 维线性空间 V 中两组基,假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,1, 2,n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e, , e, ,., e,.,a11a1n矩阵 Aa1 1a 1n称为.,到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n1, 2,nan1annan1a nn1,2,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

20、总结,基 e1, e2 ,., en 的过度矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,（ 2）设.,与 e ,e ,., e 是 n 维线性空间 V 中两组基,由基.,到基 e, , e, ,., e,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1, 2,n12n1, 2,n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的过度矩阵为A ,向量在这两组基下的坐标分别为（x , x,., x x, x,., x, ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 x2就=A.xn 1xx2。.xn12n ）与12n可编

21、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二线性子空间1. 线性子空间（ 1）数域 P 中线性空间 V 的一个非空子集合W 称为 V 的一个线性子空间, 假如 W 对于 V 的两种运算也构成数域 P 上的线性空间。（ 2）线性空间 V 的非空子集 W 是 V 的子空间的充分必要条件是W 对于 V 的两种运算封闭。2. 子空间的交与和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）线性空间 V 的子空间V1,V2 的交与和,即 V1V2 ,V1V2 都是 V 的子空间。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）维数公式假如V

22、1,V2 是线性空间 V 的两个子空间,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结维（ V1 ） +维（V2 ） =维（ V1V2 ） +维（ V1V2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 子空间的直和（1） 设 V1,V2 是线性空间 V 的子空间,假如和 V1V2 中的每个向量的分解式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121V1 , 2V2是唯独的,这个和就称为直和,记为V1V2 。可编辑资料 - - -

23、 欢迎下载精品名师归纳总结2设 V1,V2 是线性空间 V 的子空间,以下这些条件是等价的：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i） V1V2 是直和ii ）零向量的表示式是唯独的iii ） V1V2 =0iv ）维（ V1V2 ） =维（ V1） +维（ V2 ）。三线性空间的同构1. 数域 P 上两个线性空间 V 与 V 称为同构的,假如由V 到V 有一个 1-1 的映上的映射,具有以下性质：（ 1） ;（ 2） kk.其中,是 V 中任意向量, k 是 P 中任意数,这样的映射称为同构映射。2. 数域 P 两个有限维数线性空间同构的充分必要条件是它们有相同维数。第七章 线性变

24、换学问点考点精要一线性变换及其运算1. 线性变换的定义线性 空间 V 的的一个变换 . 称为线性变换,假如对于V 中任意元素,和数域 P 中任意数 k,都有 . =.+ . . K=k.（）2. 线性变换的运算设 . ,是数域 P 上线性空间 V 的两个线性变换,kP。（ 1）加法（. +）（） =.（） +（）（ 2）数乘（ 3）乘法（k（.）（）（） =k .（） = . （）（）（ 4）逆变换V 的变换 . 称为可逆的,假如有V 的变换,使.=. =（ V 的恒等变换）3. 设 1,2,., n 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一组基 , .是 V 中的一个线性变换 , 基向量的

25、象可以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结被基线性表出 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ae1 Ae2Aena11 1a21 1an1 1a122a222an 22a1nn ,a2nn ,ann n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用矩阵来表示是 A（ 1,2,., n ） =（ A1, A2, An ） =（ 1, 2, ., n ） A（ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中Aa11an1a1nann矩阵 A称为 . 在基1,

26、2, ., n 以下矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设 1, 2, ., n 是数域 P 上 n 维向量空间 V 的一组基,在这组基下,每个线性变换按公式（1）对应一个 nn 矩阵。这个对应具有以下性质：i ）线性变换的和对应于矩阵的和ii ）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积。iii ）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积。iv ）可逆的线性变换与可逆矩阵对应,且逆变换对应于逆矩阵。（ 3 ） 设 线 性 变 换 .在 基 1 ,2.,., n 下 的 矩 阵 是 A , 向 量在 基1 ,2.,., n 下 的 坐 标 是y1x1, x1, x2,., xn ,

27、就.在基1,2,.,n下的坐标（y1, y2 ,., yn ）可按公式y2.ynAx2.xn运算。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）设 A,B 为数域 P 上两个 n 级矩阵, 假如可以找到数域P 上的 n 级可逆矩阵 X,使得 BX就说 A 相像于 B。1AX ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）线性变换在不同基下所对应的矩阵是相像的。反过来,假如两个矩阵相像,那么它们可以看作同一线性变换在两组基下所对应的矩阵。二特点值与特点向量1. 特点值与特点向量的定义设 A 是数域 P 上线性空间 V 的一个线性变换,假如对于数域P 中一数 0 ,存在一非零

28、向量,使得 A=0, 那么 0 称为 A 的一个特点值,称为 A 的属于特点值0 的一个特点向量。2. 特点多项式的定义（ 1）设 A 是数域 P 上一个 n 级矩阵,是一个文字,矩阵E-A 的行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11EAnan1a1nann称为 A 的特点多项式,这是数域P 上的一个 n 次多项式,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f AAa11.ann An 1. 1n A E0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 特点值与特点向量的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

29、师归纳总结（ 1）设 1,2 ,., n 是 n 级矩阵 Aaij n n 的全体特点值, 就 1.na11.ann ,1. nA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i（ 2）属于不同特点值的特点向量是线性无关的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）假如1,2,.,n 是线性变换 A 的不同的特点值, 而 ai1,.air是属于特点值i 的线性无关的特可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结征向量, i=1,2 . , k 那么向量组4. 线性变换在某组基下为对角矩阵的条件a11 ,.a1r,.ak1,ak

30、r也线性无关。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1k（ 1）设 A 是 n 维线性空间 V 的一个线性变换, A 的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充要条件是, A 有 n 个线性无关的特点值。（ 2）假如在 n 维线性空间 V 中的,线性变换 A 的特点多项式在数域P 中有 n 个不同的根,即A有 n个不同的特点值,那么A 在某组基下的矩阵是对角矩阵。（ 3）在负数域上的线性空间中,假如线性变换A 的特点多项式没有重跟,那么A 在某组基下的矩阵是对角矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三. 矩阵的相像1. 矩阵相像的定义设 A,B 为数域 P 上两个 n 级矩

31、阵 , 假如可以找到数域P 上的 n 级可逆矩阵 X, 使得 BX说 A 相像于 B,记为 AB.2. 相像矩阵的性质(1) 相像矩阵有相同的特点多项式.2 相像矩阵有相同的最小多项式。1AX ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四线性变换的值域与核1. 设 A 是线性空间V 的一个线性变换,A 的全体象组成的集合称为A 的值域,用AV 表示。 AV是 V 的子空间,维（ AV ）称为 A 的秩,全部被 A 变成零向量的向量组成的集合称为A 的核,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记为 A10 。A 10 是 V 的子空间,维（A 1 0 ）称为 A 的零度。可编

32、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设 . 是 n 维线性空间 V 的线性变换,1, 2, ., n 是 V 的一组基。在这组基下. 的矩阵是 A,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） . V=L（A 1, A2, ., A n ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） . 的秩=A 的秩3. 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换,就 A 的秩 +A的零度 =n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五不变子空间1. 设 A 是数域 P 上线性空间V 的线性变换, W是 V 的子空间,假如W中的向量在A 下的象仍在W中,就称 W是

33、 A 的不变子空间,简称A-子空间。第九章 欧几里得空间学问考点精要一欧氏空间的基本概念1. 设 V 是是数域 R 上一线性空间,在V 上定义了一个二元实函数,称为内积,记为, ,特具有一下性质：（1） , 。（2） k,k,（3） , 。（4） ,0 ,当且仅当=0 时 , =0. 这里,是 V 中任意的向量, k 是任意实数,这样的线性空间 V 称为欧几里得空间。2. 非负实数, 称为向量的长度,记为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 非零向量,的夹角,规定为,arccos, ,0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 假如向量,的内积为零,即 ,0 ,

34、那么,称为正交或相互垂直,记为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 设 V 是一个 n 维欧几里得空间, 在 V 中取一组基1, 2, ., n 令 aij i ,j , i , j1,2,.n 矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Aaij n n 称为基 1, 2, ., n 的度量矩阵。（1） 度量矩阵是正定的。（2） 不同基底的度量矩阵是合同的。6. 欧氏空间 V 中一组非零向量,假如它们两两正交,就称为一正交向量组。在n 维欧氏空间中,由n 个向量组成的正交向量组称为正交基。由单位向量组成的正交基称为标准正交基。二同构1. 实数域 R 上欧氏空间 V 与 v 称为同构,假如由V 到 v 有一个 1-1 上的映射,适合（ 1） 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）kk可编辑资料 - - -