2019年高考数学高考题和高考模拟题分章节汇编专题03导数及其应用理.docx

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1、专题03 导数及其应用1【2019年高考全国卷理数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则ABa=e，b=1CD，【答案】D【解析】切线的斜率，将代入，得.故选D【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.2【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为ABCD【答案】C【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，令，则，当，即时取等号，则.当时，即恒成立，令，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，则时，取得最小值，综上可知，的取值范围是.故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分

2、别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.3（2019浙江）已知，函数若函数恰有3个零点，则Aa1，b0 Ba0Ca1，b1，b0【答案】C【解析】当x0时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得x=b1-a，则yf（x）axb最多有一个零点；当x0时，yf（x）axb=13x3-12（a+1）x2+axaxb=13x3-12（a+1）x2b，当a+10，即a1时，y0，yf（x）axb在0，+）上单调递增，则yf（x）axb最多有一个零点，不合题意；当a+10，即a1时，令y0得x(a+1，+），此时函数单调递增，令y0得x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多

3、有2个零点.根据题意，函数yf（x）axb恰有3个零点函数yf（x）axb在（，0）上有一个零点，在0，+）上有2个零点，如图：b1-a0且-b013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b0，解得b0，1a0，b-16（a+1）3，则a1，b0.故选C【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x0时，yf（x）axbxaxb（1a）xb最多有一个零点；当x0时，yf（x）axb=13x3-12（a+1）x2b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解4【2019年高考全国卷理数】曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】所以切线的斜率，则曲线在点

4、处的切线方程为，即【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求5【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 .【答案】4【解析】由，得，设斜率为的直线与曲线切于，由得（舍去），曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.故答案为【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e

5、，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .【答案】【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点，则.又，当时，则曲线在点A处的切线为，即，将点代入，得，即，考察函数，当时，当时，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点7【2019年高考北京理数】设函数（a

6、为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性单调性利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识基础知识基本运算能力的考查.8【2019年高考全国卷理数】已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点【答案】（1）见解析；（2）见解析

7、.【解析】（1）设，则，.当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，设为.则当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.（2）的定义域为.（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.又，所以当时，.从而，在没有零点.（iii）当时，所以在单调递减.而，所以在有唯一零点.（iv）当时，所以0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递

8、减.（2）满足题设条件的a，b存在.（i）当a0时，由（1）知，在0，1单调递增，所以在区间0，l的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，即a=0，（ii）当a3时，由（1）知，在0，1单调递减，所以在区间0，1的最大值为，最小值为此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1（iii）当0a3时，由（1）知，在0，1的最小值为，最大值为b或若，b=1，则，与0a3矛盾.若，则或或a=0，与0a0)，令f(x)0，解得：0x1.故选A【名师点睛】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题.16【江西省南昌市2019届高三模拟考试数学】已知f(x)在R上连续可导

9、，f(x)为其导函数，且f(x)=ex+e-x-f(1)x(ex-e-x)，则f(2)+f(-2)-f(0)f(1)=A4e2+4e-2B4e2-4e-2C0D4e2【答案】C【解析】，是偶函数，两边对x求导，得，即，则是上的奇函数，则，即，则.故选C【名师点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题.17【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若对恒成立，则曲线在点处的切线方程为ABCD【答案】B【解析】，联立，解得，则，切线方程为：，即.故选B.【名师点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程，关键是能够利用构造方程组的方式求得函

10、数的解析式.18【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数的最小值为ABCD【答案】C【解析】由题得，令，解得，则当时，为减函数，当时，为增函数，所以处的函数值为最小值，且.故选C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.19【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】若函数f(x)=12ax2+xlnx-x存在单调递增区间，则a的取值范围是ABCD【答案】B【解析】，在x上成立，即ax+0在x上成立，即a在x上成立令g（x），则g（x），g（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+）上单

11、调递增，g（x）的最小值为g（e）=，a故选B【名师点睛】本题考查学生利用导数研究函数的单调性及转化化归思想的运用，属中档题20【山西省太原市2019届高三模拟试题（一）数学】已知定义在(0,+)上的函数f(x)满足xf(x)-f(x)0的解集是A(-,ln2)B(ln2,+)C0,e2De2,+【答案】A【解析】令gx=fxx,gx=xfx-fxx20等价为fexexf22，即gexg2，故ex2,即xln2，则所求的解集为(-,ln2).故选A.【名师点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题.21【河南省焦作市2019届高三第四次模拟考试数学】已知a=l

12、n33，b=e-1，c=3ln28，则a,b,c的大小关系为AbccbCabcDbac【答案】D【解析】依题意，得，.令fx=lnxx，所以fx=1-lnxx2.所以函数fx在0,e上单调递增，在e,+上单调递减，所以fxmax=fe=1e=b，且f3f8，即ac，所以bac.故选D.【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造出函数是解题的关键，属于中档题.22【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考数学】已知fx=lnx+1-aex，若关于x的不等式fx0恒成立，则实数a的取值范围是ABCD【答案】D【解析】由恒成立得恒成立，设，则.设，则恒成立，gx在0,+上单调递减，又

13、g1=0，当0xg1=0，即hx0；当x1时，gxg1=0，即hx1e.故选D.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，分离参数是常见的方法，属于中档题.23【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】若是函数的极值点，则的值为A-2B3C-2或3D-3或2【答案】B【解析】，由题意可知，即或，当时，当或时，函数单调递增；当时，函数单调递减，显然是函数的极值点；当时，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去.故.故选B【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自

14、变量的值，不一定是极值点.24【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为ABCD【答案】A【解析】设，因为为上的奇函数，所以，即为上的奇函数对求导，得，而当时，有，故时，即单调递增，所以在上单调递增，则不等式即，即，即，所以，解得.故选A.【名师点睛】本题考查构造函数解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.25【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】曲线在点处的切线与直线垂直，则_.【答案】【解析】因为，所以，因此，曲线在点处的切线斜

15、率为，又该切线与直线垂直，所以.故答案为.【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考题型.26【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学】已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是_【答案】【解析】作出函数的图象如图所示，由，可得，即，不妨设，则，令，则，令，则，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，当时，取得最大值，为.故答案为.【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函

16、数定义域内的所有根；（4）判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.27【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，其中是自然对数的底数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增，无极值；当时，在和单调递增，在单调递减，极大值为，极小值为.【解析】（1）由题意，所以当时，因此曲线在点处的切

17、线方程是，即.（2）因为，所以，令，则，令得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，也就说，对于恒有.当时，在上单调递增，无极值；当时，令，可得当或时，单调递增，当时，单调递减，因此，当时，取得极大值；当时，取得极小值.综上所述：当时，在上单调递增，无极值；当时，在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值为，极小值为.【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题28【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数f(x)=lnx-ax，g(x)=x2，aR.（1）求函数f(x)的极值点；（2）若f(x)g(x)恒成

18、立，求a的取值范围.【答案】（1）极大值点为1a，无极小值点.（2）a-1.【解析】（1）的定义域为0,+，fx=1x-a，当a0时，fx=1x-a0，所以fx在0,+上单调递增，无极值点；当a0时，解fx=1x-a0得0x1a，解fx=1x-a1a，所以fx在0,1a上单调递增，在1a,+上单调递减，所以函数fx有极大值点，为1a，无极小值点.（2）由条件可得lnx-x2-ax0(x0)恒成立，则当x0时，alnxx-x恒成立，令hx=lnxx-x(x0)，则hx=1-x2-lnxx2，令kx=1-x2-lnx(x0)，则当x0时，kx=-2x-1x0；在1,+上，hx0，所以g(x)在1,

19、+)上单调递增，所以g(x)min=g(1)=2e-1，所以a2e-1.（2）当a=1时，f(x)=lnx-xex+x(x0).则f(x)=1x-(x+1)ex+1=(x+1)(1x-ex)，令m(x)=1x-ex，则m(x)=-1x2-ex0，m(1)0满足m(x0)=0，即ex0=1x0.当x(0,x0)时，m(x)0，f(x)0；当x(x0,+)时，m(x)0，f(x)0，gp在0,13上单调递增；当p13,1时，gp0，gp在13,1上单调递减,所以gp的最大值为g13=427.所以实施此方案，最高费用为100+6000900+180042710-4=800（万元）.综上，若以此方案实

20、施，不会超过预算. 【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，考查利用导数求函数的最大值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.31【北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学】设函数f(x)=mex-x2+3，其中mR（1）当f(x)为偶函数时，求函数h(x)=xf(x)的极值；（2）若函数f(x)在区间-2,4上有两个零点，求m的取值范围【答案】（1）极小值h(-1)=-2，极大值h(1)=2；（2）-2em13e4或m=6e3.【解析】（1）由函数f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x)，即me-x-(-x)2+3=

21、mex-x2+3对于任意实数x都成立，所以m=0.此时h(x)=xf(x)=-x3+3x，则h(x)=-3x2+3.由h(x)=0，解得x=1. 当x变化时，h(x)与h(x)的变化情况如下表所示：x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)h(x)-0+0-h(x)极小值极大值所以h(x)在(-,-1)，(1,+)上单调递减，在(-1,1)上单调递增. 所以h(x)有极小值h(-1)=-2，极大值h(1)=2. （2）由f(x)=mex-x2+3=0，得m=x2-3ex.所以“f(x)在区间-2,4上有两个零点”等价于“直线y=m与曲线g(x)=x2-3ex，x-2,4有且只有两个公共点”.

22、对函数g(x)求导，得g(x)=-x2+2x+3ex.由g(x)=0，解得x1=-1，x2=3. 当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表所示：x(-2,-1)-1(-1,3)3(3,4)g(x)-0+0-g(x)极小值极大值所以g(x)在(-2,-1)，(3,4)上单调递减，在(-1,3)上单调递增. 又因为g(-2)=e2，g(-1)=-2e，g(3)=6e3g(-1)，所以当-2em13e4或m=6e3时，直线y=m与曲线g(x)=x2-3ex，x-2,4有且只有两个公共点. 即当-2em13e4或m=6e3时，函数f(x)在区间-2,4上有两个零点.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解.