2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第三章 数系的扩充与复数的引入3.2.2 .docx

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1、3.2.2复数代数形式的乘除运算学习目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念知识点一复数的乘法及其运算律思考怎样进行复数的乘法运算？答案两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可梳理(1)复数的乘法法则设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3知识点

2、二共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z的共轭复数用表示即zabi，则abi.知识点三复数的除法法则思考类比根式除法的分母有理化，比如，你能写出复数的除法法则吗？答案设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i.1复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减()2两个共轭复数的和与积是实数()3若z1，z2C，且zz0，则z1z20.()类型一复数代数形式的乘除运算例1计算：(1)(1i)；(2)；(3).考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则解(1)(1i)(1i)(1i)ii.(2)i.(3)1i.反思与感悟(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上

3、的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似跟踪训练1计算：(1)(4i)(62i)(7i)(43i)；(2)；(3).考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则解(1)(4i)(62i)(7i)(43i)(248i6i2)(2821i4i3)(262i)(3117i)515i.(2)ii0.(3)1i.类型二i的运算性质例2计算：(1)2 016；(2)ii2i2 017.考点虚数单位i及其性质题点虚数

4、单位i的运算性质解(1)原式1 008i(1i)(i)1 008ii2(1)1 008i1 008i1i4252i11i.(2)方法一原式i.方法二因为inin1in2in3in(1ii2i3)0(nN*)，所以原式(ii2i3i4)(i5i6i7i8)(i2 013i2 014i2 015i2 016)i2 017i2 017(i4)504i1504ii.反思与感悟(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即inin1in2in30(nN*)(2)记住以下结果，可提高运算速度(1i)22i，(1i)22i；i，i；i.跟踪训练2(1)2 017_.考点虚数单位i及其

5、性质题点虚数单位i的运算性质答案i解析2 0172 0172 017i2 017(i4)504i1504ii.(2)化简i2i23i3100i100.考点虚数单位i及其性质题点虚数单位i的运算性质解设Si2i23i3100i100，所以iSi22i399i100100i101，得(1i)Sii2i3i100100i101100i1010100i100i.所以S5050i.所以i2i23i3100i1005050i.类型三共轭复数及其应用例3把复数z的共轭复数记作，已知(12i)43i，求z.考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数解设zabi(a，bR)，则abi，由已知得(12i)(a

6、bi)(a2b)(2ab)i43i，由复数相等的定义知，得a2，b1，所以z2i.引申探究例3条件改为(z2)43i，求z.解设zxyi(x，yR)则xyi，由题意知，(xyi)(xyi2)43i.得解得或所以zi或zi.反思与感悟当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解跟踪训练3已知复数z满足|z|1，且(34i)z是纯虚数，求z的共轭复数.考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数解设zabi(a，bR)，则|z|1，即a2b21.因为(34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i是纯虚数，所以3a4b0，且3b4a0.由联立

7、，解得或所以i或i.1设复数z满足iz1，其中i为虚数单位，则z等于()Ai BiC1 D1考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案A解析zi.2若z43i(i为虚数单位)，则等于()A1 B1C.i D.i考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案D解析z43i，|z|5，i.3已知1i(i为虚数单位)，则复数z等于()A1i B1iC1i D1i考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算答案D解析因为1i，所以z1i.4设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z，则_.考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数答案1i解析z1i，所以1i.5已知复数z满足：z2

8、zi86i，求复数z的实部与虚部的和考点共轭复数的定义与应用题点与共轭复数有关系的综合问题解设zabi(a，bR)，则za2b2，a2b22i(abi)86i，即a2b22b2ai86i，解得ab4，复数z的实部与虚部的和是4.1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁

9、是设复数zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化.一、选择题1i为虚数单位，等于()A0 B2iC2i D4i考点虚数单位i及其性质题点虚数单位i的运算性质答案A解析i，i，i，i，0.2复数(1i)2(23i)的值为()A64i B64iC64i D64i考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案D解析(1i)2(23i)2i(23i)64i.3已知复数z满足(z1)i1i，则z等于()A2i B2iC2i D2i考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案C解析由(z1)i1i，两边同乘以i，则有z11i，所以z2i.4已知复数z13bi，z212i，若是实数，

10、则实数b等于()A6 B6C0 D.考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案A解析是实数，6b0，实数b的值为6，故选A.5已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是()AM BNCP DQ考点复数的乘除法运算法则题点运算结果与点的对应关系答案D解析由图可知z3i，所以复数2i表示的点是Q(2，1)故选D.6设复数z满足i，则|z|等于()A1 B.C. D2考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案A解析由i，得zi，|z|i|1.7若z6，z10，则z等于()A13i B3iC3i D3i考点共轭复数的定义与应用题点与共轭复数有关的综

11、合问题答案B解析设zabi(a，bR)，则abi，所以解得则z3i.8计算的值是()A0 B1C2i Di考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算答案C解析原式iii2i.二、填空题9已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案2解析因为(1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR，所以1ba且1b0，得a2，b1，所以2.10若复数z满足(34i)z43i(i是虚数单位)，则|z|_.考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案1解析因为(34i)z43i，所以zi.则|z|1.11定义一种运算：

12、adbc.则复数的共轭复数是_考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数答案13i解析3i(1i)213i，其共轭复数为13i.三、解答题12已知z，为复数，(13i)z为纯虚数，且|5，求.考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的综合应用解设zabi(a，bR)，则(13i)za3b(3ab)i.由题意得a3b0,3ab.因为|5，所以|z|5，将a3b代入，解得a15，b5或a15，b5，故(7i)13已知复数z1i.(1)设z234，求；(2)若1i，求实数a，b的值考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的未知数求解解(1)因为z1i，所以z234(1i)23(1i)41i.(2)

13、因为z1i，所以1i，即1i，所以(ab)(a2)i(1i)i1i，所以解得四、探究与拓展14投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(mni)(nmi)为实数的概率为_考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的综合应用答案解析易知(mni)(nmi)mnm2in2imn2mn(n2m2)i.若复数(mni)(nmi)为实数，则m2n2，即(m，n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，所以所求概率为.15设z是虚数，z是实数，且12.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；(2)设，求证：为纯虚数考点复数四则运算的综合应用题点与四则运算有关的问题(1)解因为z是虚数，所以可设zxyi(x，yR，且y0)，则z(xyi)xyii.因为是实数，且y0，所以y0，即x2y21.所以|z|1，此时2x.又12，所以12x2.所以x1，即z的实部的取值范围是.(2)证明.又x2y21，所以i.因为y0，所以为纯虚数