四川省成都市新都一中必修二同步练习：第三章 直线的方程 综合检测 .docx

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1、第三章综合检测一、选择题1.在平面直角坐标系中,若P(m,m-1),Q(m,m+1),则下列关于直线PQ的说法中正确的是().A.倾斜角与斜率都有确定值B.倾斜角有确定值,斜率不存在C.斜率有确定值,倾斜角不存在D.倾斜角和斜率都不存在【解析】倾斜角为90,斜率不存在.【答案】B2.若直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,则a=().A.-1 B.1 C.1 D.-32【解析】由(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,化简得1-a2=0,所以a=1.【答案】C3.已知直线l1:3x+y-3=0与直线l2:6x+my+1=0平行,则它们之

2、间的距离为().A.4B.21313C.51326D.71020【解析】由两条直线平行得直线的斜率相等,即-3=-6m,解得m=2,则直线l2:6x+2y+1=0.取直线l1:3x+y-3=0上的点(1,0),则d=|6+1|62+22=71020.故选D.【答案】D4.已知等边ABC的两个顶点A(0,0),B(4,0),且第三个顶点在第四象限,则BC边所在的直线方程是().A.y=-3xB.y=-3(x-4)C.y=3(x-4)D.y=3(x+4)【解析】因为ABC是等边三角形,所以BC边所在的直线过点B,且倾斜角为3,所以BC边所在的直线方程为y=3(x-4),故选C.【答案】C5.直线l

3、:mx-m2y-1=0经过点P(2,1),则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线方程是().A.xy1=0B.2xy3=0C.x+y-3=0D.x+2y-4=0【解析】由点P在直线l上得2mm21=0,所以m=1,即直线l的方程为xy1=0.所以所求直线的斜率为-1,显然x+y-3=0满足要求.【答案】C6.已知A(3,2)和B(-1,4)两点到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值为().A.0或-12B.12或-6C.-12或12D.0或12【解析】由题意知,直线mx+y+3=0与AB平行或过AB的中点,则有-m=4-2-1-3或m3-12+2+42+3=0,m=12或m=-6.【答

4、案】B7.已知直线l的倾斜角为135,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于().A.-4B.-2C.0D.2【解析】因为l的斜率为tan 135=-1,所以l1的斜率为1,即kAB=2-(-1)3-a=1,解得a=0.又l1l2,即-2b=1,解得b=-2,所以a+b=-2,故选B.【答案】B8.已知直线l1:ax+4y-2=0与直线l2:2x-5y+b=0垂直,且垂足为(1,c),则a+b+c的值为().A.-4B.20C.0D.24【解析】由题意可知,垂足(1,c)是两条直线的交点,且l1l2,所以-a425=

5、-1,解得a=10,所以直线l1的方程为10x+4y-2=0.将(1,c)代入l1,得c=-2;将(1,c)代入l2,得b=-12,所以a+b+c=-4,故选A.【答案】A9.已知点A(1,-2),B(m,2),且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-2=0,则实数m的值是().A.-2B.-7C.3D.1【解析】因为线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-2=0.所以线段AB的中点m+12,0在直线x+2y-2=0上,解得m=3.【答案】C10.将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(-6,8)重合,则与点(-4,2)重合的点是().A.(4,-2)B.(4,-3)C.3,32D.(3,-1

6、)【解析】以(10,0)和(-6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y=2x,则(-4,2)关于直线y=2x的对称点即为所求点.设所求点为(x0,y0),则y0-2x0+4=-12,y0+22=2x0-42, 解得x0=4,y0=-2. 【答案】A11.已知等腰直角ABC的直角顶点为C(3,3),若点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可能是().A.(2,0)或(4,6)B.(2,0)或(6,4)C.(4,6)D.(0,2)【解析】设点B的坐标为(x,y),由BCAC得kBCkAC=y-3x-3-13=-1,所以y=3x-6.又|BC|=|AC|,所以(x-3)2+(y-3)2=(0-3)2

7、+(4-3)2=10,解得x=2,y=0或x=4,y=6,所以点B的坐标为(2,0)或(4,6),故选A.【答案】A12.若动点A(x1,y1)和B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB中点M到原点距离的最小值为().A.32B.23C.33D.42【解析】由题意知点M在直线l1与l2之间,且与两直线距离相等的直线上,设该直线方程为x+y+c=0,则|c+7|2=|c+5|2,即c=-6.所以点M在直线x+y-6=0上.故M点到原点的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即|-6|2=32.【答案】A二、填空题13.已知直线x-2y+2k=0与两坐

8、标轴围成的三角形的面积不大于1,则实数k的取值范围是.【解析】依条件得12|2k|k|1,其中k0(否则三角形不存在),解得-1k1且k0.【答案】-1k1且k014.已知直线ax+y+a+2=0恒过一个定点,则过这个定点和原点的直线方程是.【解析】已知直线变形为y+2=-a(x+1),所以直线恒过点(1,2).故所求的直线方程是y+2=2(x+1),即y=2x.【答案】y=2x15.已知直线l过点(2,3),其斜率为方程3x2-2x-1=0的两个根之一,且不过第四象限,则直线l的方程为.【解析】方程3x2-2x-1=0的两个根为1和-13.由于直线l不过第四象限,因此直线l的斜率大于或等于0

9、.又直线l的斜率为方程的两个根之一,所以其斜率为1.因为直线l过点(2,3),所以直线l的方程为y-3=x-2,整理得x-y+1=0.【答案】x-y+1=016.给出下列五个命题:过点(-1,2)的直线方程一定可以表示为y-2=k(x+1)(kR)的形式;过点(-1,2)且在x,y轴截距相等的直线方程是x+y-1=0;过点M(-1,2)且与直线l:Ax+By+C=0(AB0)垂直的直线方程是B(x+1)+A(y-2)=0;设点M(-1,2)不在直线l:Ax+By+C=0(AB0)上,则过点M且与直线l平行的直线方程是A(x+1)+B(y-2)=0;点P(-1,2)到直线ax+y+a2+a=0的

10、距离不小于2.以上命题中,正确的序号是.【解析】直线x=-1过点(-1,2),但无法用y-2=k(x+1)(kR)表示,故不正确;过点(-1,2)且在x,y轴截距相等的直线方程为y=-2x或x+y-1=0,故不正确;与直线l:Ax+By+C=0(AB0)垂直的直线的斜率为BA,则所求直线的方程为y-2=BA(x+1),即B(x+1)-A(y-2)=0,故不正确;与直线l:Ax+By+C=0(AB0)平行的直线斜率为-AB,则所求直线的方程为y-2=-AB(x+1),即A(x+1)+B(y-2)=0,故正确;点P(-1,2)到直线ax+y+a2+a=0的距离d=|-a+2+a2+a|a2+1=2

11、+a2a2+1=a2+1+1a2+12a2+11a2+1=2,当且仅当a=0时取等号,故正确.【答案】三、解答题17.已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0.(1)若l1l2,求实数a的值;(2)当l1l2时,求直线l1与l2之间的距离.【答案】(1)a=32(2)42318.求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点,并求出这个定点的坐标.【解析】(法一)对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,令m=0,得x-3y-11=0;令m=1,得x+4y+10=0.解方程组x-3y-11=0,x+4y+10=0,

12、得两直线的交点为(2,-3).将点(2,-3)代入已知直线方程左边,得(2m-1)2+(m+3)(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.所以不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).(法二)将m作为已知方程的未知数,整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.由m取值的任意性,有2x+y-1=0,-x+3y+11=0,解得x=2,y=-3.所以不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).19.如图,直线l过点P(0,1),夹在两条已知直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0之间的线段AB恰被点P平分.(1)求直线l的方程;(2)设点D(0,m

13、),且ADl1,求ABD的面积.【答案】(1)x+4y-4=0(2)SABD=2820.已知直线l过点P(3,2).(1)若直线l在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程;(2)若直线l与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点,当OAB的面积为12时,求直线l的方程.【答案】(1)2x+y-8=0或x+3y-9=0(2)2x+3y-12=021.甲、乙两人要对C处进行考察,甲在A处,乙在B处,基地在O处,此时AOB=90,测得|AC|=5 km,|BC|=13 km,|AO|=|BO|=2 km(如图).试问:甲、乙两人应向什么方向走,才能使两人的行程之和最小?【解析】以O为原点,OB为x轴,

14、建立平面直角坐标系(如图),设点C的坐标为(x,y),则有A(0,2),B(2,0),由|AC|=5得x2+(y-2)2=5.由|BC|=13得(x-2)2+y2=13.由解得x=0,y=-3或x=5,y=2.由x,y的实际意义知,x0,y0,点C的坐标为(5,2).又A(0,2),ACx轴,即ACOB.由B(2,0)和C(5,2)知,kBC=2-05-2=23.故甲应向与OB平行的方向行走,乙应沿斜率为23的直线向上方行走,才能使他们的行程和最小.22.如图,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(6,2),B(4,6),C(2,6),直线y=kx13k3将四边形OABC分为两部

15、分,S表示靠近x轴一侧的那一部分的面积.(1)求S=f(k)的函数表达式.(2)当k为何值时,直线y=kx将四边形OABC分为面积相等的两部分?【解析】(1)kOA=13,kOB=32,需分两种情况讨论.当13k32时,直线y=kx与直线AB:2x+y=14相交,设交点为P1.由y=kx,2x+y=14,得交点P1的坐标为14k+2,14kk+2.又点P1到直线OA:x-3y=0的距离为d=14(3k-1)10(k+2),|OA|=210,S=12|OA|d=14(3k-1)k+2.当32k3时,直线y=kx与直线BC:y=6相交,设交点为P2.由y=kx,y=6,得交点P2的坐标为6k,6.SOP2C=12|P2C|6=6(3-k)k.又SOAB+SOBC=S四边形OABC=20.S=20-6(3-k)k=26-18k.故S=f(k)=14(3k-1)k+2,13k32,26-18k,32k3.(2)若直线y=kx平分四边形OABC的面积,则14(3k-1)k+2=10,解得k=1716.