四川省成都市新都一中数学选修2-2同步测试：第三章 综合检测 .docx

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1、第三章综合检测一、选择题1.已知i是虚数单位,a,bR,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,则a2-b2=0,2ab=2,解得a=1,b=1或a=-1,b=-1,故“a=1,b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件,选A.【答案】A2.复数1-i22=a+bi(a,bR,i是虚数单位),则a2-b2的值为().A.0B.1C.2D.-1【解析】1-i22=1-2i+i22=-i=a+bi

2、,所以a=0,b=-1,所以a2-b2=0-1=-1.【答案】D3.复数z=m-2i1+2i(mR,i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z=m-2i1+2i=(m-2i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=15(m-4)-2(m+1)i,其实部为15(m-4),虚部为-25(m+1),由m-40,-2(m+1)0,得m4,m-1,此时无解.故复数z在复平面内对应的点不可能位于第一象限.【答案】A4.已知复数z=-12+32i,则z+|z|=().A.-12-32iB.-12+32iC.12+32iD.12-32i【解析】因为

3、z=-12+32i,所以z+|z|=-12-32i+-122+322=12-32i.【答案】D5.设zC,若z2为纯虚数,则z在复平面内对应的点落在().A.实轴上B.虚轴上C.曲线y=x(x0)上D.以上都不对【解析】设z=x+yi(x,yR),则z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi.z2为纯虚数,x2-y2=0,xy0,y=x(x0).【答案】C6.若复数z=a2-1+(a+1)i(aR)是纯虚数,则1z+a的虚部为().A.-25B.-25iC.25D.25i【解析】由题意得a2-1=0,a+10,所以a=1,所以1z+a=11+2i=1-2i(1+2i)(1-2i)=15-25i

4、.由虚部的概念,可得1z+a的虚部为-25.【答案】A7.设复数z=2-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为z,则在复平面内iz对应的点的坐标为().A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)【解析】z=2-1-i=-1+i,iz=i(-1-i)=1-i,其在复平面内对应的点的坐标为(1,-1).【答案】C8.若关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有实根,则实数m等于().A.112B.12C.-112D.-12【解析】设方程的实数根为x=a(a为实数),则a2+(1+2i)a+3m+i=0,a2+a+3m=0,2a+1=0,a=-12,m=112.故选A.【

5、答案】A9.已知复数z=(x-2)+yi(x,yR)在复平面内对应的向量的模为3,则yx的最大值是().A.32B.33C.12D.3【解析】因为|(x-2)+yi|=3,所以(x-2)2+y2=3,所以点(x,y)在以C(2,0)为圆心,以3为半径的圆上,如图,由平面几何知识知-3yx3.【答案】D10.已知a,bR,且a+i1-bi为实数,则ab等于( ).A.-1B.-2C.2D.1【解析】a+i1-bi=(a+i)(1+bi)1+b2=(a-b)+(1+ab)i1+b2为实数,1+ab=0,ab=-1.【答案】A11.定义:abcd=ad-bc.若复数z满足z1-ii=-1+2i,则z

6、等于().A.1+iB.1-iC.3+iD.3-i【解析】由题意可得zi+i=-1+2i.设z=a+bi(a,bR),则(a+bi)i+i=-1+2i,即(a+1)i-b=-1+2i.由复数相等的定义知a+1=2,b=1,得a=1,b=1,故z=1+i.【答案】A12.在复平面内,设向量OZ1、OZ2分别对应非零复数z1、z2,若OZ1OZ2,则z2z1是( ).A.非负数B.纯虚数C.正实数D.不确定【解析】已知OZ1OZ2,设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dR,则有ac+bd=0.z2z1=c+dia+bi=(ac+bd)+(ad-bc)ia2+b2=(ad-bc)a2+b2

7、i.【答案】B二、填空题13.设复数a+bi(a,bR)的模为3,则(a+bi)(a-bi)=.【解析】由题意得a2+b2=3,所以a2+b2=3,故(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.【答案】314.已知复数z=(5-2i)2(i为虚数单位),则z的实部为.【解析】由题意得z=(5-2i)2=25-252i+(2i)2=21-20i,其实部为21.【答案】2115.复数z与(z+2)2-8i均为纯虚数,则z=.【解析】设z=mi(m0),则(z+2)2-8i=(4-m2)+(4m-8)i是纯虚数,4-m2=0,4m-80,m=-2,z=-2i.【答案】-2i16.已知复数z1=-1+2

8、i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若OC=OA+OB(,R),O为坐标原点,则+的值是.【解析】由条件得OC=(3,-4),OA=(-1,2),OB=(1,-1),由OC=OA+OB,得(3,-4)=(-1,2)+(1,-1)=(-+,2-),-+=3,2-=-4,解得=-1=2.+=1.【答案】1三、解答题17.已知z1=2+i,z2=z1+i(2i+1)-z1,求z1z2.【解析】z2=z1+i(2i+1)-z1=2+i+i(2i+1)-2-i=2+2i-1+i=2(1+i)(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-2(1+i)22=-2i,z1z2=

9、(2+i)(-2i)=2-4i.18.已知复数x2+x-2+(x2-3x+2)i(xR)是复数4-20i的共轭复数,求实数x的值.【解析】因为复数4-20i的共轭复数为4+20i,由题意得x2+x-2+(x2-3x+2)i=4+20i.根据复数相等的充要条件,得x2+x-2=4,x2-3x+2=20,方程的解为x=-3或x=2.方程的解为x=-3或x=6.所以实数x的值为-3.19.虚数z满足|z|=1,z2+2z+1z0,求z.【解析】设z=x+yi(x,yR,y0),则x2+y2=1,z2+2z+1z=(x+yi)2+2(x+yi)+1x+yi=(x2-y2+3x)+y(2x+1)i.y0

10、,z2+2z+1z0,2x+1=0,x2-y2+3x0,又x2+y2=1,由得x=-12,y=32.z=-1232i.20.设z=log2(1+m)+ilog12(3-m)(mR).(1)若z在复平面内对应的点在第三象限,求实数m的取值范围;(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y-1=0上,求m的值.【解析】(1)由已知得log2(1+m)0,log12(3-m)0,解得-1m0.解得m2.故不等式组的解集为m|-1m0,因此实数m的取值范围是m|-1m0,且3-m0.故m=12.21.(1)已知复数z在复平面内对应的点在第四象限,|z|=1,且z+z=1,求实数z的值;(2)已知复数z=5

11、m21-2i-(1+5i)m-3(2+i)为纯虚数,求实数m的值.【解析】(1)设z=a+bi(a,bR),由题意得a2+b2=1,2a=1,解得a=12,b=32.复数z在复平面内对应的点在第四象限,b=-32.z=12-32i.(2)z=5m21-2i-(1+5i)m-3(2+i)=(m2-m-6)+(2m2-5m-3)i,依题意,m2-m-6=0,解得m=3或m=-2.2m2-5m-30,m3,m=-2.22.已知z1=x+yi,z-1=x-yi(x,yR)且x2+y2=1,z2=(3+4i)z1+(3-4i)z-1.(1)求证:z2R.(2)求z2的最大值和最小值.【解析】(1)z1=x+yi,z-1=x-yi(x,yR),z1+z-1=2x,z1-z-1=2yi.z2=(3+4i)z1+(3-4i)z-1=3(z1+z-1)+4i(z1-z-1)=6x+8yi2=6x-8y,z2R.(2)x2+y2=1,设x=cos ,y=sin ,R,z2=6cos -8sin .令sin =35,cos =45,z2=10sin cos -10cos sin =10sin(-).-1sin(-)1,-10z210,即z2的最大值为10,最小值为-10.