高中数学公式完全总结归纳.docx

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1、精品名师归纳总结均值不等式归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 1如 a, bR ,就 a 2b 22ab(2) 如 a, b22R,就 abab2（当且仅当 ab 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 1如 a, bR* ,就 ab*2ab2 如 a, bR* ,就 ab2ab（当且仅当 ab 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 如 a,bR ,就 ab2ab当且仅当 a2b时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

2、 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如 x0 ,就 x12 当且仅当 xx11 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 x0 ,就 xx2 当且仅当 x1 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 x0 ,就 x112即 x12或x-2 当且仅当 ab 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 如 ab0 ,就 abb2 当且仅当 aab 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a babab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 ab

3、0 ,就2即2或-2 当且仅当 ab 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b ababa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 如 a,bR ,就 ab 2222ab（当且仅当 a2b 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ps.1当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” (2) 求最值的条件“一正,二定,三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范畴、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用例 1：求以下函数的值域211可编辑资

4、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） y3x2x 2（ 2）y x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1y 3x212 2x 2 23x12x 26值域为 6 , +）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112 当 x 0 时, yx x 2x x 2。111当 x0 时, y xx = （ x x ） 2xx = 2值域为（, 2 2 ,+）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧一：凑项例 已知 x5,求函数 y44 x214x5解题技巧的最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

5、师归纳总结解：因 4x50 ,所以第一要“调整”符号,又4 x214x不是常数,所以对 4x52 要进行拆、凑项,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x5 ,54x0 ,y4 x2154x13231可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44 x554x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当54 x1,即 x54 x1 时,上式等号成立,故当x1 时,ymax1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧二：凑系数例 1.当时,求yx82x

6、 的最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由知,利用均值不等式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其和不是定值。留意到2x82 x8 为定值,故只需将yx82 x 凑上一个系数即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当,即 x 2 时取等号当 x2 时,yx82 x 的最大值为 8。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：此题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。3可编辑资料 -

7、- - 欢迎下载精品名师归纳总结变式：设0x,求函数 y24 x32 x的最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 0x3 32x20 y4 x32 x2 2 x32x22 2 x32 x922可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 2x32 x, 即 x340, 32时等号成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧三： 分别x27 x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3.求 y x1 的值域。x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析一：此题看似无法运用均

8、值不等式,不妨将分子配方凑出含有（x 1）的项,再将其分别。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当, 即时, y技巧四：换元2 （ x14x159 （当且仅当 x 1 时取“”号）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析二：此题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x 1,化简原式在分别求最值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yt217t1）+10 = t5t4t45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ttt4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当, 即 t=时, y2tt59 （当 t=2 即 x 1 时取“”号）。可编辑

9、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ymgxg xB A0, B0 , gx 恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧五：在应用最值定理求最值时,如遇等号取不到的情形,结合函数f xxa 的单调性。x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：求函数yx25x24的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资

10、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令x24t t2 ,就 yx25x24x241t1t2x24t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因 t0, t11,但 tt11 解得 tt1不在区间 2,故等号不成立,考虑单调性。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 yt在区间 1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数,故y。t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,所求函数的值域为5 ,。2练习求以下函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） yx23x x1 , x0 （ 2） y2x

11、1, xx33 3y2sin x1, x sin x0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2已知 0x1,求函数yx1x 的最大值 . 。 3 0x2 ,求函数3yx2 3x的最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结条件求最值1. 如实数满意 abab2 ,就 33 的最小值是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：“和”到“积”是一个缩小的过程,而且3a3b定值,因此考虑利用均值定理求最小值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abab解

12、：3 a和3b 都是正数,3 a3b 2 3a3b23a b6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 3 a3b 时等号成立,由 ab2及 33 得 ab1即当 ab1时, 33 的最小值是 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式：如log 4 xlog 4 y2 ,求11的最小值 . 并求 x,y 的值xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的条件的一样性,否就就会出错。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2：已知 x0, y0 ,且 191,求 xy 的最小值。xy可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结错解：x0, y0 ,且 191 ,xy1 9xy2 9 2xy12故xy12 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyxyxymin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结错因：解法中两次连用均值不等式, 在 xy2xy 等号成立条件是 xy ,在 191929 等号成立条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyxyxy即 y9 x , 取等号的条件的不一样,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步

14、骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正解：19x0, y0,1,xyxy19y9 x1061016可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyxyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y当且仅当9x19时,上式等号成立,又1 ,可得 x4, y12 时, xy16 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyxymin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式： （ 1）如x, yR且 2 xy1,求 1 x1 的最小值y可编辑资料 - - - 欢迎下载精

15、品名师归纳总结技巧七2 已知a, b, x, yR 且 a xb1,求 xyy 的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 x,y 为正实数,且 x 21,求 x1 y的最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22a b分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采纳公式ab2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22同时仍应化简1y中 y 前面的系数为12,x1y x21 y2 x1 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222221y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

16、总结下面将 x,2 2分别看成两个因式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x 2 1y1y 222 2x 2 y12222321y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 222 4即 x1 y 2 x2 2 42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧八：1已知 a,b 为正实数, 2b ab a 30,求函数 y ab 的最小值 .2分析：这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对此题来说,这种途径是可行的。二是直接用基本不等式,对此题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不

17、能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法一： a30 2bb 1,ab30 2bb 1b2 b 30b b 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 a 0 得, 0 b 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 t b+1, 1t 16, ab12t 34t 312t 2（t 16t） 34 t 16t 2t 16t8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ab18 y18 当且仅当 t 4,即 b3, a6 时,等号成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二：

18、由已知得：30aba 2b a 2b22 ab 30 ab22 ab2令 u ab就 u 22 u 300, 52 u 321ab 32 ,ab 18, y 18ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：此题考查不等式ab（ a, b 2R ）的应用、不等式的解法及运算才能。如何由已知不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba2b30（ a,bR ）出 发求 得 ab 的范 围, 关 键是寻 找到 ab与ab之间的 关系, 由此想 到不等 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

19、欢迎下载精品名师归纳总结abab（ a,b 2R ）,这样将已知条件转换为含ab 的不等式,进而解得 ab 的范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式： 1. 已知 a0,b0,ab a b 1,求 ab 的最小值。2. 如直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知 x, y 为正实数, 3x 2y 10,求函数 W3x 2y 的最值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22aba b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一：如利用算术平均与平方平均之间的不等关系,22,此题很简洁可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

20、3x 2y2（ 3x ）2 （ 2y ）2 23x2y 25解法二：条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢。W 0,W2 3x2y23x 2y 10 23x 2y 10 3x 2 2y 2 103 x 2y 20 W20 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 :求函数 y2 x152 x 1x5 的最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：留意到2x221与 52x 的和为定值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 22 x152 x2422 x152x42 x152 x8可编辑

21、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 y0 ,所以 0y223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 2x1= 52x ,即x时取等号。故 ymax22 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：此题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式制造了条件。总之,我们利用均值不等式求最值时,肯定要留意“一正二定三相等”,同时仍要留意一些变形技巧,积极制造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知a, b, c 为两两不相等的实数,求

22、证：a 2b 2c 2abbcca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1）正数 a, b,c 满意 abc 1,求证： 1 a1 b1 c 8abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6：已知 a、b、cR ,且abc1。求证：1111118abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“ 2”连乘,又 11 1abc2 bc ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可由此变形入手。aaaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

23、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：a、b、cR , abc1。1 1abc12 bc。同理112ac , 112ab 。上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaaabbcc述三个不等式两边均为正,分别相乘,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111112 bc 2ac 2ab8 。当且仅当abc1时取等号。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abcabc3应用三：均值不等式与恒成立问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：已知 x0, y0 且 19xy1 ,求使不等式xym恒成立的实数 m 的取值范畴。可编辑资

24、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令xyk, x0, y0, 191 ,xy9x9 y1.10y9 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xykxkykkxky可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10312。kkk16 , m,16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用四：均值定理在比较大小中的应用：1ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：如 ab1, Plg alg b, Qlg a2lg b, Rlg ,就2P,Q, R 的大小关系是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：ab1 lg a0,lg b0Q12（ lg alg blg a lg bpRlg a2b lgab1 lg ab 2QRQP。概念：1 、调和平均数 ：Hn=n/1/a1+1/a2+.+1/an2 、几何平均数 ：Gn=a1a2.an1/n3 、算术平均数 ：An=a1+a2+.+an/n4 、平方平均数 ：Qn= a12+a22+.+an2/n5 、均值定理 ： 假如 a , b 属于 正实数那么 a+b/2 ab且仅当a=b时 等号成立。这四种平均数满意Hn Gn An Qna1 、 a2、 、an R + ,当且仅当 a1=a2= =an 时取 “= ”号可编辑资料 - - - 欢迎下载