2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第八章 第二节　两条直线的交点与距离公式 .docx

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1、第二节两条直线的交点与距离公式2019考纲考题考情1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2。特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行。与AxByC0平行的直线，可设为AxBym0(mC)。(2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2斜率存在，设为k1、k2，则l1l2k1k21。特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。与AxByC0垂直的直线可设为BxAyn0。2两直线相交(1)交点：直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应。(

2、2)相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解。(3)平行方程组无解。(4)重合方程组有无数个解。3三种距离公式(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离为|AB| 。(2)点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离为d。(3)两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20(C1C2)间的距离为d。4对称问题(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P(2ax0,2by0)。(2)设点P(x0，y0)关于直线ykxb的对称点为P(x，y)，则有可求出x，y。1两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B

3、20。2过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2。3点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式。(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等。 一、走进教材1(必修2P101A组T10改编)已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_。解析由题意知1，所以m42m，所以m1。答案12(必修2P114A组T10改编)已知直线3xy30与直线6xmy10平行，则它们之间的距离为()A4 BC D解析由两直线平

4、行，可得m2，直线3xy30变形为6x2y60，所以两直线间的距离d。故选D。答案D二、走近高考3(2018北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos，sin)到直线xmy20的距离。当，m变化时，d的最大值为()A1B2 C3D4解析由题意可得d，因为1sin()1，所以d，1，所以当m0时，d取最大值3。故选C。解法一：因为cos2sin21，所以P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又xmy20表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(1,0)到直线x2的距离即为d的最大值。故选C。解法二：P是圆x2y21上的动点，圆心(0,0)到直线xmy20的距离d2，所以点P到直线xm

5、y20的距离的最大值为3。答案C三、走出误区微提醒：判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况；求平行线间距离忽视x，y的系数相同。4若直线l1：xy10与直线l2：xa2ya0平行，则实数a_。解析因为直线l1的斜率k11，l1l2，所以a21，且a1，所以a1。答案15已知P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为_。解析先把两直线方程化为同系数方程：6x8y240和6x8y50，|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，故d。答案6过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程为_。解析过两直线交点的直线系方程为x3y4(2xy5)0，代

6、入原点坐标，求得，故所求直线方程为x3y4(2xy5)0，即3x19y0。答案3x19y0考点一 两条直线的平行与垂直问题【例1】(1)已知过点A(2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3。若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()A10 B2C0 D8(2)已知经过点A(2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为_。解析(1)因为l1l2，所以2(m2)，解得m8(经检验，l1与l2不重合)，因为l2l3，所以211n0，解得n2，所以mn10。(2)l1的斜率k1a。当a0时，l2的斜

7、率k2。因为l1l2，所以k1k21，即a1，解得a1。当a0时，P(0，1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1l2。综上可知，实数a的值为1或0。答案(1)A(2)1或01讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在。2“直线A1xB1yC10，A2xB2yC20平行”的充要条件是“A1B2A2B1且A1C2A2C1或B1C2B2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2B1B20”。 【变式训练】(1)“a2”是“直线axy20与直线2x(a1)y40平行”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件(2)

8、已知倾斜角为的直线l与直线x2y30垂直，则cos的值为()A BC2 D解析(1)由直线axy20与直线2x(a1)y40平行，得a(a1)2，且4a40，所以a2，所以a2是直线axy20与直线2x(a1)y40平行的充要条件。(2)直线x2y30的斜率为，因为倾斜角为的直线l与直线x2y30垂直，所以tan2，则coscoscossin2。故选A。答案(1)A(2)A考点二 两条直线的交点与距离问题【例2】(1)经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为_。(2)(2019广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3

9、，则a的取值范围是_。(3)(2019厦门模拟)若两平行直线3x2y10，6xayc0之间的距离为，则c的值是_。解析(1)由方程组得即P(0，2)。因为ll3，所以直线l的斜率k，所以直线l的方程为y2x，即4x3y60。(2)由题意得，点P到直线的距离为。又3，即|153a|15，解之得0a10，所以a的取值范围是0,10。(3)依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行线之间的距离为，所以，解得c2或6。答案(1)4x3y60(2)0,10(3)2或6【互动探究】若将本例(1)中的“垂直”改为“平行”，如何求解？解由方程组得即P(0,2)。因为ll3，所以直线

10、l的斜率k，所以直线l的方程为y2x，即3x4y80。解：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420。因为l与l3平行，所以3(2)(4)(1)0，且(4)(42)5(2)，所以，所以直线l的方程为3x4y80。1求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程。2利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等。 【变式训练】(1)已知直线ykx2k1与直

11、线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_。(2)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_。解析(1)如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)。而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2,1)，斜率为k的动直线。因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，所以动直线的斜率k需满足kPAkkPB。因为kPA，kPB。所以k1，直线(b21)xay20与直线x(b1)y10互相垂直，则a的最小值等于()A21 B21C22 D22解析因为直线(b21)xay2

12、0与直线x(b1)y10互相垂直，所以(b21)a(b1)0，又因为b1，所以ab1222，当且仅当b1时，等号成立。故选C。答案C2(配合例2使用)已知曲线y在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为()A2xy20B2xy20或2xy180C2xy180D2xy20或2xy180解析y，当x2时，2，因此kl2。设直线l的方程为y2xb，即2xyb0，由题意，得2，解得b18或b2，所以直线l的方程为2xy180或2xy20。故选B。答案B3. (配合例3使用)如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A3 B6C2 D2解析直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，则光线经过的路程为|CD|2。答案C