四川省成都市新都一中数学选修2-3同步测试：第一章 计数原理 第8课时 排列组合综合应用 .docx

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1、第8课时排列组合综合应用基础达标(水平一)1.若从1,2,3,9这9个数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有().A.60种B.63种C.65种D.66种【解析】9个数中有4个偶数,5个奇数.取的4个数均为奇数时,有C54=5种;均为偶数时,有C44=1种;两奇两偶时,有C42C52=60种.故共有5+1+60=66种.【答案】D2.学校团委组织“共圆中国梦”知识演讲比赛,现有4位选手参加决赛,若每位选手都可以从4个备选题目中任选1个进行演讲,则恰有1个题目没有被这4位选手选中的情况有().A.36种B.72种C.144种D.288种【解析】恰有1个题目没有被这4位选手选中,即4

2、位选手选中3个题目,即有1个题目被2位选手选中,故满足条件的情况有C43C42A33=144种.【答案】C3.设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿x轴跳动,每次向x轴正方向或负方向跳1个单位,经过5次跳动,质点落在点(3,0)处(允许重复过此点),则质点不同的运动方法共有().A.3种B.4种C.5种D.6种【解析】记向左跳1次为-1,向右跳1次为+1,则只要5次和为+3,质点一定落在(3,0),所以只需4个“+1”,1个“-1”即可,从5次中挑出1次取“-1”,结果数为C51=5,故质点运动方法共有5种.【答案】C4.某班组织文艺晚会,准备从A,B等8个节目中选出4个节目演出.要求:A,B两

3、个节目至少有一个选中,且A,B同时选中时,它们的演出顺序不能相邻.那么不同演出顺序的种数为().A.1860B.1320C.1140D.1020【解析】分两类:第一类,A,B只有一个选中,则不同演出顺序有C21C63A44种;第二类,A,B同时选中,则不同演出顺序有C62A22A32种.故共有C21C63A44+C62A22A32=1140种.【答案】C5.由1,2,3三个数字组成的五位数中,相邻的数字不相同的五位数共有个.【解析】先分类,只有两个数字组成的五位数,共有32=6种.由三个数字组成的五位数,其中1,2,3是固定的,剩下两个数可能是1、1,1、2,1、3,2、2,2、3,3、3六种

4、情况,其中有1、1,2、2,3、3的情况先排三个相同的数字,再排剩下的两个数字,所以有32=6种,对于有1、2,1、3,2、3的三种情况,由于有两个数字相同,各有10种排法,共有30种排法.综上所述,满足条件的五位数共有6+6+30=42个.【答案】426.某校准备参加2018年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8个教学班,每班至少1个名额,则不同的分配方案共有种.【解析】问题等价于把10个相同小球放入8个不同的盒子里,每个盒子至少有1个小球的放法种数问题,将10个小球串成一串,截为7段有C97=36种截断法,对应放到8个盒子里.因此,不同的分配方案共有36种.【答案】367.(1

5、)一条长椅上有9个座位,3个人坐,若相邻2人之间至少有2个空椅子,共有几种不同的坐法?(2)一条长椅上有7个座位,4个人坐,要求3个空位中,恰有2个空位相邻,共有多少种不同的坐法?【解析】(1)先将3人(用表示)与4张空椅子(用表示)排列如图(),这时共占据了7张椅子,还有2张空椅子,分开插入,如图中箭头所示(),从4个空当中选2个插入,有C42种插法;2张同时插入,有C41种插法,再考虑3人可交换,有A33种方法.所以共有A33(C42+C41)=60种.(2)可先让4人坐在4个位置上,有A44种排法,再让2个“元素”(一个是2个作为一个整体的空位,另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个空

6、当之中,有A52种插法,所以所求的坐法数为A44A52=480.拓展提升(水平二)8.对所有满足1mn5的自然数m,n,方程x2+Cnmy2=1所表示的不同的椭圆的个数为().A.15B.7C.6D.5【解析】由于Cnm的值不能为1,故m,n的值不能相同,可以从1,2,3,4,5这5个数中选出2个,有C52种选法,较大的数赋值给n,较小的数赋值给m,但C32=C31,C43=C41,C54=C51,C52=C53,共4对值是相同的,故所表示的不同椭圆的个数为C52-4=6.故选C.【答案】C9. 某公园有P,Q,R三只小船,P船最多可乘3 人,Q船最多可乘2人,R船只能乘1人.现有3 个大人和

7、2个小孩打算同时分乘若干只小船,规定有小孩的船必须有大人,则不同的乘船方法共有().A.36种B.33种C.27种D.21种【解析】若2个小孩都乘P船,有C31(C22+A22)=9种方法;若2小孩分别在P,Q两只小船上,则有A22C31(C22+A22)=18种方法.由分类加法计数原理得共有9+18=27种不同的乘船方法.故选C.【答案】C10.如图,圆内的矩形及四条线段把圆分成A、B、C、D、E五部分,现有5种不同色彩可以给这五部分涂色,每部分涂1种颜色,要求相邻的两部分颜色互异,共有种不同的涂色方法.【解析】依题意,给五部分涂色,至少要用三种颜色,故可分成三类涂色:第一类,用5种颜色涂色

8、,有A55种方法;第二类,用4种颜色涂色,选4种颜色的方法有C54种,在涂的过程中,选相对的两部分(A、C或B、D)涂同色有C21种选法,4种颜色涂上去有A44种涂法,共C54C21A44种涂法;第三类,用3种颜色涂色,选颜色有C53种选法,A、C与B、D与E各涂一色有A33种涂法,共C53A33种涂法.所以共有涂色方法A55+C54C21A44+C53A33=420种.【答案】42011.把4名男同志和4名女同志平均分成4组,到4辆公共汽车里售票,如果同样2人在不同汽车上服务算作不同情况.(1)有几种不同的分配方法?(2)每个小组必须是1名男同志和1名女同志有几种不同的分配方法?(3)男同志

9、与女同志分别分组,有几种不同的分配方法?【解析】(1)男、女合在一起共有8人,每辆车上2人,可以分四个步骤完成:先安排2人上第一辆车,有C82种;然后上第二辆车,有C62种;再上第三辆车,有C42种;最后上第四辆车,有C22种.根据分步乘法计数原理,共有C82C62C42C22=2520种不同的分配方法.(2)要求男、女各1人,因此先把男同志安排上车,共有A44种不同方法,同理,女同志也有A44种方法,根据分步乘法计数原理,男、女各有1人上车的不同分配方法有A44A44=576种.(3)男、女分别分组,4名男同志平均分成两组共有C42C22A22=3种不同分法,4名女同志平均分成两组也有C42C22A22=3种不同分法,这样分组方法就有33=9种,对于其中每一种分法上4辆车,又有A44种上法,因此不同分配方法种数为9A44=216种.