2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第二章 第二节　函数的单调性与最值 .docx

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1、第二节函数的单调性与最值2019考纲考题考情1增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。2单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间。3函数的最大值与最小值一般地，设函数yf(x)的定义域为

2、I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M，那么，我们称M是函数yf(x)的最大值。(2)对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M，那么，我们称M是函数yf(x)的最小值。4函数单调性的两个等价结论设x1，x 2D(x1x 2)，则(1)0(或0)f(x)在D上单调递增。(2)0(或0)的递增区间为(，和，)；递减区间为，0)和(0，且对勾函数为奇函数。6函数单调性常用结论区间D上单调递增区间D上单调递减定义法x1 x 2f(x1)f(x2)x1f(x2)图象法函数图象是上升的函数图象是下降的导数法导数大于零导数小于零运算法递

3、增递增递减递减复合法内外层函数单调性相同内外层函数单调性相反函数单调性的常用结论1若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)g(x)也是区间A上的增(减)函数。2若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0或f(x)0，得x4。因此，函数f(x)ln(x22x8)的定义域是(，2)(4，)。注意到函数yx22x8在(4，)上单调递增。由复合函数的单调性知，f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，)。故选D。答案D三、走出误区微提醒：单调性判断出错致误；对称轴讨论出错致误；不会结合函数的图象致误。5函数f(x)x在上的最大值是()ABC2D2解析易知f(x)在上是减函

4、数，所以f(x)maxf(2)2。故选A。答案A6如果二次函数f(x)3x22(a1)xb在区间(，1)上是减函数，那么a的取值范围是_。解析二次函数的对称轴方程为x，由题意知1，即a2。答案(，27若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a的值为_。解析由图象(图略)易知函数f(x)|2xa|的单调递增区间是，令3，得a6。答案6考点一 确定函数的单调性(区间)【例1】(1)(2019山西晋城模拟)已知函数f(x)loga(x22x3)(a0且a1)，若f(0)0，可得3x1，故函数的定义域为x|3x1。根据f(0)loga30，可得0a1，则本题即求函数g(x)在(3，1)内的单

5、调递减区间。利用二次函数的性质可求得函数g(x)在(3,1)内的单调递减区间为1,1)，故选C。答案C(2)解设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0，函数f(x)在(1,1)上单调递增。1求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1)。2(1)函数单调性的判断方法有：定义法；图象法；利用已知函数的单调性；导数法。(2)函数yf(g

6、(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则。 【变式训练】(1)(2019辽宁师大附中模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是()AyxByexCy|x|Dyln|x|(2)判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在x1,2上的单调性。(1)解析因为yx是奇函数，yex是非奇非偶函数，yln|x|是偶函数，但是在区间(0,1)内单调递增，且由y|x|图象可知是偶函数，在区间(0,1)内单调递减。故选C。答案C(2)解判断：f(x)在1,2上单调递增，证明如下：设1x1x22，则f(x2)f(x1)axax(x2x1)，由

7、1x10,2x1x24，1x1x24，1。又因为1a3，所以2a(x1x2)0，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增。考点二 函数的最值【例2】(1)函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_。(2)已知函数f(x)则f(x)的最小值是_。解析(1)由于y x在R上单调递减，ylog2(x2)在1,1上单调递增，所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3。(2)当x1时，f(x)min0，当x1时，f(x)min26，当且仅当x时取到最小值，又260，易知f(x)在2，)上是减函数，所以f

8、(x)maxf(2)12。(2)在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图象，依题意，h(x)的图象如图所示。易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)1。解析：依题意，h(x)当02时，h(x)3x是减函数，所以h(x)在x2时取得最大值h(2)1。答案(1)2(2)1考点三 函数单调性的应用微点小专题方向1：比较大小【例3】已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacbDbac解析由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数yf(x)的图象本身关于直线x1对称，所以a

9、ff。当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ac。故选D。答案D比较函数值的大小，应将自变量转化到同一单调区间内，然后利用单调性解决。 方向2：解不等式【例4】已知奇函数f(x)在x0时单调递增，且f(1)0，若f(x1)0，则x的取值范围为()Ax|0x2Bx|x2Cx|x3Dx|x1解析因为奇函数f(x)在(0，)上单调递增，且f(1)0，所以函数f(x)在(，0)上单调递增，且f(1)0，则1x1时，f(x)0；x1或0x1时，f(x)0即1x11，解得0x2。故选A。答案A利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域。 方向3：求参数范围【例5

10、】(2019江西南昌模拟)设函数f(x)若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为()A1,2)B1,0C1,2D1，)解析函数f(x)若x1，则f(x)x12，易知y2|xa|在(a，)上单调递增，在(，a)上单调递减，若a1，则f(x)在xa处取得最小值，不符合题意；若a1，则要使f(x)在x1处取得最小值，只需2a12，解得a2，所以1a2。综上可得a的取值范围是1,2。故选C。答案C1根据函数的单调性，将题设条件转化为含参数的不等式(组)，即可求出参数的值或范围。2若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的。 【题点对应练】1(方向1

11、)已知函数f(x)满足对任意的x1，x2(0，)，恒有(x1x2)f(x1)f(x2)0成立。若af(log47)，bf(log23)，cf(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是()AcbaBbacCbcaDabc解析根据题意可知，函数f(x)在(0，)上单调递减。而1log47log49log23,00.20.6log470.20.6，所以bac。故选B。答案B2(方向2)已知函数f(x)lnx2x，若f(x24)2，则实数x的取值范围是_。解析因为f(x)定义域为(0，)且函数f(x)lnx2x在定义域上单调递增，且f(1)ln122，所以由f(x24)2得f(x24)f(1)，所以0

12、x241，解得x2或2x1的x的取值范围是_。解析画出函数f(x)的大致图象如图，易知函数f(x)在(，)上单调递增。又xx1，且x(x1)1，f(0)1，所以要使f(x)f(x1)1成立，则结合函数f(x)的图象知只需x11，解得x0。故所求x的取值范围是(0，)。答案(0，)4(方向3)设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围是_。解析作函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4。答案(，14，)求函数最值的常用方法一、单调性法【典例1】函数f(x)的最大值为_。【解析】当x1时，函数f(x

13、)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，且f(1)1；当x2时，yminf(a)a22。利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系。如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决。 四、换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值。如可用三角代换解决形如a2b21及部分根式函数形式的最值问题。【典例4】(1)函数f(x)x2的最大值为_。【解析】设t(t0)，所以x1

14、t2。所以yf(x)x21t22tt22t1(t1)22。所以当t1即x0时，ymaxf(x)max2。【答案】2(2)求函数yx的值域。【解】换元法：由4x20，得2x2，所以设x2cos(0，)，则y2cos2cos2sin2cos，因为，所以cos，所以y2，2。换元法方式很多，常见的有常量代换和三角换元。 五、数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法。【典例5】对a，bR，记maxa，b函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_。【解析】由|x1|x2|，得(x1)2(x2)2。所以x。所以f(x)其图象如图所示。由图象易知，当x时，函数有最小值，所以f(x)minf。【答案】本题画出y|x1|与y|x2|的图象，找出f(x)的图象是解题关键。