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*. 第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？ 2． 如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那么化简的结果等于（ A. B. C. 0 D. 5、已知，求的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。 8.三个有理数的积为负数，和为正数，且则的值是多少？ 9、若为整数，且，试求的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：12+23+34+…+n(n+1) 3、计算： 4、已知为非负整数，且满足，求的所有可能值。5、若三个有理数满足，求 第二讲 数系扩张--有理数（二） 二、【典型例题解析】： 1、 （1）若，化简 （2）若，化简 2、设，且，试化简 3、、是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ （1） （2） （3） （4）若则 （5）若，则 （6）若，则 4、若，求的取值范围。 5、不相等的有理数在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果，那么B点在A、C的什么位置？ 6、设，求的最小值。 7、是一个五位数，，求的最大值。 8、设都是有理数，令 ,,试比较M、N的大小。 三、【课堂备用练习题】： 1、已知求的最小值。 2、若与互为相反数，求的值。 3、如果，求的值。 4、是什么样的有理数时，下列等式成立？ （1） （2） 5、化简下式： 第三讲 数系扩张--有理数 1、计算： 2、 3、计算：① ② 4、化简：并求当时的值。 5、计算： 6、比较与2的大小。 7、计算： 8、已知、是有理数，且，含，，，请将按从小到大的顺序排列。 三、【备用练习题】： 1、计算（1） （2） 2、计算： 3、计算： 4、如果，求代数式的值。 5、若、互为相反数、互为倒数，的绝对值为2，求的值。 2、代数式的求值： （1）已知，求代数式的值。 （2）已知的值是7，求代数式的值。 （3）已知；，求的值 （4）已知，求的值。 （5）已知：当时，代数式的值为2007，求当时，代数式的值。 （6）已知等式对一切都成立，求A、B的值。 （7）已知，求的值。 （8）当多项式时，求多项式的值。 3、找规律： Ⅰ.（1）； （2） （3） （4） 第N个式子呢？ Ⅱ.已知 ； ； ； 若（、为正整数），求 Ⅲ. 猜想： 三、【备用练习题】： 1、若个人完成一项工程需要天，则个人完成这项工程需要多少天？ 2、已知代数式的值为8，求代数式的值。 3、某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而余下的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元？ 4、已知求当时， 第四讲 代数式（二） 一、【典型例题解析】： 1、 已知多项式经合并后，不含有的项，求的值。 2、当达到最大值时，求的值。 3、已知多项式与多项式N的2倍之和是，求N？ 4、若互异，且，求的值。 5、已知，求的值。 6、已知，求的值。 7、已知均为正整数，且，求的值。 8、求证等于两个连续自然数的积。 9、已知，求的值。 10、一堆苹果，若干个人分，每人分4个，剩下9个，若每人分6个，最后一个人分到的少于3个，问多少人分苹果？ 二、【备用练习题】： 1、已知，比较M、N的大小。， 。 2、已知，求的值。 3、已知，求K的值。 4、比较的大小。 5、已知求的值。 第五讲 发现规律 一、【典型例题解析】 1、 观察算式： 按规律填空：1+3+5+…+99= ？，1+3+5+7+…+ ？ 2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第个小房子用了多少块石子？ 3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖 块（2）第个图案中有白色地面砖 块 4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第个图形中三角形的个数为 5、 观察右图，回答下列问题： （1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有 点（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画 点，第n层有多 点（3）某一层上有77个点，这是第 几层（4）第一层与第二层的和是 ,前三层的和 前4层的和 你有没有发现规律 ,根据你的推测，前12层的和是 6、读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里“”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为又如“”可表示为，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题： （1）2+4+6+8+10+…+100用求和符号可表示为 ； （2）计算：= （填写最后的计算结果）。 7、 观察下列各式，你会发现什么规律？ 35=15，而15=42-1 57=35，而35=62-1 … … 1113=143，而143=122-1 … … 将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。 8、 请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。 二、【跟踪训练题】1 1、有一列数其中：=62+1，=63+2，=64+3，=65+4；…则第个数= ，当=2001时，= 。 2、将正偶数按下表排成5列 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24 …… …… 28 26 根据上面的规律，则2006应在 行 列。 3、已知一个数列2，5，9，14，20，，35…则的值应为：（ ） 4、在以下两个数串中： 1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。 A.333 B.334 C.335 D.336 5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格： 拼成一行的桌子数 1 2 3 … n 人数 4 6 … 6、给出下列算式： 观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律： 7、通过计算探索规律： 152=225可写成1001（1+1）+25 252=625可写成1002（2+1）+25 352=1225可写成1003（3+1）+25 452=2025可写成1004（4+1）+25 ………… 752=5625可写成 归纳、猜想得：（10n+5）2= 根据猜想计算：19952= 8、已知，计算： 112+122+132+…+192= ； 9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，n2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？ 第六讲 综合练习（一） 1、 若，求的值。 2、已知与互为相反数，求。 3、已知，求的范围。 4、判断代数式的正负。 5、若，求的值。 6、若，求 7、已知，化简 8、已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，P是数轴上的表示原点的数，求的值。 9、问□中应填入什么数时，才能使 10、在数轴上的位置如图所示， 化简： 11、若，求使成立的的取值范围。 12、计算： 13、已知，，，求。 14、已知，求、的大小关系。 15、有理数均不为0，且。设，求代数式的值。 初一数学寒假专题——规律探索 【典型例题】 题型一 关于图形排列的规律性问题 例1.观察下列图形，根据变化规律推测第100个与第_______个图形位置相同． 例2.观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有__________个★． 例3. 如图所示，在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；……照此规律，画10条不同射线，可得锐角__________个． 和本例类似的题目： （1）在一条直线上取n个不同的点可以组成多少条线段，如图所示． （2）在联欢会上，到场的n个人每两人握一次手，共握手多少次？ 题型二 有理数的规律性问题 例4. 有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为__________． （2）已知an＝（－1）n＋1，当n＝1时，a1＝0；当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝0；…．则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为__________． 例5. 观察下图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是__________． 例6. 符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，… （2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4，f（）＝5，…[来源:Z#X#X#K] 利用以上规律计算：f（）－f（2008）＝__________． 【模拟试题】 一. 选择题 1. 用M，N，P，Q各代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．图1～图4是由M，N，P，Q中的两种图形组合而成的（组合用“&”表示）．（ ） [来源:学.科.网] 那么，下列组合图形中，表示P&Q的是（ ） 2. 观察下列图形，并按照此规律从左向右第2007个图形是（ ） 3. 观察下面给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（ ） A. 3n－2 B. 3n－1 C. 4n＋1 D. 4n－3 4. 有30张分别标示1～30号的纸牌．先将号码数为3的倍数的纸牌拿掉，然后从剩下的纸牌中，拿掉号码数为2的倍数的纸牌．若将最后剩下的纸牌，依号码数由小到大排列，则第5张纸牌的号码为（ ） A. 7 B. 11 C. 13 D. 17 5. 23，33和43分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，63也能按此规律进行“分裂”，则63 “分裂”出的奇数中最大的是（ ） A. 41 B. 39 C. 31 D. 29 二. 填空题[来源:学.科.网] 1. 根据下列图形的排列规律，第2008个图形是福娃__________（填写福娃名称即可）． 2. 观察下列图形的排列规律（其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆）．●□☆●●□☆●□☆●●□☆●……若第一个图形是圆，则第2008个图形是__________（填名称）． 3. 如图，观察下列图案，它们都是由边长为1cm的小正方形按一定规律拼接而成的，依此规律，则第16个图案中的小正方形有_______个． 4. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示） **5. 如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为__________． 5`如图10，已知∠AOB=90，∠BOC=30，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC， （1）求∠EOF的度数. （2）如果∠AOB=α，∠BOC=β，（β为锐角），其他条件不变，求∠EOF的度数. （3）从上面的结果中你可以观察出什么样的规律？ 图11 6、如图11所示，点C在线段AB上，线段AC＝8cm，BC＝6cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求（1）线段MN的长度； （2）根据⑴中的计算过程和结果，设AC＋BC＝m，其它条件不变，你能猜测MN的长度吗？说明理由； （3）若题中的条件改变为“点C在直线AB上”，其它条件不变，结果会有变化吗？若有变化，请求出结果. 相交线,平行线. 一【中考试题分析】 1.如图，已知直线，，，那么的大小为（ ） （A）70 （B）80 （C）90 （D）100 2.图(二)中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角。关于这七个角的度数关系，下列何者正确？ A． B。 C． D。 3.如图2，已知直线a∥b,∠1=40,∠2=60,则∠3等于 A.100 B.60 C．40 D.20 E D B C′ F C D′ A 4.如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65，则∠AED′等于 A .70 B .65 　 C .50 D .25 二【竞赛试题分析】 1. 已知：如图， AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192， ∠B-∠D=24，求∠GEF的度数。 2. 平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？ 3. 6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？ 4. 10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？ (推广:1. n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+n(n+1)=(n2+n+2)块不同的区域 2平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？) 课堂演练: 选择题 1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（　　）条 A．6　 B． 7　 　C．8　 　D．9 2．平面上三条直线相互间的交点个数是　　　（　　） A．3　　 B．1或3　 　C．1或2或3　　 　D．不一定是1，2，3 3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（　　） A．36条 　　B．33条　 　C．24条　　 D．21条 4．已知平面中有个点三个点在一条直线上，四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时等于（ ） （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 5．若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形，则共得同旁内角（　　） A．4对　 　B．8对　 　C．12对　　 D．16对 6．如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=( ) A．90 　　B．135　 　C．150　　 D．180 第7题 7．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，则∠E与∠F的大小关系 ； 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还有 交点 9．平面上3条直线最多可分平面为 个部分。 10．如图，已知AB∥CD∥EF，PS^GH于P，∠FRG=110，则∠PSQ＝ 。 11．已知A、B是直线L外的两点，则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是 。 12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。 13．已知：如图，DE∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 14．已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G 15．如图，已知CB^AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA， ∠EDC+∠ECD =90，求证：DA^AB 16 17、 19．平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？ 20．平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？ 21．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？ 22．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23。 23．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？画出图形。