余弦定理教学设计经典 .docx

《余弦定理教学设计经典 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《余弦定理教学设计经典 .docx（20页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案1.1 2 余弦定理教学设计一、教学目标认知目标：在创设的问题情境中，引导同学发觉余弦定理的内容，推证余弦定理，并简洁运用余弦定懂得三角形。才能目标：引导同学通过观看，推导，比较，由特别到一般归纳出余弦定理，培育同学的创新意识和观看与规律思维才能，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题。情感目标：面对全体同学，制造公平的教学氛围，通过同学之间、师生之间的沟通、合作和评判，调动同学的主动性和积极性，给同学胜利的体验，培育同学学习数学爱好和喜爱科学、勇于创新的精神。二、教学重难点

2、重点：探究和证明余弦定理的过程。懂得把握余弦定理的内容。初步对余弦定理进行应用。难点：利用向量法证明余弦定理的思路。对余弦定理的娴熟应用。探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。同学已经具备了勾股02220可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理的学问，即当C=90 时，有 c =a +b 。作为一般的情形，当C90时，三角形的三边满可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结足什么关系了.同学一时很难找到思路。最简洁想到的思路就是构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系。用向量的数量积证明余弦定理更是同学想不到的，原 因是同学很难将向量的学

3、问与解三角形的学问相结合。因而老师在授课时可以适当的点拨、 启示，勉励同学大胆的探究。在教学中引导同学从不同的途径去探究余弦定理的证明，这样 既能开拓同学的视野，加强同学对余弦定理的懂得，又能培育同学形成良好的思维习惯，激 发同学学习爱好，这是本节课教学的重点，也是难点。三、学情分析和教学内容分析本节内容是人教B 版一般高中课程标准试验教科书必修5 第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另肯定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化，从而使“三角”与“几何”有机的结合起来，为求与三角形

4、有关的问题供应了理论 依据，同时也为判定三角形的外形和证明三角形中的等式供应了重要的依据。教科书第一通过设问的方式，指出了“已知三角形的两边和夹角，无法用正弦定理去解三角形”，进而通过直角三角形中的勾股定理引导同学去探究一般三角形中的边角关系，然后通过构造直角三角形去完成对余弦定理的推证过程，教科书上仍进一步的启示同学用向量的方法去证明余弦定理，最终通过3 个例题巩固同学对余弦定理的应用。在学习本节课之前，同学已经学习了正弦定理的内容，初步把握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上，老师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子，同学发觉不

5、能用上一节所学的学问来解决这一问题，从而引发同学的学习爱好，引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时，考虑到它比正弦定理形式上更加复杂，老师可以有目的的供应一些供争论的素材，并作必要的启示和引导，让同学进行摸索，通过类比、联想、质疑、探究等步骤，辅以小组合作学习，建立猜想，获得命题，再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时，同学可能会遇到证明思路上的困难，老师可以适当的点拨。四、教学过程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载

6、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案环节一 【创设情境 】1、复习引入让同学回答正弦定理的内容和能用这个定懂得决哪些类型的问题。2、情形引入如图 1，某隧道施工队为了开凿一条山的隧道， 需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在的面上选一适当的位置 A，量出 A 到山脚 B、C 的距离， 再利用经纬仪测出 A 对山脚 BC（即线段 BC）的张角， 最终通过运算求出山脚的长度 BC。同学不难将这个实际问题转化到数学问题：已知三角形的两边和一个夹角，去求三角形的另外一 BC边。这个问题是不能使用正弦定理来求解的。同学急迫的期望应

7、用新学问来解决这个问题。A环节二【导入新课 】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题：在 ABC中，当 C=90时，有c 2=a2+b2如 a， b 边的长短不变，变图换1C 的大小时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c 与 a +b有什么大小关系了？请同学们摸索。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结老师勉励同学积极摸索，大胆发言，启示同学解决问题，同学回答，借助于多媒体动画演示结果。222如图 2，如 C90时，由于AC与 BC的长度不变，所以AB的长度变短，即c a +b BBBBAACC图 2

8、图 3222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图 3，如 C90时，由于AC与 BC的长度不变，所以AB 的长度变长，即c经过谈论同学已得到当C90时，c 2a2+b2。环节三【新课探究 】a +b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结探究 1、在上一个问题中，我们已经知道，当C90时， c什么等量关系了？请同学们连续探究。a+b 。那么 c 与 a +b究竟有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结老师引导同学分组合作学习，可让几个小组的同学争论当C为锐角时的结论，另外的小组争论当 C 为钝角时的

9、结论。最终沟通探究，展现成果。如图 4，当 C 为锐角时，作BD AC于 D， BD把 ABC分成两个直角三角形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案BADC图 4222在 Rt ABD中， AB=AD+BD。在 Rt BDC中， BD=BCsinC=asinC ，DC=BC cosC=acosC222所以， AB=AD+BD 化

10、为c 2=b acosC 2+asinC2，222222c =b 2abcosC+a cos C+a sinC，222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c =a +b 2abcosC可以看出 C 为锐角时，ABC的三边 a， b， c 具有 c222=a +b 2abcosC 的关系。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图 5，当 C 为钝角时，作BD AC，交 AC的延长线于D。BADC图 5ACB是两个直角三角形之差。222在 Rt ABD中， AB =AD+BD在 Rt BCD中， BCD= CBD=BCsin C，CD=BC cos C222所以 AB=AD

11、+BD 化为222c =AC+CD +BD222222=b+acos C+asin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2=b +2abcos C+acos C+asin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=b2 +2abcos C+a 2由于 cos C= cosC，所以也可以得到c222=b +a 2abcosC。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结老师点拨： 以上两种情形，我们可以考察向量AC 在向量 BC 方向上的正射影的数量：当 C 分别是锐角和钝角的时候，得到两个数量符号相反。当C是直角的时候，其向量AC 在直角边上的正射影的数量为零。因此

12、，无论是C 是锐角、直角仍是钝角，都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ADb sin C , DCb cosC , BDab cos C ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 Rt ADB中，运用勾股定理，得c到=a +b 2abcosC，我们轮换 A， B， C 的位置可以得a2=b2+c2 2bccosA 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222b =c +a 2accosB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页

13、，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案于是，我们得到三角形中边角关系的又一重要定理：（多媒体投影余弦定理的内容） 余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即c2=a2+b22abcosC a2=b2+c22bccosA b2=c2+a22accosB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从以上的公式中解出cos A, cos B, cosC , 就可以得到余弦定理的另外一种形式：可编辑资料

14、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2c2a 2c22bca 2b 2a 22cab 2c22abcos A cos B cosC从以上分析过程，我们对C 不是直角的情形有了清晰熟悉。我们不仅要熟悉到，C为锐角和钝角时都有c2=a2+b2 2abcosC，仍要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的。这种由未知向已知转化的思想在数学中常常用到。探究 2、你仍能用向量的方法证明余弦定理吗？参看教材例1 左上方的思路提示。老师点拨同学的思路，可以让同学分组争论、探究，最终老师用多媒体展现证明的思路及过程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图 6，在 ABC中，设 ABc,C

15、Ab , BCa ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BCAC2BCAC22AB,2AB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BCAC22BCACAB2AB2AB2 ABAC图 6AC cosA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： a2b2c22bccosA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结老师点评：对于探究1，我们分 C是锐角和钝角的情形对余弦定理的形式给出了证明，过程比较复杂。对于探究2，我们应用向量的数量积可以很简洁的证明余弦定理，这就可

16、以看出向量作为一种工具在证明一些数学问题中的作用，在今后的学习中，我们应当加强对所学学问的应用。探究 3、余弦定理在解三角形中的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案老师启示同学：依据余弦定理的两种形式，可以看出它能够解决解三角形的哪些类型？（同学并不难发觉，余弦定理可以用来解决两种解三角形的类型：已知三角形的两边及其夹角，求第

17、三边。已知三角形的三边，求三个内角。）O下面，请同学们依据余弦定理的这两种应用，来解决以下三个例题。（用多媒体展现例题）例 1、在 ABC中，已知a=5,b=4, C=120 , 求 c.例 2、在 ABC中，已知 a=3,b=2,c=19 , 求此三角形三个内角的大小及其面积（精确到0.1 ）.例 3、 ABC的定点为A6,5,B-2,8,和 C4,1,求 A 精确到 0.1.双边活动：师生可以共同完成例题，进一步的加深同学对余弦定理的应用。环节四【练习与巩固 】O1、在 ABC中， a=1,b=1, C=120 , 就 c=。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、在 ABC中

18、，如三边a,b,c满意 a 2b2c2bc ，就 A=。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、在 ABC 中，已知角、钝角三角形） 。sinA : sin B : sin C3 : 4 : 5, 这个三角形是（填锐角、直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、在 ABC中， BC=3,AC=2,AB 上的中线长为2，求 AB。双边活动：同学限时训练，让同学回答结果，对于出错题目加以讲解，可以用多媒体展现第4 题的解题过程。环节五【课堂反思总结】通过以上的争论过程，同学们主要学到了那些学问和方法？你对此有何体会？（先由同学

19、回答总结，老师适时的补充完善） 1、余弦定理的发觉从直角入手，分别争论了锐角和钝角的情形，表达了由特别到一般的熟悉过程，运用了分类争论的数学思想。 2、用向量证明白余弦定理，表达了数学学问的应用以及数形结合数学思想的应用。3、余弦定理表述了三角形的边与对角的关系，勾股定理是它的一种特例。用这个定理可以解决已知三角形的两边及夹角求第三边和已知三角形的三边求内角的两类问题。（从实际问题动身，通过猜想、试验、归纳等思维方法，最终得到了推导出正弦定理。我们争论问题的突出特点是从特别到一般，我们不仅收成着结论，而且整个探究过程我们也把握了争论问题的一般方法。在强调争论性学习方法，留意同学的主体位置，调动

20、同学积极性，使数学教学成为数学活动的教学。 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结环节六【布置课后作业】1、如三角形ABC的三条边长分别为a2 ， b3 ， c4 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 2bc cos A2ca cos B2ab cos C。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、在 ABC中 , 如 a 7, b 8,cos C13, 就最大内角的余弦值为_。14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、已知 ABC 中， acosB=bcos A ，请判定三角形的外形（用两种不同的方法）。4、教材练习B1,3 。五、教学反思

21、1、余弦定理是解三角形的重要依据，要赐予足够重视。本节内容支配两节课相宜。第一节，余弦定理的引出、证明和简洁应用。其次节复习定理内容，加强定理的应用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案2 、当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定懂得决问题，此时应留意解的不唯独性。但是这个

22、问题在本节课讲给同学，同学不易懂得，可以放在其次课时处理。3 、本节课的重点第一是定理的证明，其次才是定理的应用。我们传统的定理概念教学往往实行的是“掐头去尾烧中断”的方法，忽视了定理、概念的形成过程，只是一味的教给同学定理概念的结论或公式，让同学通过大量的题目去套用这些结论或形式，大搞题海战术，加重了同学的负担，成效很差。同学根本没有把握住这些定理、概念的形成过程，不能明白学问的来龙去脉，怎么会敏捷的应用了？事实上已经证明，这种生搬硬套、死记硬背式的教学方法和学习方法已经不能适应新课标训练的教学理念。新课标课程提倡：强调过程，重视同学探究新学问的经受和获得的新知的体会，不能再让教学脱离同学的

23、内心感受，把“发觉、探究学问”的权益仍给同学。4 、本节课的教学过程重视同学探究学问的过程，突出了以老师为主导，同学为主体的教学理念。老师通过供应一些可供同学争论的素材，引导同学自己去争论问题，探究问题的结论。在这个过程中，老师应当做到“收放有度”，即：不能收的太紧，剥夺了同学独立摸索、合作学习的意识，更不能实行“放羊式”的教学，对于同学在探究问题中显现的困惑置之不理。5 、合理的应用多媒体教学，起到画龙点睛、提高效率、增强同学对问题感官熟悉的成效，不能让老师成为多媒体的奴隶。滥用多媒体教学的后果是将同学上课时的“眼到、手到、口到”变为机械的“眼到”，同学看了一节课的“电影”，没有充分的时间去

24、摸索、练习、巩固，课后会很快将所学的学问忘得干干净净。6 、在实际的教学中，发觉同学对于所学的学问（例如向量）不能很好的应用，同学的数学思想（如分类争论、数形结合）也不能敏捷的应用，这在以后的教学中仍应当加强。从授课的实际成效来看，能较好的完成本节课的教学任务。后一阶段的教学主要应当加强师生的课堂双边活动，处理好教与学的关系，充分调动同学的课堂参加意识，勉励同学积极大胆的发言，同学主动暴露自己的问题，老师准时的加以订正，使教学更具针对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - -

25、 - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案1.1.2余弦定理（导学案）学习目标 1. 会用向量的数量积证明余弦定理的方法。，2. 熟记并把握余弦定理3. 能运用余弦定理及其推论解三角形学习重点 余弦定理的懂得及应用学习难点 由数量积证明余弦定理及应用学习过程 一、课前预备【学问清单】 （预习教材 P5- 8，找出疑问之处）1. 余弦定理：a2 b2 c2 2. 余弦定理的推论：cos A cos B cosC3. 用余弦定理可以解决两类有关解三角形的问题已知三边，求已知和它们的，求第三边和其他两

26、个角。【牛刀小试】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1已知 b2已知 a3, c4, b1, A5, c600 ，求 a 。6 ，求 cos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、新课导学1【复习导入】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.三角形的正弦

27、定理内容：2. 已 知 A=60 ,C= 45 , b16 ，你能解这个解三角形？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【探究】在问题中探究余弦定理如把 2 的条件 C=45 , 改成 c形的两边及其夹角解三角形）8 ，如何解三角形？（即已知三角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题：联系已经学过的学问和方法，可用什么途径来解决这个问题？分析：用正弦定理试求，发觉因A、B 均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来争论这个问题。A设CBa ， CAb ， ABc ，那么 cab ，就CB（小组合作完成）

28、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的余弦的积的两倍。即a2b2c 22bc cos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 2a2c 22ac cos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结摸索：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：懂得定理余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边。已知三角形的三条边就可以求出其它角

29、。摸索：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理就指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？【探究 2】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如ABC中， C=900 ，就 cosC0 ，这时 c2a2b2 ，由此可知余弦定理是勾股定可编辑资料

30、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。当C 为锐角时， a2b 2c 吗。当C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为钝角时，三边的平方关系是怎样的。上面几个命题的逆命题成立吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、典例精析【例 1】在ABC中，已知 a23 ， c62 ， B450 ，求 b 及 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 2】在三角形 ABC中，已知 a=3,b=2,c=19 , 求此三角形的最大角的大小及其面积【例 3】在ABC中，已知 sinA 2sin

31、BcosC，试判定 ABC的外形四、当堂检测1. 已知ABC 的三边分别为 2， 3，4，就此三角形是（）A. 锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2. 已知a7， b43，c13，就最小内角的大小为 .五、提出疑问（易混点） （在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案同学们，通过你的自主学习，你仍有哪些疑问，请把它填在下面的表格中疑问点（易混点）疑问内容（易混内容）学习小结 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结课后提升【必做题】1. 在 ABC中，如 ac acbbc ，就A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2在ABC 中，已知 a 2b2abc2 ，求 C 的大小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载