2019-2020学年高中数学人教A版选修4同步作业与测评：1.2.3 直线和圆的极坐标方程 .doc

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1、23直线和圆的极坐标方程1曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程(，)0建立了如下的关系：(1)曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(，)满足方程(，)0；(2)极坐标满足方程(，)0的点都在曲线C上那么方程(，)0叫做曲线C的极坐标方程，曲线C叫做极坐标方程(，)0的曲线2常见简单曲线的极坐标方程(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式将列出的关系式整理、化简证明所得方程就是曲线的极坐标方程(3)由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯

2、一1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)(0)表示过极点的直线()(2)(R)与(0)表示的曲线不同()(3)7sin2cos0表示的图形为圆()(4)在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标都适合方程()答案(1)(0)表示从极点出发，倾斜角为的射线(2)(3)7sin2cos0转化为直角坐标方程为7sin2cos0，即2x7y0表示的不是圆而是直线(4)在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，只要这一点的极坐标中有一个适合曲线C的方程即可2做一做(1)在极坐标系中，过点(1，0)并且与极轴垂直的直线方程是()Acos Bsin Ccos1 Dsin1答案C解析设P(，)是直线

3、上任意一点，则显然有cos1，即为此直线的极坐标方程(2)极坐标方程分别为cos和sin的两个圆的圆心距是()A3 B C1 D答案D解析将方程化为直角坐标方程，因为不恒为0，可以用分别乘方程两边得2cos和2sin，极坐标方程化直角坐标方程为x2y2x和x2y2y，它们的圆心分别是，圆心距是(3)点_(“在”或“不在”)曲线cos上答案不在解析coscos，不在曲线cos上(4)在极坐标系中，极点到直线cos2的距离为_答案2解析由cos2得x2，所以原点到直线x2的距离为2，即极点到直线cos2的距离为2探究求曲线的极坐标方程例1设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹的极坐标方程解设

4、直角三角形的斜边为OD，它的长度是2r，以O为极点，OD所在射线为极轴，建立极坐标系，如图所示：设P(，)为轨迹上的一点，则OP，xOP在直角三角形ODP中，OPODcos，OP，OD2r，2rcos(0，2r)这就是所求轨迹的方程(1)求曲线的极坐标方程的步骤如下：建立适当的极坐标系；设P(，)是曲线上任一点；列出，的关系式；化简整理(2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形便形成了解题的关键【跟踪训练1】从极点O作圆C：2acos的任意一条弦ON，求各弦的中点M的轨迹方程解解法一：如图所示，圆C的圆心C(a，0)，半径r|OC

5、|a，因为M为弦ON的中点，连接CM所以CMON，故M在以OC为直径的圆上，所以动点M的轨迹方程是acos，解法二：设M(，)，N(1，1)因为N点在圆2acos上，所以12acos1因为M是ON的中点，所以将它代入式得22acos，故M的轨迹方程是acos，探究直线的极坐标方程例2求从极点出发，倾斜角是的射线的极坐标方程解设M(，)为射线上任意一点(如图)，则射线就是集合P，将已知条件用极坐标表示，得(0)这就是所求的射线的极坐标方程方程中不含，说明射线上点的极坐标中的无论取任何正值，的对应值都是求直线极坐标方程的步骤(1)设(，)为直线上任一点的极坐标；(2)写出动点满足的几何条件；(3)

6、把上述条件转化为，的等式；(4)化简整理【跟踪训练2】求过A且垂直于极轴的直线的方程解如图所示，在直线l上任意取点M(，)，A，|OH|2cos在RtOMH中，|OH|OM|cos，cos，即cos，过A且垂直于极轴的直线方程为cos探究圆的极坐标方程例3在极坐标系中，求半径为r，圆心为Cr，的圆的极坐标方程解由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(，)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|2r，连接OM，AM，则OMMA在RtOAM中，|OM|OA|cosAOM，即2rcos，2rsin，经验证，点O(0，0)，A的坐标满足上式所以满足条件的圆的极坐标方程为2rsin(1)圆的极

7、坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，其求解过程同曲线的极坐标方程的求法(2)特别地，当圆心在极轴上即00时，方程为r2220cos；若再有0r，则其方程为20cos2rcos；若0r，00，则方程为2rcos(0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置【跟踪训练3】求圆心在(0，0)，半径为r的圆的方程解在圆周上任取一点P(如图)，设其极坐标为(，)由余弦定理知，CP2OP2OC22OPOCcosCOP，r2220cos(0)故其极坐标方程为r2220cos(0)1曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(，)，(，2)，(，)，(，)都表示同一点的

8、坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可例如对于极坐标方程，点M可以表示为或，或等多种形式，其中，只有，的极坐标满足方程2求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M(，)，探求，的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解3我们在研究某些问题时，如果通过直角坐标系来讨论，繁琐且很不方便甚至会遇到很大的困难，而极坐标系的建立，为其提供了方便建立曲线的极坐标方程的主要方法有：(1)直接法：根据图形的特点，建立适当的极坐标系，利用条件直接建立极坐标方程(2)代入法：就是利用所求轨迹上动点(，)来表示另一动点(，)，而这

9、另一个动点是在已知曲线上运动的，代入已知曲线方程，就能得到所求轨迹方程(3)三角形法：就是找出(或作出)一个直角三角形，利用边角关系，或找出一个斜三角形，借助正、余弦定理，从而得到所求轨迹的极坐标方程4几种特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点且极轴到直线的角为的直线的极坐标方程为(R)或(R)(2)过点A(a，0)(a0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为cosa(3)过点A(a0)且平行于极轴的直线的极坐标方程为sina5图形的对称性(1)若()()，则相应图形关于极轴对称(2)若()()，则图形关于射线所在直线对称(3)若()()，则图形关于极点对称 1在极坐标系中，过点且平行于极轴的

10、直线的极坐标方程是()Asin2 Bcos2Csin2 Dcos2答案A解析过点且与极轴平行的直线为y2，即sin22极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是()A两个圆 B两条直线C一个圆和一条射线 D一条直线和一条射线答案C解析由(1)()0(0)得，1或其中1表示以极点为圆心，半径为1的圆，表示以极点为起点与Ox反向的射线3圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为()A1 BcosC2cos D2sin答案C解析经过极点O且半径为a的圆的极坐标方程为2acos，因圆心在(1，0)，所以半径为1，所以极坐标方程为2cos，故选C4过点A(5，0)和直线垂直的直线的极坐标方程是()Asin

11、 BcosCsin5 Dsin答案A解析因为直线，即直线yx，所以过点A(5，0)和直线垂直的直线方程为yx5，其极坐标方程为sin5在极坐标系中，若直线cos3交曲线4cos于A，B两点，则|AB|_答案2解析cos3即x34cos即24cos，即x2y24x，(x2)2y24圆心(2，0)到直线x3的距离为1，由勾股定理得|AB|22A级：基础巩固练 一、选择题1过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为()A B，0C，0 D和，0答案D解析直角坐标系中倾斜角为的直线对应极坐标系中和，0两条射线2直线cos2关于直线对称的直线方程是()Acos2 Bsin2Csin2 D2sin答案B解析

12、因为cos2，即x2，关于对称的直线的直角坐标方程为y2，化为极坐标方程为sin2故选B3在极坐标系中，圆2sin的圆心的极坐标是()A BC(1，0) D(1，)答案B解析因为该圆的直角坐标方程为x2y22y，即为x2(y1)21，圆心的直角坐标为(0，1)，化为极坐标是4以极坐标系中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是()A2cos B2sinC2cos(1) D2sin(1)答案C解析在极坐标系中，圆心在(0，0)，半径为r的圆的方程为r2220cos(0)，所以可得2cos(1)5在极坐标系中，圆心在(，)且过极点的圆的方程为()A2cos B2cosC2sin D2sin答案B

13、解析如图所示，P(，)，在圆上任找一点M(，)，延长OP与圆交于点Q，则OMQ90，在RtOMQ中，|OM|OQ|cosQOM，所以2cos()，即2cos故选B6在极坐标系中，曲线4sin关于()A直线对称 B直线对称C点对称 D极点对称答案B解析由方程4sin，得22sin2cos，即x2y22y2x配方，得(x)2(y1)24它表示圆心在(，1)、半径为2、且过原点的圆所以在极坐标系中，它关于直线对称故选B二、填空题7圆2cos的半径是_答案1解析2cos，22cos，即x2y22x，(x1)2y21，r18在极坐标系中，圆4被直线分成两部分的面积之比是_答案11解析直线过圆4的圆心，直

14、线把圆分成两部分的面积之比是119已知曲线C与曲线5cos5sin关于极轴对称，则曲线C的极坐标方程是_答案10cos解析曲线5cos5sin10cos，它关于极轴对称的曲线为10cos10cos三、解答题10在极坐标系中，O为极点，求过圆C：6cos的圆心C且与直线OC垂直的直线l的极坐标方程解易得圆心C的极坐标为，设直线l上不同于点C的任意一点为P(，)，在RtOPC中，|OC|OP|cosCOP，则cos3，经检验点C的坐标适合上式，故直线l的极坐标方程为cos3B级：能力提升练1已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy圆C的极坐标方程为2240，化简，得22sin2cos40则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26所以圆C的半径为2已知半径为R的定圆O外有一定点O，|OO|a(aR)，P为定圆O上的动点，以OP为边作正三角形OPQ(O，P，Q按逆时针方向排列)，求Q点的轨迹的极坐标方程解如图所示，以定点O为极点，射线OO为极轴正向建立极坐标系，则O的极坐标方程是2(2acos)a2R20设Q(，)，则有P，又P在O上，所以2a2R20即所求Q点的轨迹方程为22acosa2R20