2019-2020学年高中数学人教A版选修4同步作业与测评：2.2.1 直线的参数方程 .doc

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1、21直线的参数方程直线的参数方程(1)经过点P(x0，y0)，倾斜角是的直线的参数方程为(t为参数)其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，可以用有向线段的数量来表示当与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数当与e反向时，t取负数当M与P重合时，t0(2)经过两个定点Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中x1x2)的直线的参数方程为(为参数，1)其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数的几何意义与参数方程中的t显然不同，它所反映的是动点M分有向线段的数量比当0时，M为内分点；当0时，且1时，M为外分点；当0时，点M与Q重合1判一判(正确的打“”，错误的打“”

2、)(1)过M(1，5)且倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)()(2)直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为1()(3)当00，所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上的()答案(1)(2)(3) 2做一做(1)直线的参数方程为(t为参数)，M0(1，2)和M(x，y)是该直线上的定点和动点，则t的几何意义是()A有向线段的数量B有向线段的数量C|D以上都不是答案B(2)已知直线l的方程(t为参数)，那么直线l的倾斜角为()A65 B25 C155 D115答案D(3)曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是()A线段 B双曲线的一支C圆 D射线答案D(4)经过点Q(1，2)，P(3

3、，7)的直线的参数方程为_答案(为参数，1)探究直线的参数方程的求法例1(1)已知直线l的方程为3x4y10，点P(1，1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5，4)的距离(2)已知两点A(2，1)，B(1，2)和直线l：x2y50求过点A，B的直线的参数方程，并求它与直线l的交点的坐标解(1)由直线方程3x4y10可知，直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则tan，sin，cos又点P(1，1)在直线l上，所以直线l的参数方程为(t为参数)因为354410，所以点M在直线l上由1t5，得t5，即点P到点M的距离为5(2)设直线AB上动点P(x，y)，选取参数，则直线AB的参数方程

4、为(为参数)把代入x2y50得把代入得即交点坐标为(5，0)求直线的参数方程时，若已知所过的定点与其倾斜角时，利用(t为参数)求；若已知两个定点，利用(为参数，1)求理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数的几何意义，解决此类问题的关键【跟踪训练1】(1)设直线l过点A(2，4)，倾斜角为，则直线l的参数方程为_；(2)一直线过P0(3，4)，倾斜角，求此直线与直线3x2y6的交点M与P0之间的距离答案(1)(t为参数)(2)见解析解析(1)直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)(2)设直线的参数方程为(t为参数)，将它代入已知直线3x2y60，得326，解得t，所以|MP0|t|探究直

5、线与圆的参数方程的综合应用例2已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角，(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2y24相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积解(1)直线l过点P(1，1)，倾斜角为，直线的参数方程为即(t为参数)为所求(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A，B，将直线l的参数方程代入圆的方程x2y24，整理得到t2(1)t20，因为t1和t2是方程的解，从而t1t22所以|PA|PB|t1t2|2|2(1)由直线参数方程的概念可直接写出方程(2)充分利用参数几何意义求解求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交

6、点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷【跟踪训练2】直线l通过P0(4，0)，倾斜角，l与圆x2y27相交于A，B两点(1)求弦长|AB|；(2)求A，B两点坐标解(1)直线l通过P0(4，0)，倾斜角，可设直线l的参数方程为(t为参数)，代入圆方程，得227，整理得t24t90*设A，B对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系得t1t24，t1t29，|AB|t2t1|2(2)解*得t13，t2，代入直线参数方程得A点坐标，B点坐标探究直线与圆锥曲线的参数方程的综合应用例3已知抛物线y28x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点(

7、1)求|AB|；(2)求AB的中点M的坐标及|FM|解抛物线y28x的焦点为F(2，0)，依题意，设直线AB的参数方程为(t为参数)，其中tan2，cos，sin，为直线AB的倾斜角，代入y28x整理得t22t200设Ft1e，Ft2e，其中e，则t1t22，t1t220(1)|A|FF|t2et1e|t2t1|e|t2t1| 10(2)由于AB的中点为M，则AM，FFFF，即F(FF)，又F(FF)e，故点M对应的参数为，M(3，2)，|FM|设二次曲线C：F(x，y)0，直线l：(t为参数)，如果l与C相交于A，B两点，那么将l的方程代入F(x，y)0后可得at2btc0，则该方程有两个不

8、等实数根t1，t2，此时t1e，t2e，e(cos，sin)，于是易得以下两个常见的公式：(1)|AB|t1t2|；(2)线段AB的中点M对应的参数t，且|M0M|【跟踪训练3】以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度已知直线l的参数方程为(t为参数，0)，曲线C的极坐标方程为(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求|AB|的最小值解(1)由，得(sin)22cos，所以曲线C的直角坐标方程为y22x(x0)(2)将直线l的参数方程代入y22x，得t2sin22tcos10设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则

9、t1t2，t1t2，所以由参数t的几何意义得|AB|t1t2| ，当时，|AB|取最小值21经过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的数量，可为正，为负，也可为零2在直线参数方程中，如果直线上的点M1，M2所对应的参数值分别为t1和t2，则线段M1M2的中点所对应的参数值为t中(t1t2) 1直线(t为参数)的倾斜角是()A20 B70 C110 D160答案B解析将t代入x3tsin20，得x3ytan20，即xytan2030设直线的倾斜角为，则tantan70又0，180)，702已知直线l

10、的普通方程是2xy10，则直线l的参数方程的标准形式为()A(t为参数)B(t为参数)C(t为参数)D(t为参数)答案C解析由直线l的普通方程，知直线l的斜率为2设直线l的倾斜角为，则tan2，且为锐角，cos，sincostan又直线l经过点(0，1)，直线l的参数方程的标准形式为(t为参数)3直线l经过点M0(1，5)，倾斜角为，且交直线xy20于点M，则|MM0|()A1 B6(1)C6 D61答案B解析由题意可得直线l的参数方程为(t为参数)，代入直线方程xy20，得1t5t20，解得t6(1)根据t的几何意义可知|MM0|6(1)4直线(t为参数)与曲线交于A，B两点，A，B对应的参

11、数值分别为t1，t2，则|AB|等于 ()A|t1t2| B|t1|t2|C|t1t2| D答案C解析由参数t的几何意义可知，|AB|t1t2|，故选C5直线(t为参数)上与点P(2，4)距离等于4的点Q的坐标为_答案(4，42)或(0，42)解析因为直线的参数方程为标准形式，所以由t的几何意义可知|PQ|t|4，所以t4，当t4时，当t4时，A级：基础巩固练 一、选择题1若直线(t为参数)与圆(为参数)相切，那么直线倾斜角为()A B C D或答案D解析直线化为tan，即ytanx，圆方程化为(x4)2y24，由2tan2，tan，又0，)，或2直线(t为参数)和圆x2y216交于A，B两点

12、，则AB的中点坐标为()A(3，3) B(，3)C(，3) D(3，)答案D解析2216，得t28t120，t1t28，4，AB中点为3过点(0，2)且与直线(t为参数)互相垂直的直线方程为()A BC D答案B解析直线化为普通方程为yx12，其斜率k1，设所求直线的斜率为k，由kk11，得k，故参数方程为(t为参数)4已知直线l的参数方程为(t为参数)，则过点(4，1)且与l平行的直线在y轴上的截距是()A1 B2 C3 D4答案D解析由题意知，过点(4，1)且与l平行的直线的参数方程为(t为参数)令x0，得t5把t5代入y1t，得y1(5)4，故所求截距为45已知直线l过点A(2，1)，且

13、与向量a(1，1)平行，则点P(1，2)到直线l的距离是()A B2 C3 D2答案C解析由已知得直线l的参数方程为(t为参数)因为直线l上的任意一点M的坐标可表示为(2t，1t)，所以|PM|，当t0时，|PM|有最小值，最小值是3，此时|PM|为点P到直线l的距离6过抛物线y24x的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长是()A16 B3 C D答案C解析抛物线y24x的焦点F的坐标为(1，0)，又倾斜角为，所以弦AB所在直线的参数方程为(t为参数)，代入抛物线方程y24x得到24，整理得3t28t160设方程的两个实根分别为t1，t2，则有所以|t1t2|，故弦AB的长

14、为二、填空题7设直线的参数方程为(t为参数)，点P在直线上，且与点M0(4，0)的距离为，若该直线的参数方程改写成(t为参数)，则在这个方程中P点对应的t值为_答案1解析由|PM0|知，t，代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为(3，1)或(5，1)，再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t1或t18过点(6，7)，倾斜角的余弦值是的直线l的参数方程为_答案(t为参数)解析设倾斜角为，cos，sin，(t为参数)9已知曲线C1的参数方程是(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，则C1与C2交点的直角坐标为_答案(，1)解析由消去t得yx(x0)，即

15、曲线C1的普通方程是yx(x0)；由2，得24，得x2y24，即曲线C2的直角坐标方程是x2y24联立解得故曲线C1与C2的交点坐标为(，1)三、解答题10设直线的参数方程为(t为参数)(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式解(1)把t代入y的表达式得y10，化简得4x3y500，所以直线的普通方程为4x3y500(2)把参数方程变形为令t5t，即(t为参数)为参数方程的标准形式B级：能力提升练1已知直线的参数方程为(t为参数)，它与曲线(y2)2x21交于A，B两点(1)求|AB|的长；(2)求点P(1，2)到线段AB中点C的距离解(1)把直线的参数方程代入

16、曲线方程并化简得7t26t20设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，t1t2所以，线段|AB|的长为|t1t2|5(2)根据中点坐标的性质可得AB中点C对应的参数为所以，由t的几何意义可得点P(1，2)到线段AB中点C的距离为2在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|，求l的斜率解(1)由xcos，ysin可得圆C的极坐标方程为212cos110(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos110于是1212cos，1211|AB|12|由|AB|得cos2，tan所以l的斜率为或