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1、课后限时集训(四十五)圆的方程(建议用时:60分钟)A组基础达标一、选择题1若方程(2m2m1)x2(m2m2)y2m20的图形表示一个圆,则实数m等于()A3B3C1 D1B由题意得2m2m1m2m2,所以m3或m1.当m1时,原方程为2x22y230,不能表示圆;当m3时,原方程为x2y2,该曲线表示圆故选B.2动点P与定点A(1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为1,则点P的轨迹方程是()Ax2y21Bx2y21(x0)Cx2y21(x1)DyC设P(x,y),由题意可知kPAkPB1,即1(x1),y2x21(x1)故选C.3圆:x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离的最大值是
2、()A1 B2C1 D22A由已知得圆的标准方程为(x1)2(y1)21,则圆心坐标为(1,1),半径为1,所以圆心到直线的距离为,所以圆上的点到直线的距离的最大值是1,故选A.4已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B.C. D.B设圆的一般方程为x2y2DxEyF0,则解得即圆的方程为x2y22xy10.ABC外接圆的圆心为,故ABC外接圆的圆心到原点的距离为.5已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点,且圆C与直线xy30相切,则圆C的方程是()A(x1)2y22 B(x1)2y28C(x1)2y22 D(x1)2y28A直线xy10与
3、x轴的交点为(1,0)根据题意,圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆C与直线xy30相切,所以半径为圆心到切线的距离,即rd,则圆的方程为(x1)2y22.故选A.二、填空题6若不同的四点A(5,0),B(1,0),C(3,3),D(a,3)共圆,则a的值为_7设过A,B,C三点的圆的方程为x2y2DxEyF0.由题意得解得圆的方程为x2y24xy50.又点D(a,3)在圆上,故a294a2550,解得a7或a3(舍去)7圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(1,1),B(1,3),若M(m,)在圆C内,则m的范围为_(0,4)设圆心为C(a,0),由|CA|CB|得(a1)212(a1)232.所以
4、a2.半径r|CA|.故圆C的方程为(x2)2y210.由题意知(m2)2()210,解得0m4.8如果实数x,y满足等式(x2)2y21,那么的取值范围是_设k,则ykx(k3)表示经过点P(1,3)的直线,k为直线的斜率,所以求k的取值范围就等价于求同时经过点P(1,3)和圆上的点的直线中斜率的最大值与最小值,从图中可知,当过点P的直线与圆相切时取最大值和最小值,此时对应的直线斜率分别为kPB和kPA,由于kPB不存在,故由题意可知,点(2,0)到直线ykx(k3)的距离dr1,解得k,故的取值范围为.三、解答题9设定点M(3,4),动点N在圆x2y24上运动,以OM,ON为两边作平行四边
5、形 MONP,求点P的轨迹解如图,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为,.因为平行四边形的对角线互相平分,所以,整理得又点N(x3,y4)在圆x2y24上,所以(x3)2(y4)24.所以点P的轨迹是以(3,4)为圆心,2为半径的圆因为O,M,P三点不共线,所以应除去两点和.10.如图,等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2,高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程;(2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2),端点M在圆E上运动,求线段MN的中点P的轨迹方程解(1)由已知可知A(3,0),B(3,0),C(,3),D(,3),设圆心E(0,
6、b),由|EB|EC|可知(03)2(b0)2(0)2(b3)2,解得b1.所以r2(03)2(10)210.所以圆的方程为x2(y1)210.(2)设P(x,y),由点P是MN中点,得M(2x5,2y2)将M点代入圆的方程得(2x5)2(2y3)210,即22.B组能力提升1(2019贵阳模拟)过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积为8,则OAB外接圆的标准方程是()A(x2)2(y2)28B(x1)2(y2)28C(x2)2(y2)28D(x1)2(y2)28A设直线l的方程为1(a0,b0),由直线l过点M(2,2),得1.又SOABa
7、b8,所以a4,b4,所以OAB是等腰直角三角形,且M是斜边AB的中点,则OAB外接圆的圆心是点M(2,2),半径|OM|2,所以圆的方程为(x2)2(y2)28.2若直线ax2by20(a0,b0)始终平分圆x2y24x2y80的周长,则的最小值为()A1 B5C4 D32D由题意知圆心C(2,1)在直线ax2by20上,2a2b20,整理得ab1,(ab)33232,当且仅当,即b2,a1时,等号成立的最小值为32.3已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x2y0的距离为,且圆C被x轴分成的两段弧长之比为31,则圆C的方程为_(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2,则点C到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.由题意可知或故所求圆C的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.4在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线yx的距离为,求圆P的方程解(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y22r2,x23r2,从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0,y0)由已知得.又P点在双曲线y2x21上,从而得由得此时,圆P的半径r.由得此时,圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.
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