天津专用2020届高考数学一轮复习考点规范练50离散型随机变量的均值与方差.docx

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1、考点规范练50离散型随机变量的均值与方差一、基础巩固1.已知X的分布列如下表,设Y=2X+3,则E(Y)的值为()X-101P121316A.73B.4C.-1D.12.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取1个球,记下颜色后放回.若连续取三次,用X表示取出红球的个数,则均值E(X)与方差D(X)的和为()A.2B.23C.53D.433.已知B4,13,并且=2+3,则方差D()=()A.329B.89C.439D.5994.已知随机变量的分布列为123P0.5xy若E()=158,则D()等于()A.3364B.5564C.732D.9325.甲、乙两

2、人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为()A.24181B.26681C.27481D.6702436.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的均值为.7.已知随机变量的分布列如下:012Pba212-a2则E()的最小值为,此时b=.8.光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术,具有资源的充足性及潜在的经济性等优点,在长期的能源战略中具有重要

3、地位,2015年起,国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点.在某县居民中随机抽取50户,统计其年用电量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.用电量(单位:度)(0,200(200,400(400,600(600,800(800,1 000户数7815137(1)在该县居民中随机抽取10户,记其中年用电量不超过600度的户数为X,求X的数学期望;(2)在总结试点经验的基础上,将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组,该机组所发电量除保证该村正常用电外,剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行

4、收购.经测算,每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1 000度,试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元?9.在一袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4),现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、期望和方差;(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.10.甲、乙、丙三人射击同一目标,各射击一次,已知甲击中目标的概率为35,乙与丙击中目标的概率分别为m,n(mn),每人是否击中目标是相互独立的.记目标被击中的次数为,且的分布列如下表:0123P115ab15(1)求m,n的值;(

5、2)求的均值.二、能力提升11.为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E();(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)12.现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得

6、0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(1)求该射手恰好命中一次的概率;(2)求该射手的总得分X的分布列及均值E(X).三、高考预测13.某学校为鼓励家校互动,与某手机通讯商合作,为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据,其频率分布直方图如下:若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率视为概率,回答以下问题.(1)从该校教师中随机抽取3人,求这3人中至多有1人手机月使用流量不超过300 M

7、的概率;(2)现该通讯商推出三款流量套餐,详情如下:套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA20300B30500C38700这三款套餐都有如下附加条款:套餐费月初一次性收取,手机使用流量一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值200 M流量,资费20元;如果又超出充值流量,那么系统就再次自动帮用户充值200 M流量,资费20元,以此类推.如果当月流量有剩余,那么系统将自动清零,无法转入次月使用.学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的75%,其余部分由教师个人承担,问学校订购哪一款套餐最经济?说明理由.考点规范练50离散型随机变量的均值与方差1.A解析E(X)

8、=-12+16=-13,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-23+3=73.2.C解析由题意可知,每次取到红球的概率都是515=13.设X为取得红球的次数,则XB3,13,则E(X)=313=1,D(X)=3131-13=23,故E(X)+D(X)=53.3.A解析由题意知,D()=4131-13=89,=2+3,D()=4D()=489=329.4.B解析由分布列的性质得x+y=0.5,又E()=158,所以2x+3y=118,解得x=18,y=38.故D()=1-158212+2-158218+3-158238=5564.5.B解析依题意,知X的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛

9、为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为232+132=59.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X=2)=59,P(X=4)=4959=2081,P(X=6)=492=1681,故E(X)=259+42081+61681=26681.6.200解析记不发芽的种子数为Y,则YB(1000,0.1),E(Y)=10000.1=100.又X=2Y,E(X)=E(2Y)=2E(Y)=200.7.3412解析由题意可得,b+a2+12-a2=1,即b+a2-a2=12,b0,1,a-1,1.E()=0+a2+212-a2=a2-a

10、+1=a-122+3434,当且仅当a=12时取等号,故E()的最小值为34.此时b=12.8.解(1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户,其年用电量不超过600度为事件A,则P(A)=35.由已知可得从该县居民中随机抽取10户,记其中年用电量不超过600度的户数为X,则X服从二项分布,即XB10,35,故E(X)=1035=6.(2)设该县居民户年均用电量为E(Y),由抽样可得E(Y)=100750+300850+5001550+7001350+900750=520,则该自然村年均用电量约156000度.又该村所装发电机组年预计发电量为300000度,故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能

11、剩余电量约144000度,能为该村创造直接收益1440000.8=115200元.9.解(1)X的取值为0,1,2,3,4,其分布列为X01234P1212011032015E(X)=012+1120+2110+3320+415=1.5,D(X)=(0-1.5)212+(1-1.5)2120+(2-1.5)2110+(3-1.5)2320+(4-1.5)215=2.75.(2)由D(Y)=a2D(X),得2.75a2=11,得a=2,又E(Y)=aE(X)+b,当a=2时,由1=21.5+b,得b=-2;当a=-2时,由1=-21.5+b,得b=4,a=2,b=-2或a=-2,b=4.10.解

12、(1)设甲、乙、丙各自击中目标分别为事件A,B,C.由题设可知当=0时,甲、乙、丙三人均未击中目标,即P(=0)=P(ABC)=25(1-m)(1-n)=115,化简得mn-(m+n)=-56.同理,P(=3)=35mn=15,即mn=13.联立可得m=23,n=12.(2)由题设及(1)可知,a=P(=1)=351312+252312+251312=310,b=1-115+310+15=1330.故E()=0115+1310+21330+315=5330.11.解(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的

13、概率为1550=0.3.(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.P(=0)=C22C42=16,P(=1)=C21C21C42=23,P(=2)=C22C42=16.所以的分布列为012P162316故的期望E()=016+123+216=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.12.解(1)记:“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击命中甲靶”为事件B,“该射手第一次射击命中乙靶”为事件C,“该射手第二次射击命中乙靶”为事件D.由题意知P(B)=34,P(C)=P(D)=23.由

14、于A=BCD+BCD+BCD,根据事件的独立性和互斥性得P(A)=P(BCD)+P(BCD)+P(BCD)=P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)=341-231-23+1-34231-23+1-341-2323=736.(2)根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的对立性和互斥性得P(X=0)=P(BCD)=1-341-231-23=136,P(X=1)=P(BCD)=341-231-23=112,P(X=2)=P(BCD+BCD)=P(BCD)+P(BCD)=1-34231-23+1-341-2323=19,P(X=3)=P(BC

15、D)+P(BCD)=34231-23+341-2323=13,P(X=4)=P(BCD)=1-342323=19,P(X=5)=P(BCD)=342323=13.故X的分布列为X012345P13611219131913所以E(X)=0136+1112+219+313+419+513=4112.13.解(1)记“从该校随机抽取1位教师,该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D.依题意,P(D)=(0.0008+0.0022)100=0.3.从该校教师中随机抽取3人,设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X,则XB(3,0.3),所以从该校教师中随机抽取3人,至多有1人手机月使用流量

16、不超过300M的概率为P(X=0)+P(X=1)=C300.30(1-0.3)3+C310.3(1-0.3)2=0.343+0.441=0.784.(2)依题意,从该校随机抽取1位教师,该教师手机月使用流量L(300,500的概率为(0.0025+0.0035)100=0.6,L(500,700的概率为(0.0008+0.0002)100=0.1.当学校订购A套餐时,设学校为1位教师承担的月费用为X1元,则X1的所有可能取值为20,35,50,且P(X1=20)=0.3,P(X1=35)=0.6,P(X1=50)=0.1,所以X1的分布列为X1203550P0.30.60.1所以数学期望E(X1)=200.3+350.6+500.1=32(元).当学校订购B套餐时,设学校为1位教师承担的月费用为X2元,则X2的所有可能取值为30,45,且P(X2=30)=0.3+0.6=0.9,P(X2=45)=0.1,所以X2的分布列为X23045P0.90.1所以数学期望E(X2)=300.9+450.1=31.5(元).当学校订购C套餐时,设学校为1位教师承担的月费用为X3元,则X3的所有可能取值为38,且P(X3=38)=1,所以E(X3)=381=38(元).因为E(X2)E(X1)E(X3),所以学校订购B套餐最经济.