第七章直线和圆的方程典型例题.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第一节：直线的倾斜角和斜率其次节：直线的方程第三节：两条直线的位置关系第四节：简洁的线性规划第五节：争论性课题与实习作业：线性规划的实际应用第六节：曲线和方程第七节：圆的方程第一节：直线的倾斜角和斜率例 1 判定以下命题是否正确：一条直线l 肯定是某个一次函数的图像。一次函数的图像肯定是一条不过原点的直线。假如一条直线上全部点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程。假如以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线解：不正确直线，不是一次函数。不正确当时

2、，直线过原点不正确第一、三象限角的平分线上全部的点都是方程的解， 但此方程不是第一、三象限角平分线的方程不正确 以方程 的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但此直线不是方程 的图像说明：直线方程概念中的两个条件缺一不行，它们和在一起构成充要条件例 2 设直线的斜率为k，且，指出直线倾斜角的范畴解：，由已知得，直线的倾斜角的范畴是例 3 已知两点A-3 ， 4 ， B3 ， 2 ，过点 P2 ， 1 的直线 l 与线段 AB 有公共点（ 1 ）求直线l 的斜率的取值范畴（2）求直线l 的倾斜角的取值范畴分析：如图1，为使直线l 与线段AB 有公共点，就直线l 的倾斜角应介于直线PB 的倾斜角

3、与直线PA 的倾斜角之间，所以，当l 的倾斜角小于90 时，有。当 l 的倾斜角大于90 时，就有解：如图1 ，有分析知 1， 3 （ 1）或（ 2 ） arctg3说明：同学常错误的写成1k3，缘由是与倾斜角分不清或误以为正切函数在上单调递增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 4 已知两点A 1， 5 ， B3 ， 2 ，直线 l 的倾

4、斜角是直线倾斜角的一半，求直线l 的斜率解 1 ：设直线l 的倾斜角为，就直线的倾斜角为2tg2化简得3tg 2+8 tg 3 0解得tg或tg 3tg2 00 290 ，0 证明：如图2，在坐标平面上取点Am ， m， B a， b，就 AB 的中点为C，明显 OA、OB 、OC 的斜率满意又，1所以说明：此题与前边不等式的证明联系紧密，此处供应了一种新奇的证明，有助于同学对解析法的懂得同时此题为构造性证明，不易想到事实上， 把分式看成斜率是常用的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - -

5、 - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -其次节：直线的方程例 1：直线过点（ 1， 3），倾斜角的正弦是，求直线的方程分析：依据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，留意有两解解：由于倾斜角的范畴是：又由题意：，所以：，直线过点（ 1， 3），由直线的点斜式方程得到：即：或说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在运算中，要留意当不能判定倾斜角的正切时，要保留斜率的两个值，从而满意条件的解有两个例 2：求经过两点（ 2，）和（， 3）的直线方程分析：此题有两种解法，一是利用直线的两点式。二是利用

6、直线的点斜式在解答中假如选用点斜式，只涉及到与 2 的分类。假如选用两点式，仍要涉及与 3 的分类解：法一：利用直线的两点式方程直线过两点（ 2，）和（， 3）（ 1）当时，点的坐标是（ 2， 3），与点（， 3）的纵坐标相等，就直线的方程是。（ 2 ）当时，点的坐标是（ 2， 3） , 与点（2，）的横坐标相等，就直线的方程是。（ 1 ）当（ 2）当时，点时，过点的横坐标相同，直线的直线的斜率是垂直与，轴，就直线的。又过点（ 2，）（ 3）当，时，由直线的两点式方程得：法二：利用直线的点斜式方程由直线的点斜式方程得过点的直线的方程是：说明：此题的目的在于使同学懂得点斜式和两点式的限制条件，并

7、体会分类争论的思想方法例 3：把直线方程化成斜截式 ，化成截距式 分析：由于，即，按斜截式、截距式的形式要求变形即可解：斜截式为，截距式为+ 1说明：此题考查的是直线方程的两种特别形式：斜截式和截距式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 4：过点（ 3，0）作直线，使它被两相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程解：设点坐标（，）线

8、段的中点为（ 3， 0） 由中点公式，可设点坐标为，两点分别在直线和上解得由两点式可得直线的方程为：例 5：一根铁棒在20时，长10.4025 米，在40时，长10.4050米，已知长度l 和温度 t 的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且依据这个方程，求这跟铁棒在25时的长度解：这条直线经过两点（20 ， 10.4025 ）和（ 20， 10.4050 ），依据直线的两点式方程:即 0.002510.4000当25时 0.0025 10.4000 0.0031 10.4000 10.4031即当25时，铁棒长为10.4031米说明：直线方程在实际中应用特别广泛例 6：已知，其中、是

9、实常数，求证：直线必过肯定点分析：观看条件与直线方程的相像之处，可把条件变形为，可知，即为方程的一组解，所以直线过定点（ 6，4）此问题属于直线系过定点问题，此类问题的完全解决宜待学完两直线位置之后较好，当然现在也可以争论，并且也有一般方法例 7：直线过点（ 2， 1），且分别交轴、轴的正半轴于点、点是坐标原点，（1） 求当面积最小时直线的方程。（ 2）当最小时，求直线的方程解：（ 1）如图，设，的面积为，就并且直线的截距式方程是 1由直线通过点（2， 1），得 1所以 :由于点和点在轴、轴的正半轴上，所以上式右端的分母由此得 :当且仅当，即时，面积取最小值4， 这时，直线的方程是: 1即:可

10、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）设，就，如图 2，所以当 45时有最小值 4，此时，直线的方程为 说明：此题与不等式、三角联系紧密，解法许多，有利于培育同学发散思维，综合才能和敏捷处理问题才能动画素材中有关于此题的几何画板演示第三节：两条直线的位置关系例 1 已知点，点在坐标轴上，且，就满意条件的点的个数是（）（ A）1（B）2（

11、C）3（ D）4略解：点在坐标轴上，可有两种情形，即在轴或轴上，点的坐标可设为或由题意，直线与直线垂直，其斜率乘积为1，可分别求得或 2，或 4，所以满意条件的点的坐标为（0， 0），（ 2， 0），（ 0， 4）说明： 此题仍可以有另外两种解法：一种是利用勾股定理，另一种是直角三角形斜边与轴交点恰为斜边中点，就由到、距离相等的性质可解此题易错，可能只解一个坐标轴。可能解方程时漏解。也可能看到、各有两解而误以为有四点例 2 已知的一个定点是，、的平分线分别是，求直线的方程分析：利用角平分线的轴对称性质，求出关于，的对称点，它们明显在直线上 解：关于，的对称点分别是和，且这两点都在直线上，由两点

12、式求得直线方程为例 3 求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程略解一：解得两直线和的交点为（，），由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为，进而所求直线方程为略解二：设所求直线方程为，将所求交点坐标（，）代入方程得，所以所求直线方程为略解三：所求直线过点（，），且与直线垂直，所以，所求直线方程为即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -略

13、解四：设所求直线得方程为即（ 1）由于该直线与已知直线垂直 , 就解得代入（ 1）得所求直线方程为例 4 在中，边上的高所在的直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，如点的坐标为（1， 2），求点和点的坐标解：解直线和直线的交点得，即的坐标为，又轴为的平分线，又直线为边上的高，由垂直得，设的坐标为，就，解得，即的坐标为例 5 已知定点（ 3，1），在直线和上分别求点和点，使的周长最短，并求出最短周长分析：由连接两点的线中，直线段最短，利用对称，把折线转化为直线，即转化为求两点间的距离解： 如图 1，设点关于直线和的对称点分别为，又周长最小值是：由两点式可得方程为：而且易求得：（，），（， 0）

14、此时，周长最短，周长为例 6 已知实数，满意，求证：简解： 此题的几何意义是：直线上的点（，）与定点的距离的平方不小于因为直线外一点与直线上任一点连线中，垂线段距离最短，而垂线段的长度即距离，所以，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -说明： 此题应为不等式的题目，难度较大， 证明方法也较多，但用解析几何的方法解决显得轻松简捷，深刻的表达了数

15、形结合的思想例 7 在平面直角坐标系中，点在上，试在轴的正半周上求一点，使取得最大值分析：要使最大，只需最大，而是直线到直线的角（此处即为夹角），利用公式可以解决问题解：如图2，设点，于是直线、的斜率分别为：，当且仅当即，点的坐标为（，0），由可知为锐角，所以此时有最大值说明：此题综合性强，是三角、不等式和解析几何学问的交汇点另外此题也是足球射门最大角问题的推广第四节：简洁的线性规划可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

16、总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 1画出不等式组表示的平面区域分析采纳“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分解把，代入中得不等式表示直线下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如下列图说明“图解法” 是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法例 2 如、满意条件求的最大值和最小值分析画出可行域，平移直线找最优解解作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如下列图作直线，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点时，取得最大值，当过点

17、时，取得最小值说明解决线性规划问题，第一应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值例 3某糖果厂生产、两种糖果，种糖果每箱获利润40 元，种糖果每箱获利润50 元，其生产过程分为混合、烹饪、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）混合烹饪包装153241每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12 机器小时，烹饪的设备至多只能用机器30 机器小时，包装的设备只能用机器15 机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润分析找约束条件，建立目标函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共

18、17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解设生产种糖果箱，种糖果箱，可获得利润元，就此问题的数学模式在约束条件下，求目标函数的最大值，作出可行域，其边界由得，它表示斜率为，截距为的平行直线系，越大，越大，从而可知过点时截距最大，取得了最大值解方程组即生产种糖果120 箱， 生产种糖果 300 箱， 可得最大利润19800元说明由于生产种糖果 120 箱，生产种糖果300 箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120 2 300 720 （分），烹饪时间5 120 4

19、 300 1800 （分），包装时间3 120 300 660 （分），这说明该方案已完全利用了混合设备与烹饪设备的可用时间，但对包装设备却有240 分钟的包装时间未加利用，这种 “过剩”问题构成了该问题的“松驰”部分，有待于改进争论例 4 甲、乙、丙三种食物的维生素、含量及成本如下表：甲乙丙维生素（单位 /千克）600700400维生素（单位 /千克）800400500成本（元 /千克）1194某食物养分争论所想用千克甲种食物，千克乙种食物，千克丙种食物配成100 千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素和 63000单位维生素（ 1）用、表示混合物成本（2 ）确定、的值，使成

20、本最低分析找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解解（ 1）依题意：、满意成本（元）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2 ）依题意作出不等式组所对应的可行域，如下列图联立作直线就易知该直线截距越小，越小，所以该直线过时，直线在轴截距最小，从而最小，此时7 50 520 400 850 元千克，千克时成本最低第五节：争论性课题与

21、实习作业：线性规划的实际应用例 某人有楼房一幢，室内面积共，拟分隔成两类房间作为旅行客房，大房间每间面积为，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费为40 元。小房间每间面积为，可住游客3 名，每名游客每天住宿费为 50 元。装修大房间每间需1000 元，装修小房间每间需600 元，假如他只能筹款8000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大利益？分析：解线性规划问题，应当引入所需要的未知数，依据题设条件建构起约束条件和目标函数，再求最优解，但实际问题往往是“整数规划”，所以，假如所求最优解不是整点，那它就不是实际问题的解，因此，在 最优解不是整点时，为求得问题

22、的解，仍应在可行域内在最优解“邻近”去搜寻使目标函数取得最大值的整点解：设隔出大房间间，小房间间，收益记为元，就得线性约束条件同时，也有线性目标函数这明显是一个整数规划问题，为求得取最大的，我们可先减弱一下约束条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -作出约束条件式的可行域（如右图）作直线把直线向右上方平移至位置时，直线经过可行域的点，并且与

23、原点距离最大，此时取得最大值解方程组得由于点的坐标不是整数，因而不是问题的解，为了得到问题的解，应在可行域内于点邻近搜寻使最大的点过点作，简洁识别可行域内位于右上方无整点， 而直线上有两个整点：和故得问题的解是：或并且（元）答：应隔出小房间12 间，或大房间3 间、小房间8 间，可以获得每天最大的收益为1800 元第六节：曲线和方程例 1：假如命题“坐标满意方程的点都在曲线上”不正确，那么以下正确的命题是（ A）曲线上的点的坐标都满意方程（ B）坐标满意方程的点有些在上，有些不在上（ C）坐标满意方程的点都不在曲线上（ D）肯定有不在曲线上的点，其坐标满意方程分析：举例，如方程为，曲线为第一、

24、三象限角平分线，易知答案为D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 2：求到两条垂直相交直线的距离之和等于定值的点的轨迹方程，并指出图形的外形解：以两条垂直相交直线为坐标轴，建立直角坐标系设点垂足分别为、，依题意，可得进而式（，由点分别向两条坐标轴作垂线，为常数）当，时，。当，时，。当，时，。当，时，。图形是以，为顶点的正方形，如图所示例

25、3：已知一条曲线上的每一点到点的距离都是它到点的距离的一半，求这条曲线的方程解：设是曲线上任意一点，就代入坐标有化简得曲线方程为例 4：已知两定点、，一动点与、连线的夹角为，求动点的轨迹方程解：设，由夹角公式有即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -化简得（ 1）当时，。（ 2）当时，例 5：过点作两条相互垂直的直线，如交轴于，交轴于，求线段

26、中点的轨迹方程解：连接，设，就，为直角三角形由直角三角形性质知即化简得的轨迹方程为说明：此题也可以用勾股定理求解，仍可以用斜率关系求解，因此此题可有三种解法用斜率求解的过程要麻烦一些第七节：圆的方程例 1：圆上到直线的距离为的点共有（）（ A ） 1 个（ B ）2 个（ C） 3 个（ D ）4 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分析

27、：把化为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于，所以选C 例 2：过点作直线，当斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结率为何值时，直线与圆所示解：设直线的方程为即依据有整理得解得有公共点，如图1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 ：求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截下的弦长为的圆的方程解：设圆心坐标为，就半径，如图2依据有求得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下

28、载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -就的坐标为（ 1 ， 3）或，半径为3 所以，圆的方程为或例 4 ： 已知圆，求过点与圆相切的切线解：点不在圆上，切线的直线方程可设为依据解得所以即由于过圆外一点作圆得切线应当有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为说明：上述解题过程简洁漏解斜率不存在的情形，要留意补回漏掉的解此题仍有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0 解决（也要留意漏解）仍可以运用，求出切点坐标、的值来解决，此时没有漏解例 5：自点发出的光线射到轴上， 被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切（ 1 ）求光

29、线和反射光线所在的直线方程（ 2 ）光线自到切点所经过的路程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分析、略解：依据对称关系，第一求出点的对称点的坐标为，其次设过的圆的切线方程为依据，即求出圆的切线的斜率为或进一步求出反射光线所在的直线的方程为或最终依据入射光与反射光关于轴对称，求出入射光所在直线方程为或光路的距离为，可由勾股定理求得说明：此题

30、亦可把圆对称到轴下方，再求解例 6 ：已知对于圆上任意一点，不等式恒成立， 求实数的取值范畴解：运用圆的参数方程，设的坐标为，即，恒成立，恒成立即恒成立只需大于等于的最大值令的最大值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -说明：在上述解法中我们运用了圆上点的参数设法采纳这种设法的优点在于，一方面可以削减参数的个数，另一方面可以敏捷的运用三角公式从代数的观点看，这种设法的实质就是三角代换另外此题也可以不用圆的参数方程求解，此题的实质就是求最值问题，方法较多但以上述解法较简可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载