2019-2020学年高中数学人教A版必修4同步作业与测评：第二章　单元质量测评 .doc

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1、第二章单元质量测评 对应学生用书P79本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列等式恒成立的是()A0BC(ab)ca(bc)D(ab)cacbc答案D解析由数量积满足分配律可知D正确2设a是已知的平面向量且a0关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定不共线的向量b和c，总存在实数和，使abc；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使

2、abc上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析显然正确；对于，当2时，易知错误3在五边形ABCDE中(如图)，()A BC D答案B解析4设D为ABC所在平面内一点，3，则()A BC D答案A解析由题意得5已知ab(2，8)，ab(8，16)，则a与b之间的夹角的余弦值为()A B C D答案B解析由ab(2，8)，ab(8，16)，得a(3，4)，b(5，12)，所以|a|5，|b|13，ab63，故cosa，b6已知i(1，0)，j(0，1)，则与2i3j垂直的向量是()A3i2j B2i3jC3i2j D2i3j答案C解析

3、2i3j(2，3)，C中3i2j(3，2)因为2(3)320，所以2i3j与3i2j垂直7向量a与b不共线，akb，lab(k，lR)，且与共线，则k，l应满足()Akl0 Bkl0Ckl10 Dkl10答案D解析因为与共线，所以设(R)，即lab(akb)akb，所以(l)a(1k)b0因为a与b不共线，所以l0且1k0消去得1lk0，所以kl108在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，B45，AB2CD2，M为腰BC的中点，则()A1 B2 C3 D4答案B解析由已知得BC，BCD135，所以()()cos1801cos1352cos4521cos029已知|a|2|b|0，且关于x的

4、方程x2|a|xab0有实根，则a与b夹角的取值范围是()A0， B，C， D，答案B解析设a与b的夹角为，|a|24ab0，ab，cos0，10已知非零向量与满足0，且，则ABC的形状是()A三边均不相等的三角形B等腰直角三角形C等边三角形D以上均有可能答案C解析0，A的平分线所在的向量与垂直，所以ABC为等腰三角形又，cosA，A故ABC为等边三角形11已知平面上直线l的方向向量e，点O(0，0)和A(1，2)在l上的射影分别是O和A，则e，其中等于()A B C2 D2答案D解析由题意可知|cos()(为与e的夹角)因为O(0，0)，A(1，2)，所以(1，2)因为e，所以e1(2)2|

5、e|cos所以|cos2所以|2又因为|e|，所以2又由已知可得0，所以2故选D12设两个向量a(2，2cos2)和bm，sin，其中，m，为实数，若a2b，则的取值范围是()A6，1 B4，8C(，1 D1，6答案A解析由a2b，得所以又cos22sinsin22sin1(sin1)22，所以2cos22sin2所以22m2将2(2m2)2代入上式，得2(2m2)2m2，解得m2，所以26，1第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13若向量a3i4j，b5i4j，则ab3ab(2ba)_答案16ij解析ab3ab(2ba)ab3a2

6、b2baab(3i4j)(5i4j)11ij5i4j16ij14已知向量a(2，1)，b(1，2)若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_答案3解析由向量a(2，1)，b(1，2)，得manb(2mn，m2n)(9，8)，则解得故mn315设O在ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|O2|1，则|O2O3O|_答案2解析如图所示，易知|O2O3O|OO2(OO)|2O4O|2|O2O|216ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)a为单位向量；b为单位向量；ab；b；(4ab)答案解析2a，2ab，a，

7、b又ABC是边长为2的等边三角形，|a|1，|b|2，正确，错误；由b，知b，正确；4ab2，(4ab)()220，(4ab)，正确故正确三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值解解法一：|3a2b|3，9a212ab4b29又|a|b|1，ab|3ab|2(3ab)29a26abb296112|3ab|2解法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)|a|b|1，xyxy13a2b(3x12x2，3y12y2)，|3a2b|3x1x2y1y2|3ab|218(本小题满分12分)已知

8、两个不共线的向量a，b，它们的夹角为，且|a|3，|b|1，x为正实数(1)若a2b与a4b垂直，求tan；(2)若，求|xab|的最小值及对应的x的值，并判断此时向量a与向量xab是否垂直？解(1)由题意得(a2b)(a4b)0，即a22ab8b20，即9231cos8120，解得cos又(0，)，sin，tan(2)|xab|，故当x时，|xab|取得最小值，最小值为，此时a(xab)xa2ab931cos0，故此时向量a与向量xab垂直19(本小题满分12分)已知|a|，|b|，ab5，cxa(1x)b(1)当bc时，求实数x的值；(2)当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值解(

9、1)bc，bcbxa(1x)bxba(1x)b2x(5)(1x)50，解得x(2)|c|2|xa(1x)b|2x2a22x(1x)ab(1x)2b210x210x(1x)5(x1)225x220x52521当x时，|c|2有最小值1，即|c|有最小值1此时，cabacaa2ab10(5)1，设向量a，c的夹角为，则cos20(本小题满分12分)一架飞机从A地向北偏西60的方向飞行1000 km到达B地，然后向C地飞行设C地恰好在A地的南偏西60方向上，并且A，C两地相距2000 km，求飞机从B地到C地的位移解如下图，设A地在东西基线和南北基线的交点处则A(0，0)，B(1000cos30，1

10、000sin30)，即B(500，500)，C(2000cos30，2000sin30)，即C(1000，1000)(500，1500)|1000 (km)设正南方向的单位向量为j(0，1)，则与正南方向的夹角满足cos，30，由图形可知的方向是南偏西3021(本小题满分12分)设a，b是不共线的两个非零向量(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值；(3)若ab，2a3b，2akb，且A，C，D三点共线，求k的值解(1)证明：a2b，a2b，所以又因为A为公共点，所以A，B，C三点共线(2)设8akb(ka2b)，R，则解得或所以实

11、数k的值为4(3)(ab)(2a3b)3a2b，因为A，C，D三点共线，所以与共线从而存在实数使，即3a2b(2akb)，所以解得所以k22(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6，0)，C(1，)，点M满足，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图(1)求OCM的余弦值；(2)是否存在实数，使()，若存在，求出满足条件的实数的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)由题意可得(6，0)，(1，)，(3，0)，(2，)，(1，)，所以cosOCMcos，(2)设P(t，)，其中1t5，(t，)，(6t，)，(2，)，若()，则()0，即122t30(2t3)12，若t，则不存在，若t，则，因为t，故(，12