2022年苏教版八年级上四边形之动点问题教案 .pdf

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1、名师精编优秀教案教师 : 学生 : 日期 : 2012 年月日时段 : 课题四边形之动点型问题学情分析学生对四边形中的动点问题理解不透，解题思路不完善学习目标与考点分析了解动点问题的一半思路以及基本题型学习重点化“动”为“静”学习难点确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系学习方法思维 - 探索 -归纳 - 总结个 性 化 辅 导 过 程所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题。数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度

2、和运动变化 来研究 三角形 、四边形 、函数图像等图形，通过 “ 对称、动点的运动 ” 等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况， 才能做好计算推理的过程。 在变化中找到不变的性质是解决数学 “ 动点”探究题的基本思路 ,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。专题一：动态几何型压轴题动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，

3、特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。（一）因为动点求线段长的最小值例 1、如图，四边形ABCD 是直角梯形， AB CD，ADAB ，点 P 是腰 AD 上的一个动点，要使PC+PB 最小，则点P 应该满足（）A、 PB=PC B、 PA=PD C、 BPC=90 D、 APB= DPC龙文教育学科导学案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

4、 - - - - - - -第 1 页，共 11 页名师精编优秀教案例 2、 （2011?日照）正方形ABCD的边长为4，M、N 分别是BC、CD 上的两个动点，且始终保持AMMN 当 BM= 时，四边形ABCN 的面积最大例 3、 如图， 矩形 ABCD 中， AB=4 ， BC=8， E为 CD 边的中点，点 P、 Q 为 BC 边上两个动点， 且 PQ=2， 当 BP= 时，四边形 APQE 的周长最小例 4、 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC， 点 E 是 BC 的中点，点 F 是 AC 上的一个动点 若四边形 AECD 是菱形，ABE的周长为6cm，则 BF+EF 的最小值是

5、cm例 5、如图，四边形ABCD 是菱形，且 ADC=120 ，点 M、N 分别是边 AB 、BC 的中点，点P 是对角线 AC 上的动点，若PM+PN 的最小值是 1，则菱形 ABCD 的面积是例 6、已知：如图，四边形ABCD 中， ABC=60 ，AB=BC=2 ，对角线BD 平分 ABC ，E 是 BC 的中点， P 是对角线 BD上的一个动点，则PE+PC 的最小值为（）例 7、边长为 1 的正方形 ABCD 中， E，F 为对角线 BD 上的动点（）证明： AE +AF=CE +CF；（）求AE+CE 的最小值；求AE +BE+CE 的最小值；（）若 EAF=45 ，DF=2BE，

6、求四边形AECF 的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页名师精编优秀教案（二）梯形中的动点问题例 1、如图所示， 四边形 ABCD 是直角梯形， B=90 ，AB=8cm ，AD=24cm ，BC=26cm ，点 P 从 A 出发，以 1cm/s 的速度向点D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以3cm/s 的速度向B 运动，其中一个动点到达端点时，另一动点也随之停止运动，从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD 成为等腰梯形？例 2、如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC， B=90 ，AD=24cm，BC=

7、26cm，动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点 D以 1cm/s 的速度运动，动点Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以 3cm/s的速度运动点P、Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动（1）经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA 是矩形？（3）经过多长时间，四边形PQCD 是等腰梯形？例3、（2011? 新疆）如图，在等腰梯形ABCD 中， AD=4 ，BC=9， B=45 动点 P 从点 B 出发沿 BC 向点 C 运动，动点Q同时以相同速度从点C 出发沿 CD 向点 D 运动，其中一个动点到达端

8、点时，另一个动点也随之停止运动（1）求 AB 的长；（2）设 BP=x，问当 x 为何值时 PCQ 的面积最大，并求出最大值；（3）探究： 在 AB 边上是否存在点M，使得四边形PCQM 为菱形？请说明理由（三）三角形中的动点问题例1：如图，直线AB CD，P 是 AB 上的动点，当点P 的位置变化时，三角形PCD 的面积将（）A变大B变小C不变D变大变小要看点P 向左还是向右移动精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页名师精编优秀教案例 2：已知， ABC 是边长 3cm 的等边三角形动点P 以 1cm/s 的速度从点

9、A 出发，沿线段AB 向点 B 运动（1）如图 1，设点 P 的运动时间为t（s） ，那么 t=（s）时， PBC 是直角三角形；（2）如图 2，若另一动点Q 从点 B 出发，沿线段BC 向点 C 运动，如果动点P、Q 都以 1cm /s的速度同时出发设运动时间为 t（s） ，那么 t 为何值时， PBQ 是直角三角形？（3）如图 3，若另一动点Q 从点 C 出发，沿射线BC 方向运动连接 PQ 交 AC 于 D如果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发 设运动时间为t（s） ，那么 t 为何值时， DCQ 是等腰三角形？（4）如图 4，若另一动点Q 从点 C 出发，沿射线BC 方向运

10、动连接 PQ 交 AC 于 D，连接 PC 如果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发 请你猜想： 在点 P、Q 的运动过程中， PC D 和QCD的面积有什么关系？并说明理由例3：如图 1，点 P、Q 分别是等边 ABC 边 AB、BC 上的动点（端点除外） ，点 P 从顶点 A、点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP 交于点 M（1）求证： ABQ CAP；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师精编优秀教案（2）当点 P、Q 分别在 AB、BC 边上运动时，QMC 变化吗？若

11、变化，请说明理由；若不变，求出它的度数（3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为 M，则 QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数（四）特殊平行四边形中的动点问题例1：如图：边长为a 的菱形 ABCD 中， DAB=60 ，E 是异于 A、D 两点的动点， F 是 CD 上的动点，满足AE+CF=a ，证明：不论E、F 怎样移动，三角形BEF 总是等边三角形例2：如图，正方形ABCD 中，边长为2，点 P 是射线 DC 上的动点， DM AP 于 M，BN AP 于 N （1）当点 P 与 C、D 重合时， DM+BN

12、 的值分别为（2）当点 P 不与 C、D 重合时，试猜想DM2+BN2的值，并对你的猜想加以证明例3：如图，矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，动点 M 从点 D 出发，按折线DCBAD 方向以 2cm/s 的速度运动，动点N从点 D 出发，按折线DABCD 方向以 1cm/s 的速度运动（1）若动点 M、N 同时出发，经过几秒钟两点相遇？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页名师精编优秀教案（2）若点 E 在线段 BC 上， BE=2cm ，动点 M、N 同时出发且相遇时均停止运动，那么点M 运动到第几

13、秒钟时，与点A、E、M、N 恰好能组成平行四边形？例4：如图所示，正方形ABCD 的边长为 6cm，点 E 为 AB 边上的一点，且AE=2cm ，动点 M 由 C 点开始以 3cm/s 的速度沿折线 CBE 移动，动点 N 同时由 D 点以 1cm/s 的速度沿边 DC 移动，请问多长时间后，顺次连接点 E，M，N，D 为顶点的四边形是平行四边形？（六）与平面直角坐标系结合的动点问题例 1：已知直角梯形OABC 在如图所示的平面直角坐标系中，AB OC，AB=10 ，OC=22，BC=15，动点 M 从 A 点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB 向点 B 运动，同时动点 N 从 C 点出发

14、，以每秒 2 个单位长度的速度沿CO 向 O 点运动当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动（1）求 B 点坐标；（2）设运动时间为t 秒；当 t 为何值时，四边形OAMN 的面积是梯形OABC 面积的一半；当 t 为何值时，四边形OAMN 的面积最小，并求出最小面积；若另有一动点P，在点 M、N 运动的同时，也从点A 出发沿 AO 运动在的条件下， PM+PN 的长度也刚好最小，求动点P 的速度例 2：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（ 5，4） ，点 P 为 BC 上动点，当POA 为等腰三角形时，点P 坐标为精选学习资料 - - -

15、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页名师精编优秀教案CBPDAQ例 3：如图，坐标平面内一点A（2，-1） ，O 是原点， P 是 x 轴上一个动点，如果以点P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为解决动态几何问题的常见方法有: 一、特殊探路， 一般推证二、动手实践， 操作确认三、建立联系，计算说明练习 1： 如图，正方形ABCD 的边长为4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1 ，N为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为练习 2：如图，在矩形ABCD 中， AB=12cm ，BC=6cm ，点 P 沿

16、 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2 厘米 /秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点 D 开始向点A 以 1 厘米 /秒的速度移动。如果、同时出发，用t 秒表示移动的时间（0 t 6），那么：（1）当 t 为何值时，三角形QAP 为等腰三角形？（2）求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；专题二：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为

17、今年中考试题的热点。例 1： （09 包头）如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米 /秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；MNDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页名师精编优秀教案若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？（2）若点 Q 以

18、中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P 与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？例 2： （09 河南） ）如图，在RtABC中，9060ACBB ，2BC点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋转角为（1）当度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；当度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由例 3： （09 济南）如图，在梯形ABCD中，354 245ADB

19、CADDCABB，动点M从B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒（1）求BC的长（2）当MNAB时，求t的值（3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形例 4： （09 临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点90AEF，且 EF 交正方形外角DCG的平行线 CF于点 F，求证： AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证AMEECF，所以AEEF在此基础上，同学们作了进

20、一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边 BC 的中点”改为“点E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出： 如图 3，点 E 是 BC 的延长线上 （除 C 点外）的任意一点， 其他条件不变， 结论“AE=EF”仍然成立 你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由A Q C D B P O E C B D A l O C B A （备用图）A D C B M N A D F C G E B 精选学习资料 - -

21、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页名师精编优秀教案三、本次课后作业：四、学生对于本次课的评价： 特别满意 满意 一般 差学生签字：五、教师评定： 1 、 学生上次作业评价：非常好好 一般 需要优化2、 学生本次上课情况评价：非常好好 一般 需要优化教师签字：教导主任签字：_ 动点问题课后作业1、如图，已知正方形ABCD 的边长是 8，点 E 在 BC 边上，且 CE=2 ，点 P 是对角线 BD 上的一个动点，求PE+PC龙文教育教务处精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页

22、，共 11 页名师精编优秀教案的最小值2、如图，矩形ABCD 中， AB=4cm ，BC=8cm ，动点 M 从点 D 出发，按折线DCBAD 方向以 2cm/s 的速度运动，动点 N 从点 D 出发，按折线DABCD 方向以 1cm/s 的速度运动（1）若动点 M、N 同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点 E 在线段 BC 上，BE=1cm ，若动点 M、N 同时出发，相遇时停止运动经过几秒钟，点A、E、M、N 组成平行四边形？经过几秒钟，点A、E、M、N 组成等腰梯形？3、如图，在直角梯形ABCD 中，ADBC，B=90 ，且 AD=4cm ，AB=6cm ，DC=10cm ，若动点

23、P 从 A 点出发， 以每秒 1cm 的速度沿线段AD 向点 D 运动；动点 Q 从 C 点出发以每秒 3cm 的速度沿 CB 向 B 点运动，当 P 点到达 D 点时，动点 P、Q 同时停止运动，设点P、Q 同时出发，并运动了t 秒，回答下列问题：（1）BC= cm ；（2）当 t 为多少时，四边形PQCD 成为平行四边形？4、如图，在等腰梯形ABCD 中， ADBC，DEBC 于 E，且 DE=4，AD=18 ， C=60 （1）BC= ；（2）若动点 P 从点 D 出发，速度为2 个单位 /秒，沿 DA 向点 A 运动，同时，动点Q 从点 B 出发，速度为3 个单位/秒，沿 BC 向点 C 运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动设运动的时间为t 秒t=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页名师精编优秀教案秒时，四边形PQED 是矩形；t 为何值时，线段PQ 与梯形 ABCD 的边构成平行四边形？是否存在t 值，使中的平行四边形是菱形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页