中考总结复习冲刺练初中数学“最值问题”集锦 .docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -中考总结复习冲刺练：“最值问题”集锦平面几何中的最值问题01几何的定值与最值07最短路线问题14对称问题18巧作“对称点”妙解最值题22数学最值题的常用解法26求最值问题29有理数的一题多解34 4 道经典题37平面几何中的最值问题在平面几何中， 我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题假如把最值问题和生活中的经济问题联系起来， 可以达到最经济、最节约和最高效率下面介绍几个简例在平面几何问题中， 当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量 （如线段的长度、图形的面积、角

2、的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种：（ 1） 应用几何性质： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 两点间线段最短。 连结直线外一点和直线上各点的全部线段中，垂线段最短。 定圆中的全部弦中，直径最长。运用代数证法： 运用配方法求二次三项式的最值。 运用一元二次方程根的判别式。例 1、A、B 两点在直线 l的同侧，在直线 L 上取一点 P，使 PA+PB最小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料

3、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分析：在直线 L 上任取一点 P，连结 A P， BP，在 ABP中 AP+BP AB，假如 AP+BP AB,就 P必在线段 AB上，而线段 AB与直线 L 无交点，所以这种思路错误。取点 A 关于直线 L 的对称点 A，就 AP AP，在 ABP中 AP+BP AB, 当 P移到 AB与直线 L 的交点处 P点时 AP+BP AB，所以这时PA+PB 最小。1 已知 AB是半圆的直径，假如这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯 形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长

4、最大 图 3 91 ？分析 本例是求半圆 AB的内接梯形的最大周长， 可设半圆半径为R由于 AB CD，必有 AC=BD如设 CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长 u=x+y+R的最大值即可222解 作 DE AB于 E，就x =BD=ABBE 2RR-y 2R -2Ry，所以22所以求 u 的最大值，只须求 -x +2Rx+2R最大值即可-x 2+2Rx+2R2=3R2 -x-R23R2，上式只有当 x=R时取等号，这时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 42 页 - - - - - -

5、- - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -所以2y=R=x所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C， D，这时，梯形的底角恰为60和 1202 . 如图 392 是半圆与矩形结合而成的窗户，假如窗户的周长为8 米m ，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解设 x 表示半圆半径， y 表示矩形边长 AD，就必有2x+2y+x=8，如窗户的最大面积为S，就把代入有即当窗户周长肯定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大3. 已知 P 点是半圆上一个动点， 试问 P 在什么位置时， PA+PB最

6、大 图 393 ？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分析与解由于 P 点是半圆上的动点，当P 近于 A 或 B 时，明显 PA+PB渐小，在极限状况P 与 A 重合时 等于 AB因此，猜想 P 在半圆弧中点时， PA+PB取最大值 设 P 为半圆弧中点，连 PB，PA，延长 AP到 C，使 PC=PA，连 CB，就 CB是切线为了证 PA+

7、PB最大，我们在半圆弧上另取一点P，连 P A， P B，延长 AP到 C，使 PC=BP，连 CB，CC，就 P C B=PBC=PCB=45，所以 A，B， C， C 四点共圆，所以 CCA=CBA=90，所以在 ACC中， AC AC，即 PA+PBP A+PB4 如图 3 94，在直角 ABC中， AD是斜边上的高， M，N 分别是 ABD， ACD的内心，直线 MN交 AB，AC于 K，L求证： SABC 2S AKL 证 连结 AM，BM，DM， AN，DN，CN由于在 ABC中， A=90， ADBC于 D，所以 ABD=DAC， ADB=ADC=90 由于 M， N 分别是 A

8、BD和 ACD的内心，所以1= 2=45， 3= 4， 所以ADN BDM，又由于 MDN=90 =ADB，所以 MDN BDA，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以BAD= MND由于 BAD= LCD，所以MND=LCD，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 D， C， L， N四点共圆，所以ALK=NDC=45 同理， AKL=1=45，所以 AK=AL由于AKM ADM，所以AK=AD=AL 而而从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 42 页 - - - - - -

9、- - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -所以 S ABCSAKL5. 如图 395已知在正三角形ABC内 包括边上 有两点 P， Q求证： PQAB证 设过 P，Q的直线与 AB，AC分别交于 P1，Q1，连结 P1C，明显，PQP1Q1由于 AQ1P1 + P1Q1 C=180，所以 AQ1P1 和 P1Q1C 中至少有一个直角或钝角如 AQ1P1 90，就PQ P1Q1 AP1 AB。 如 P1Q1 C 90，就PQ P1Q1 P1C同理，AP1C和 BP1C中也至少有一个直角或钝角， 不妨设

10、BP1C90，就P1C BC=AB对于 P， Q两点的其他位置也可作类似的争论，因此，PQAB6. 设 ABC是边长为 6 的正三角形，过顶点A 引直线 l ，顶点 B，C 到 l的距离设为 d1， d2，求 d1+d2 的最大值 1992 年上海中学赛题 解 如图 3 96，延长 BA到 B，使 AB=AB，连 BC，就过顶点 A 的直线l 或者与 BC相交，或者与 BC相交以下分两种情形争论(1) 如 l 与 BC相交于 D，就所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 42 页 - - - - - - -

11、- - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -只有当 l BC时，取等号(2) 如 l 与 BC相交于 D，就所以上式只有 l BC 时，等号成立7. 如图 397已知直角 AOB中，直角顶点 O在单位圆心上， 斜边与单位圆相切，延长 AO，BO分别与单位圆交于C，D试求四边形 ABCD面积的最小值解 设 O与 AB相切于 E，有 OE=1，从而即AB 2当 AO=BO时， AB有最小值 2从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页

12、，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -所以，当 AO=OB时，四边形 ABCD面积的最小值为几何的定值与最值几何中的定值问题， 是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特别位置、极端位置，直接运算等方法， 先探求出定值，再给出证明几何中的最值问题是指在肯定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量 如线段长度、 角度大小、 图形面积 等的最大值或最小值

13、， 求几何最值问题的基本方法有：1特别位置与极端位置法。2几何定理 公理 法。3数形结合法等注：几何中的定值与最值近年广泛显现于中考竞赛中， 由冷点变为热点 这是由于这类问题具有很强的探干脆 目标不明确 ，解题时需要运用动态思维、 数形结合、特别与一般相结合、规律推理与合情想象相结合等思想方法【例题就解】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【

14、例 1】 如图，已知 AB=10，P 是线段 AB上任意一点，在 AB的同侧分别以AP和 PB为边作等边 APC和等边 BPD，就 CD长度的最小值为思路点拨如图，作 CC AB于 C，DD AB于 D，222DQCC， CD=DQ+CQ，DQ=1 AB一常数，当 CQ越小， CD越小，2本例也可设 AP=x ，就 PB=10x ，从代数角度探求CD的最小值注：从特别位置与极端位置的争论中易得到启示，常能找到解题突破口， 特别位置与极端位置是指：(1) 中点处、垂直位置关系等。(2) 端点处、临界位置等【例 2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，可编辑资料 - -

15、- 欢迎下载精品名师归纳总结切点为 T，圆交 AC、BC于 M、NMTN为的度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，就对于全部可能的圆的位置而言，数（）A从 30到 60变动B从 60到 90变动 C保持 30不变D保持 60不变思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判定注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以争论问题中的变量，考虑当变 化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特别图形时， 争论的量取得定值与最值【例 3】如图，已知平行四边形ABCD，AB=a ，BC=b a b ，P 为 AB边上的一动点，直

16、线 DP交 CB的延长线于 Q，求 AP+BQ的最小值思路点拨设 AP=x ，把 AP、BQ分别用 x 的代数式表示，运用不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b22ab 当且仅当 ab 时取等号 来求最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 4】 如图，已知等边 ABC内接于圆， 在劣弧 AB上取异于 A、B 的点 M， 设直线 AC与 BM相交于 K，直线 CB与 AM相交于点 N，证明：线段 AK和 BN的乘积与 M点的挑选无关思路点拨即要证 AKBN是一个定值，在图形中ABC的边长是一个定值，说明AK BN与 AB有关，从图知 AB为 ABM与

17、ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AKBN=AB2，从而我们的证明目标更加明确注：只要探求出定值， 那么解题目标明确， 定值问题就转化为一般的几何证明问题【例 5】已知 XYZ是直角边长为 1 的等腰直角三角形 Z=90 ，它的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -三个顶点分别在等腰Rt ABCC=90 的三边上，求 ABC直角边长的最大可能值

18、思路点拨顶点 Z 在斜边上或直角边CA或 CB上，当顶点 Z 在斜边 AB上时，取 xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z 在AC 或 CB上时，设 CX=x ，CZ=y ，建立 x ， y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值注：数形结合法解几何最值问题，即适当的选取变量， 建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系， 再运用相应的代数学问方法求解常见的解题途径是：(1) 利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值。(2) 构造二次函数求几何最值学力训练1如图，正方形 ABCD的边长为 1，点 P 为边 BC上任意一点（可与 B 点或 C点重合），分别过

19、B、C、D 作射线 AP的垂线，垂足分别是 B、C、D，就 BB+CC +DD的最大值为，最小值为2如图， AOB=45 ，角内有一点 P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R均不同于点 O，就 PQR的周长的最小值为3如图，两点 A、B 在直线 MN外的同侧， A 到 MN的距离 AC=8， B 到 MN的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结距离 BD=5，CD=4，P 在直线 MN上运动，就 PAPB 的最大值等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4如图， A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧 AN的中点， P 点是直径 MN上一动点， O的半径为 1，就 AP

20、+BP的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1B2C2D312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为 4 的正方形，动点P从 A 点动身，沿看圆柱的侧面移动到BC的中点 S 的最短距离是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2 12B 2 142C 4 12D 242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6如图、已知矩形ABCD，R，P 户分别是 DC、BC上的点， E，F 分别是 AP、 RP的中点，当 P 在 BC上从 B 向 C移动而 R 不动时，那么以下结论成立的是 A线段 EF 的长逐步增

21、大B线段EF 的长逐步减小C线段 EF 的长不转变D线段EF 的长不能确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -7如图，点 C 是线段 AB上的任意一点 C 点不与 A、B 点重合 ，分别以 AC、BC为边在直线 AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形 BCE，AE与 CD相交于 点 M，BD与 CE相交于点 N(1) 求证： MNAB。(2

22、) 如 AB的长为 l0cm，当点 C在线段 AB上移动时， 是否存在这样的一点C， 使线段 MN的长度最长 .如存在，请确定C 点的位置并求出 MN的长。如不存在， 请说明理由2002 年云南省中考题 8如图，定长的弦ST 在一个以 AB为直径的半圆上滑动， M是 ST的中点， P 是 S 对 AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置， SPM是肯定角9已知 ABC是 O的内接三角形， BT为 O的切线， B 为切点， P 为直线AB上一点，过点 P 作 BC的平行线交直线BT于点 E，交直线 AC于点 F(1) 当点 P 在线段 AB上时 如图 ，求证： PAPB=PE PF。(2)

23、当点 P 为线段 BA延长线上一点时，第 1 题的结论仍成立吗 .假如成立， 请证明，假如不成立，请说明理由10如图，已知。边长为 4 的正方形截去一角成为五边形ABCD，E其中 AF=2， BF=l，在 AB上的一点 P，使矩形 PNDM有最大面积，就矩形PNDM的面积最大值 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A8B12C25D 142可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11如图，于点 A，线段 DB上 AB于点 B，AB=2。AC=1，BD=3就封闭图形 ACPDB的最大面积是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - -

24、- - - - - -第 10 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 22B 12C 32D32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12如图，在 ABC中， BC=5，AC=12， AB=13，在边 AB、AC上分别取点 D、 E，使线段 DE将 ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度13如图， ABCD是一个边长为 1 的正方形， U、V 分别是 AB、CD上的点， AV与 DU

25、相交于点 P，BV与 CU相交于点 Q求四边形 PUQV面积的最大值14利用两个相同的喷水器， 修建一个矩形花坛， 使花坛全部都能喷到水 已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计 求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽 ，才能使矩形花坛的面积最大.15某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场 平面图如下列图 其中，正方形MNPQ与四个相同矩形 图中阴影部分 的面积的和为 800 平方米(1) 设矩形的边 AB=x 米 ，AM=y 米 ，用含 x 的代数式表示 y 为(2) 现方案在正方形区域上建雕塑和花坛， 平均每平方米造价为 2100 元。在四个相同的矩形

26、区域上铺设花岗岩的坪， 平均每平方米造价为 105 元。在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为 40 元设该工程的总造价为S元 ，求 S 关于工的函数关系式如该工程的银行贷款为235000 元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务.如能，请列出设计方案。如不能，请说明理由如该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000 元，问能否完成该工程的建设任务 .如能，请列出全部可能的设计方案。如不能，请说明理由 镇江市中考题 16某房的产公司拥有一块“缺角矩形”荒的ABCD，E 边长和方向如图，欲在这块的上建一座的基为长方形东西走向的公寓，请划出这块的基， 并求的基的最大面积 精确到 1m2

27、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -参考答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-as 0-s,so cs:ssssss.$s. ssss.+ =.-Q_,J

28、t8J ll=8.tt4. / =/C=/.1B=/K/ J8=/t8. / g , /ygg-g,y_* 1,81./s.s*8 cr,zx,rz tssr,czcxt u .-. 4 ”.*+*“/=.Bt4.4 a=sd-ts -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*E *r1F *I

29、,or ,a-;*.sir-.ou-,aJJ-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=DE+= j,;g lslllJ _ l elll _ l11jl l ltllS,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,+ - ezx.8flfisebg8ti,0,o -*$ssssss8sz nssnasxs,tasaiiD=g +x=2QE= %. A=2Q- 00,”.:. .s. x +-z-z.-.=04 / t19 =l CI# /yj:,s jj/g;j00,hRt 00i/ -l0J.C.sd 1D=1,.,dg=T0,/,JS4S$g$, lS. lllJ=$ 0;

30、i-C20J;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4151J3z1l05K4y440Z4X;$=q/J+70& 0z20 ji-8 =otlJl80+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -最短路线问题通常最短路线问题是以 “平面内连结两点的线中， 直线段最短” 为原就引申出来的 人们在生产、 生活实践中， 常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题在本讲所举的例中，假如争论问题的限制条件答应已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段。假如它

31、们位于凸多面体的不同平面上，而答应走的路程限于凸多面体表面， 那么所求的最短路线是折线段。假如它们位于圆柱和圆锥面上， 那么所求的最短路线是曲线段。但答应上述哪种情形， 它们都有一个共同点： 当争论曲面仅限于可绽开为平面的曲面时，例如圆柱面、 圆锥面和棱柱面等，将它们绽开在一个平面上，两点间的最短路线就是连结两点的直线段这里仍想指出的是， 我们常遇到的球面是不能展成一个平面的例如， 在的球（近似看成圆球）上 A、B 二点之间的最短路线如何求了？我们用过A、B 两点及的球球心 O的平面截的球，在的球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上 A、B 两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、

32、B 两点间的最短路线，航海上叫短程线关于这个问题本讲不做争论，以后中学会详讲在求最短路线时， 一般我们先用 “对称” 的方法化成两点之间的最短距离问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 16 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -题，而两点之间直线段最短， 从而找到所需的最短路线像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法例 1 如下图，侦察员骑

33、马从 A 的动身，去 B 的取情报在去 B 的之前需要先饮一次马，假如途中没有重要障碍物， 那么侦察员挑选怎样的路线最节约时间， 请你在图中标出来解：要挑选最节约时间的路线就是要挑选最短路线作点 A 关于河岸的对称点A ，即作 AA垂直于河岸，与河岸交于点C， 且使 AC=AC，连接 AB 交河岸于一点 P，这时 P 点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PAPB就是侦察员应挑选的最短路线证明：设河岸上仍有异于P 点的另一点 P，连接 P A， P B， P APA+PBPA+P B A B=PA +PB=PA+P，B而这里不等式 P A P B AB 成立的理由是连接两点的折线段大于直线段

34、，所以 PA+PB是最短路线此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段AB， 所以这种方法也叫做化直法，其他仍有旋转法、翻折法等看下面例题例 2 如图一只壁虎要从一面墙壁上A 点，爬到邻近的另一面墙壁上的B点捕蛾，它可以沿很多路径到达，但哪一条是最近的路线了？解：我们假想把含 B 点的墙顺时针旋转90（如下页右图），使它和含A 点的墙处在同一平面上， 此时转过来的位置记为，B 点的位置记为 B，就 A、B之间最短路线应当是线段AB，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折线 4PB就是从 A 点沿着两扇墙面走到B 点的最短路线证明：在墙棱上任取异于 P 点的 P点，如沿折线 A

35、PB 走，也就是沿在墙转 90后的路线 AP B走都比直线段 APB长， 所以折线 APB是壁虎捕蛾的最短路线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 17 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由此例可以推广到一般性的结论： 想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来， 所得到的线段仍原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线， 就是所求的最短路线例 3 长方体 ABCDABCD中， AB=4， AA=2， AD=1，有一只小虫从顶点 D动身，沿长方体表面爬到B 点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（ 1）解：由于小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含 D、B 两点的两个相邻的面“绽开”在同一平面上，在这个“绽开”后的平面上 DB 间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从 D点动身，到 B 点共有六条路线供挑选从 D