高等数学复旦大学习题答案四.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -习题四1. 利用定义运算以下定积分：b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）ax dxab;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：将区间 a, b n 等分，分点为xi aiba ,i n1, 2, n1;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记每个小区间就得和式 xi1, xi 长度为xiba , 取 nixi ,i1,2, n,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnibaba2 nn1可编辑资料 -

2、- - 欢迎下载精品名师归纳总结f i xii 1abai 1nnaba22n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由定积分定义得bnba2 nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x dxalimf i xi0 i 1lim a ban2n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 b22a2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结120ex dx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：将区间 0, 1 n 等分，分点为xii in1,2, n1, 记每个小区间长度x1 , 取in可

3、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ixii1,2, n, 就和式nni 1f xen可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结niii 1i 111ni112n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ex dxlimenlimenenen 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0nn i 1nn1n11 en 1en 1 en e1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limnnlim1n1nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1ee1e 1 e11n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limnn1ne1.可编辑资料 -

4、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 利用定积分概念求以下极限：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) lim111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1n22n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式lim11112n111dx1ln1xln 2.可编辑资

5、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n111n nnn0 1x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) lim1 nnn 22nn 2 .1213n1122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式lim.xdxx2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnnn0303可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 用定积分的几何意义求以下积分值:1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 2x0dx 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 由几何意义可知,该定积

6、分的值等于由x 轴、直线 x=1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式 =1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R(2) R20x2 dx R0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积，故原式 =1 R2 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 证明以下不等式：e2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) e2eln xdx2e2e2e 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

7、 - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：当 e2xe 时，ln eln xln e , 即1ln xe.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由积分的保序性知：e2e2e2dxln xdx2dxeeee2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即e2elnexdx2e2e.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21ex2 dxe.210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：当 0x1.时， 1exe,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

8、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结11由积分的保序性知：dxex 2 dx1edx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x2000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即1edxe.05. 证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（1）lim2n0xdx0;n1x1xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：当 0x时， 02xn ,1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 25 页 - - - - - - -

9、 - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1xn111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 022 xndx n 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结01x0n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 lim11 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0,nn12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由夹逼准就知：1lim2n0xdx0.n1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

10、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) limn4 sinn0xdx0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：由中值定理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 sin 4 xdxsin n0nsin, 其中 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 lim4 sin nxdxlimnsin0 0sin1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n0n46. 运算以下定积分：4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13xdx;可编辑资料 - - - 欢迎下载

11、精品名师归纳总结解：原式432 x 233823 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x221x dx ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0解：原式x2xdx1 xx2 dx2x2xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1010121 x31 x21 x21 x31 x31 x232123032151511 .6666可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) f xdx0,其中f xx,0x, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

12、纳总结sin x,2x;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式2 xdx0 sin 2xdx1 x2222cos x1.8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2(4)202max1,x2 d x;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - -

13、- - - -12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式11x2 dxdx2x2 dx1 x321 x320 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21132313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0521sin 2 xdx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式2 sin xcos x dx4 cos xsin xdx2 sin xcosxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结004可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

14、归纳总结sin x4cos xcos x2sin x221.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结047. 运算以下导数：dx22(1) 1t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx0解：原式2 x1x4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32(2) dxdxxdt1t 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式dxdtdxdt3x2 x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx01t 4dx01t 41x121x8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x8.

15、 求由参数式ydytsin u 2du0tcosu2 du0所确定的函数y 对 x 的导数 dy .dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： dydxdtcost2dxsint 2dtcot t 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 求由方程et dtxcostdt0 所确定的隐函数yyx 的导数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y00解：方程两边对x 求导，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结eyycosx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又ey1sin x故yc o sx.s i nx110. 求以下极限

16、：xln12t 2 dt(1) lim0;x0x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式limln12 x12 2 x2222limln12 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x03 x33 x03可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2limx22et dt

17、0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0te2t 2 dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式lim2et2 dtx02 x2ex22limet 2 dtx0x22lim12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xex0xe21xxt20 12 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. a, b, c 取何实数值才能使limdtc成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0 sin xax b1t 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于 x

18、0 时， sinxax0 而该极限又存在，故b=0.用洛必达法就，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limx2 cosxa11x2limx2cosxa0,lim2xa1,2,a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0x0sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以a1,b0, c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或a1,b0, c0 .12. 利用基本积分公式及性质求以下积分：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1)

19、 x x25dx ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5173可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式x2 dx5x2 dx2 x210 x2c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结73(2) 3x ex dx 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =3ex3ex dxc.ln3e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结321x1x2dx;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =311x2 dx21dx

20、1x23arctan x2arcsinxc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2(4) x1x2dx;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x21dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =1x2dxdx1x2xarcsin xc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料wo

21、rd 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) sin 2xdx ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =1cos xdxx1 sinxc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结611x2xx dx;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结35471可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =dxx4 dxx4 dxx 474x 4c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结72 ;x可编辑资料 - -

22、 - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =x 2dx1 c .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(8) xxdx;325可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =x2 dxx 2c .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2(9) dx; xx522可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =x 2 dxx 3c .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10x23 x2dx;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：

23、原式 = 1 x33 x22 xc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3x4113x2x211dx;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =3 x2dx1dxx3x21arctan xc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(12) 2ex3dx ;x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = 2ex3lnxc.可编辑资料 - - - 欢

24、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x(13) ex1edx; x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =xe dx1xdxe2xxc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - -

25、 欢迎下载精品名师归纳总结2 3 x(14)35 2xxdx;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =2dx52dx 32 x52c .ln 233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(15) sec xsec xtan xdx 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =(16)sec21xdxdx ;sec x tan xdxtan xsec xc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1cos 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =1dx1sec2

26、 xdx1 tan xc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2cos 2 x22cos 2 x(17) dx ;cos xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =cos xsin xdxsin xcos xc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(18) cos 2 xdx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos2 x sin 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =1sin2 xdx1cos2 xdxcot xtan xc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 一平面曲线过

27、点（1， 0），且曲线上任一点（x, y）处的切线斜率为2x2，求该曲线方程.解：依题意知：y2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两边积分，有yx22 xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 x=1 时， y=0 代入上式得c=1，故所求曲线方程为yx22x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. （略） .15. 利用换元法求以下积分：(1) x cosx2 d x ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1解：原式 =cos x2 dx21sinx2c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22可编辑资料 - - -

28、 欢迎下载精品名师归纳总结23sin x sin xcos x cos xdx ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =sin xcos x3 dsin xcos x3 sin x2cos x 3c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -dx32 x21 ;可编辑资料 -

29、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = 111dx1ln2x11ln2 x1c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 x12 x12222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1ln2x1c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222x1(4) cos3 xdx ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =1sin 2xd sin xsin x13sin3xc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) cos x cos xdx 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

30、师归纳总结解：原式 = 1cos 3 xcos x dx1 sin 3 xsin xc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222322(6) sin 2 xcos3 xdx ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = 1sin 5xsinxdx1 cos x1 cos5 xc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2210102arccos x(7) dx ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1解：原式 =1x2102arccos x d2arccos x1102arccos xc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22ln10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(8) 1ln xdx ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x ln