解三角形知识点汇总和典型例题完美.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解三角形解三角形的必备学问和典型例题及详解一、学问必备：1直角三角形中各元素间的关系：在 ABC中， C 90， AB c， AC b， BC a。222（ 1）三边之间的关系：a b c 。（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系：A B 90。（ 3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Acos Ba ， cos A sin Bcb ，tan A a 。cb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2斜三角形中各元素间的关系：在 ABC中， A

2、、 B、C 为其内角， a、b、c 分别表示A、B、 C的对边。（ 1）三角形内角和：AB C 。（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a sin Ab sin Bc sinC2R （ R 为外接圆半径）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b2 c2 2bccos A。b2 c2 a2 2cacos B。c2 a2 b2 2abcos C。 3三角形的面积公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1

3、） S1 aha21 bhb 21 chc （ ha、hb、hc 分别表示a、b、c 上的高）。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） S1 absin C21 bcsin A21 acsin B。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义的，这里所说的元素仍可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（ 1）两类正弦定懂得三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边

4、的对角，求其他边角.（ 2）两类余弦定懂得三角形的问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 1、已知三边求三角.第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5三角形中的三角变换三角形中的三角变换， 除了应用上述公式和上述变换方法外，仍要留意三角形自身的特点。（1）角的变换由于在 ABC 中， A+B+C=，所以 sinA+B=sin

5、C。cosA+B= cosC。tanA+B= tanC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin AB 2cos C2, cos AB 2sin C 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）判定三角形外形时， 可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6求解三角形应用题的一般步骤：（ 1）分析：分析题意，弄清已知和所求。（ 2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图。（ 3）求解：正确运用正、余弦定理求解。（ 4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 1：正、

6、余弦定理例 1（ 2021 浙江理） 4 在ABC 中，角A, B, C 所对的边分别为a , b, c ，且满意A25cos，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25uuuruuurABAC3 （ I ）求ABC 的面积。（ II ）如 bc6，求 a 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A252 A34uuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解（1）由于cos，cos A2cos1,sin A，又由ABAC3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25255可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 bc cos A3,b

7、c5 ，S ABC1bc sin A22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）对于 bc5 ，又 bc6 ，b5, c1 或 b1,c5 ，由余弦定理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b2c22bc cos A20 ，a25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 2：三角形面积例 2在ABC 中， sin A面积。2cos A2， AC2 ， AB3 ，求tan A 的值和ABC的可编辑资料 - -

8、 - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一：先解三角方程，求出角A 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Acos A2 cos A45 2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos A45 1 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

9、欢迎下载精品名师归纳总结又 0A180 ,A45o60o , A105o.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan Aotan4513o60 1323 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinAsin105sin4560 sin45 cos60cos45 sin6026 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S ABC1 ACAB sin A 212326243 26 。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

10、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：由sin AcosA 运算它的对偶关系式sin Acos A 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Asin Acos A22cos A 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sinAcos A12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Q 0oA180o,sin A0,cos A0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另解 sin 2 A1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinsin AA cos

11、 A 26cos A212sinAcos A3 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 +得 sin A26 。4 得 cos A26 。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 tanAsin A cos A26442623 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本学问，着重数学考查运算才能，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎

12、下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简洁了？题型 3：三角形中的三角恒等变换问题例 3在 ABC中， a、b、 c 分别是 A、 B、 C的对边长，已知a、b、c 成等比数列，22b sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 a c =acbc，求 A 的大小及的值。c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：因给出的是a、b、c 之间的等量关系，要求A，需找 A 与三边的关系，故可用余可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2弦定理。由

13、b =ac 可变形为b2=a，再用正弦定理可求cb sin B c的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解法一： a、b、 c 成等比数列，b =ac。22222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 a c =ac bc， b +c a =bc。b 2在 ABC中，由余弦定理得：cos A=c 22bca2bc1=，2bc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A=60。在 ABC中，由正弦定理得sin B= b sinA ， b2ac，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A=60，b s

14、in Bcb 2 sin 60 ac=a3=sin60 =。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：在ABC中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由面积公式得1 bcsin A= 21 acsin B 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 b =ac， A=60， bcsin A=b sin B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 b sin Bc=sin A=3 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型 4：正、余弦定理判定

15、三角形外形例 4在 ABC中，如 2cos Bsin A sinC ，就 ABC的外形肯定是（）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形答案： C解析： 2sin AcosB sin C=sin （ A B） =sinAcosB+cosAsinB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - sin （ A B） 0， A

16、B另解：角化边点评：此题考查了三角形的基本性质，要求通过观看、分析、判定明确解题思路和变形方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向，通畅解题途径题型 5：三角形中求值问题例 5ABC 的三个内角为A、B、C值，并求出这个最大值。，求当 A 为何值时，cos A2cos BC2取得最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B+C AB+CA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由A+B+C=，得2 = 2 2，所以有cos2=sin2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B+CA2AAA1232=cosA+2sin2 =1 2sin2 + 2si

17、n2= 2sin 2 2+2cosA+2cos。A1B+C32 =，即 A=时, cosA+2cos取得最大值为。当 sin2322点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。题型 6：正余弦定理的实际应用例 6（ 2021 辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B， D为两岛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为750 ， 300 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

18、于水面 C 处测得 B 点和 D点的仰角均为600 ， AC=0.1km。摸索究图中B，D 间距离与另外可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结哪两点间距离相等，然后求B， D 的距离（运算结果精确到 0.01km ，21.414 ，62.449 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 在 ABC中， DAC=30,ADC=60 DAC=30,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 CD=AC=0.1 又 BCD=180 60 60=60，故 CB是 CAD底边 AD的中垂线，所以BD=BA，在 ABC中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s

19、inABBCAsinACABC, 即 AB=ACsin60 sin 15326 ,20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结326因此， BD=200.33km。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 B，D 的距离约为0.33km 。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

20、纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -降低，对三角的综合考查将向三角形中问题舒展，但也不行太难，只要把握基本学问、概念，深刻懂得其中基本的数量关系即可过关。三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（ 1）已知两角和一边（如A、 B、C），由 A+B+C = 求 C，由正弦定理求a、b。（ 2）已知两边和夹角（如a、 b、c），应用余弦定理求c 边。再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=，求另一角。（ 3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由 A+B+C = 求 C，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要留意解可能

21、有多种情形。（ 4）已知三边a、b、 c，应余弦定理求A、B，再由 A+B+C=，求角 C。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2三角学中的射影定理：在ABC 中， bacosCccos A ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3两内角与其正弦值：在ABC 中， ABsin Asin B ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4解三角形问题可能显现一解、两解或无解的情形，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮忙懂得”。三、课后跟踪训练1. （ 2021 上海文数18. ）如 ABC 的三个内角满意可

22、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinA :sinB :sin C5:11:13，就 ABC（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ A）肯定是锐角三角形.（B）肯定是直角三角形.（ C）肯定是钝角三角形.D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由 sinA :sinB :sin C5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由余弦定理得cos c5 211225132110 ，所以角C 为钝角可编辑资料 -

23、- - 欢迎下载精品名师归纳总结2. （ 2021 天津理数7）在 ABC中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，如 a2b23bc ，sin C23 sin B ，就 A=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ A） 300（ B） 600（ C） 1200（ D） 1500可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 A【解析】此题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由正弦定理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - -

24、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c23b2R2 Rc23b ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2 +c2 -a23bcc23bc23bc30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 cosA=2bc=2bc2bc，所以 A=302可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。3. （ 2021 湖北

25、理数） 3. 在ABC 中， a=15,b=10,A=60 ，就 cosB =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 223【答案】 DB 223C 6 D633可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab15103可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】依据正弦定理sin A可得sin Bsin60osin B解得 sin B，又由于 ba ，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 BA，故 B 为锐角，所以cos B1sin2 B6 ，故 D 正确 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. （2021 广东理数） 11. 已

26、知 a,b,c分别是 ABC的三个内角A,B,C 所对的边，如a=1,b=3 ,A+C=2B,就 sinC=.13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由 A+C=2B及 A+ B+ C =180知， B =60 由正弦定理知，sin A，即sin 60o可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin A1由 ab 知， AB260o ，就 A30o ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C180oAB180o30o60o90o ， sin Csin90 o1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑

27、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5（2021 湖南卷文） 在锐角ABC 中， BC取值范畴为.1, B2 A, 就ACcos A的值等于，AC 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析设A,B2 . 由正弦定理得ACBC,AC1AC2.sin 2sin2coscos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由锐角ABC 得 0o290o0o45o ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 0o180o390o30o60o ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精

28、品名师归纳总结故 30o45o2 cos3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -AC2cos2,3.6. （ 2021 全国卷理）在ABC 中，内角 A、B、C的对边长分别为a 、 b 、 c ，已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2c22b ，且 sinA cosC3

29、cos A sin C ,求 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：: 此题事实上比较简洁, 但考生反应不知从何入手. 对已知条件 1a2c22b 左侧是二次的右侧是一次的, 同学总感觉用余弦定理不好处理, 而对已知条件 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinAcosC3cosAsin C,过多的关注两角和与差的正弦公式, 甚至有的同学仍想用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结现在已经不再考的积化和差, 导致找不到突破口而失分.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解法：在ABC 中就 Q sinA cosC3cosA sin C ,

30、 由正弦定理及余弦定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2有: agb2c2 2abb2c232bcagc,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（角化边）化简并整理得：2a2c2 b 2 . 又由已知 a 2c22b4bb2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 b4或b0舍）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7在 ABC中，已知 A、B、C

31、成等差数列，求tan Atan C3 tan A tan C 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222解析：由于A、B、C 成等差数列，又A BC 180，所以A C 120，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ACAC从而60，故 tan223 . 由两角和的正切公式，得tan A2tan C23 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tan A tan C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 tan Atan C2233 tan A tan C ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222tan Atan C3

32、tan A tan C3 。2222点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求解，同时结合三角变换公式的逆用。8.（ 2021 四川卷文） 在ABC 中，A、B为锐角，角 A、B、C所对的边分别为a、b、c ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 sin A510,sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结510（ I ）求 AB 的值。（II ）如 ab21，求 a、b、c 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可

33、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解（ I ） A、B 为锐角，sin A5 ,sin B10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 cos A1sin2 A25 ,cos B1sin2 B3 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精

34、品名师归纳总结510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosABcos Acos Bsin A sin B253 105102 .5105102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0AB, AB4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ II ）由（ I ）知 C3， sin C242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由abc得sin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5a10b2c ，即 a2b, c5b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又ab212bb21b1a2, c59. （ 2021