三角形中位线定理证明.doc

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1、三角形中位线定理 证明性质1中位线平行于第三边性质2等于第三边的一半1定理2证明3逆定理1定理 三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。1三角形的中位线2证明如图，已知ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。求证DE平行于BC且等于BC/2方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。CGADA=ACGAED=CEG、AE=CE、A=ACG（用大括号）ADECGE （A.S.A)AD=CG(全等三角形对应边相等)D为AB中点AD=BDBD=CG又BDCGBCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）DGBC且DG=BCDE=DG/2=BC/2三角

2、形的中位线定理成立. 方法二：相似法：D是AB中点AD：AB=1：2E是AC中点AE：AC=1:2又A=AADEABCAD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2ADE=B，AED=CBC=2DE,BCDE方法三：坐标法：设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）则一条边长为 ：根号（x2-x1）2+(y2-y1）2另两边中点为（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2）这两中点距离为：根号（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）2+(y2+y3）/2-(y1+y3）/2）2最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半方

3、法4：延长DE到点G，使EG=DE，连接CG点E是AC中点AE=CEAE=CE、AED=CEG、DE=GEADECGE (S.A.S)AD=CG、G=ADED为AB中点AD=BDBD=CG点D在边AB上DBCGBCGD是平行四边形DE=DG/2=BC/2三角形的中位线定理成立2方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/23DE/BC且DE=BC/23逆定理 逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。如图DE/BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。证明：DEBCADEABCAD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2

4、AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。如图D是AB的中点，DE/BC，则E是AC的中点，DE=BC/2三角形的中位线证明：取AC中点E，连接DE，则有AD=BD，AE=CEDE是三角形ABC的中位线DEBC又DEBCDE和DE重合（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）E是中点，DE=BC/2注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线！如图，在ABC中，D是AB中点，E在AC上，DE=BC/2，那么DE不一定是ABC的中位线。理由如下：以D为圆心，DE为半径作圆，设D与AC交于另一点E，则有DE=DE=BC/2，但DE不是三角形的中位线。但在一定条件下该命题是真命题，即当DEAD，即BCAB时，命题为真。根据正弦定理可知，当DEAD（BCAB）时，D与AC的交点有且只有一个。