2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：选修4-5 不等式选讲 第二节　不等式的证明 .docx

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1、第二节不等式的证明2019考纲考题考情1比较法作差比较法与作商比较法的基本原理：(1)作差法：ab0ab。(2)作商法：1ab(a0，b0)。2综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法。(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立。这是一种执果索因的思考和证明方法。3反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确

2、的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法。4放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法。5柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等号当且仅当adbc时成立。1a20(aR)。2(ab)20(a，bR)，其变形有a2b22ab，2ab，a2b2(ab)2。3若a，b为正实数，则，特别地，2。4a2b2c2abbcca。 一、走进教材1(选修45P23T1

3、改编)已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为_。解析2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)。因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b。答案MN2(选修45P24例3改编)求证：2。证明2()2(2)210210422124。故原不等式成立。二、走出误区微提醒：不等式放缩不当致错；运用柯西不等式不能合理变形。3设a，b(0，)，且abab1，则有()Aab2(1) Bab1Cab2(1)解析由已知得ab1ab2，故有(ab)24(ab)40，

4、解得ab22或ab22(舍去)，即ab22。(当且仅当ab1时取等号)故选A。答案A4已知三个互不相等的正数a，b，c满足abc1。试证明：0，且互不相等，abc1，所以，即b时，1，0，由指数函数的性质知1，当ab时，01，1。所以aabb(ab) 。1作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论。其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负。2作商比较法证明不等式的步骤(1)作商；(2)变形；(3)判断与1的大小关系；(4)得出结论。其中“作商”要注意两式的正、负，不能随意作商。 【变式训练】(20

5、19陕西质检)已知函数f(x)|2x1|x1|。(1)解不等式f(x)3；(2)记函数g(x)f(x)|x1|的值域为M，若tM，证明t213t。解(1)依题意，得f(x)所以f(x)3或或解得1x1，即不等式f(x)3的解集为x|1x1。(2)g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3，当且仅当(2x1)(2x2)0时取等号，所以M3，)。t213t，因为tM，所以t30，t210，所以0，所以t213t。考点二 综合法证明不等式【例2】(2018山西晋中二模)已知函数f(x)|x1|。(1)若xR，使不等式f(x2)f(x3)u成立，求满足条件的实数u的集合M；(2)已知t为

6、集合M中的最大正整数，若a1，b1，c1，且(a1)(b1)(c1)t，求证：abc8。解(1)由已知得f(x2)f(x3)|x1|x2|则1f(x)1，由于xR，使不等式|x1|x2|u成立，所以u1，即Mu|u1。(2)证明：由(1)知t1，则(a1)(b1)(c1)1，因为a1，b1，c1，所以a10，b10，c10，则a(a1)120(当且仅当a2时等号成立)，b(b1)120(当且仅当b2时等号成立)，c(c1)120(当且仅当c2时等号成立)，则abc88(当且仅当abc2时等号成立)。综合法证明不等式的方法1综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与

7、联系。合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键。2在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的。在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件。 【变式训练】已知函数f(x)2|x1|x2|。(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足abcm，求证：3。解(1)当x1时，f(x)2(x1)(x2)3x(3，)；当1x2时，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；当x2时，f(x)2(x1)(x2)3x6，)。综上，f(x)的最小值m3。(2)证明：因为a，b，c均为正实数，且满足abc3，所以(abc)22(abc)，当且仅当abc1时，取“”，所以ab

8、c，即3。考点三 分析法证明不等式【例3】已知函数f(x)|x1|。(1)求不等式f(x)f(a)f(b)。解(1)由题意，|x1|2x1|1，当x1时，不等式可化为x12x2，解得x1；当1x时，不等式可化为x12x2，此时不等式无解；当x时，不等式可化为x11。综上，Mx|x1。(2)证明：因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要证f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证a2b22ab1a22abb2，即证a2b2a2b210，即证(a21)(b21)0。因为a，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以

9、原不等式成立。分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a2b22ab)、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆。 【变式训练】已知a0，b0,2cab，求证：cac。证明要证cac，即证ac，即证|ac|，即证(ac)2c2ab，即证a22ac0，所以只要证a2cb，即证ab2c。由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立。考点四 柯西不等式的应用【例4】(2018江苏高考)若x，y，z为实数，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值。解由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)

10、(x2y2z)2。因为x2y2z6，所以x2y2z24，当且仅当时，不等式取等号，此时x，y，z，所以x2y2z2的最小值为4。1利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题。2利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的条件。 【变式训练】(1)已知a，b，cR，且满足a2b3c6，则a22b23c2的最小值为_。(2)设x，y，zR，且1，则xyz的取值范围是_。解析(1)由柯西不等式，得(123)(a22b23c2)(1abc)2。得6(a22b23c2

11、)(a2b3c)236。所以a22b23c26。当且仅当，即abc1时，上式等号成立。所以a22b23c2的最小值为6。(2)由柯西不等式，得42()2222，即251(xyz)2。所以5|xyz|，所以5xyz5。即xyz的取值范围是5,5。答案(1)6(2)5,51(配合例1使用)已知a，b为正实数。(1)求证：ab。(2)利用(1)的结论求函数y(0x0，b0，所以0，当且仅当ab时等号成立。所以ab。(2)因为0x0，由(1)的结论，y(1x)x1。当且仅当1xx即x时等号成立。所以函数y(0x1)的最小值为1。2(配合例3使用)(1)已知abc1，证明：(a1)2(b1)2(c1)2

12、；(2)若对任意实数x，不等式|xa|2x1|2恒成立，求实数a的取值范围。解(1)证明：因为abc1，所以(a1)2(b1)2(c1)2a2b2c22(abc)3a2b2c25，所以要证(a1)2(b1)2(c1)2，只需证a2b2c2。因为a2b2c2(abc)22(abbcca)(abc)22(a2b2c2)，所以3(a2b2c2)(abc)2。因为abc1，所以a2b2c2，所以(a1)2(b1)2(c1)2。(2)设f(x)|xa|2x1|，则“对任意实数x，不等式|xa|2x1|2恒成立”等价于“f(x)min2”。当a时，f(x)此时f(x)minfa，要使|xa|2x1|2恒成

13、立，必须a2，解得a。综上可知，实数a的取值范围为。3(配合例4使用)已知不等式|2x3|x与不等式x2mxn0时，|2x3|xx2x3x1x0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4。(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值。解(1)因为|xa|xb|ab|，所以f(x)|ab|c，当且仅当(xa)(xb)0时，等号成立，又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc，所以abc4。(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)2(abc)216，即a2b2c2，当且仅当时，等号成立，又因为abc4，所以a，b，c时，等号成立，所以a2b2c2的最小值为。