2214二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质.ppt

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1、22.1.4 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的图象和性质R九年级上册九年级上册 问题问题1 1 请说出抛物线请说出抛物线y=ax+ky=ax+k， y=ay=a（x-hx-h） ， y=ay=a（x-hx-h）+k+k的开口方向、对称轴和顶点的开口方向、对称轴和顶点 坐标。坐标。问题问题3 3 要求出一个二次函数的表达式，需要求出一个二次函数的表达式，需 要几个独立的条件呢？要几个独立的条件呢？问题问题2 2 你知道二次函数你知道二次函数y= x-6x+21y= x-6x+21的图象的的图象的 开口方向，对称轴和顶点坐标吗？开口方向，对称轴和顶点坐标吗？21新课导入新课导入问

2、题问题1 1 你能把二次函数你能把二次函数y= x-6x+21y= x-6x+21化成化成y=ay=a（x-x-h h）+k +k 的形式吗？并指出它的图像的对称轴和的形式吗？并指出它的图像的对称轴和顶点坐标。顶点坐标。21获取新知获取新知问题问题2 2 请用描点法画出二次函数请用描点法画出二次函数y=0.5x-6x+21y=0.5x-6x+21 的图像的图像. . 问题问题3 3 请结合问题请结合问题2 2的图象，指出当的图象，指出当x x取何值取何值时，函数值时，函数值y y的最小值是多少？当的最小值是多少？当x x取何值时，取何值时，函数函数y y随随x x的增大而减小？当的增大而减小？

3、当x x取何值时，取何值时，y y随随x x的增大而增大？的增大而增大？ 问题问题4 4 用上面方法讨论二次函数用上面方法讨论二次函数y=-2x-4x+1y=-2x-4x+1的图的图 象和性质象和性质问题问题5 已知一次函数经过点（已知一次函数经过点（1，3）和（）和（-2，-12），），求这个一次函数的解析式。求这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 因为一次函数经过点（因为一次函数经过点（1，3）和（）和（-2，-12），）， 所以、所以、k+b=3-2k+b=-12解得解得 k=3，b=-6一次函数的解析式为一次函数的解析式为y=3

4、x-6.问题问题1 1 抛物线抛物线y=ax+bx+cy=ax+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？的对称轴、顶点坐标是什么？你是如何做到的？你是如何做到的？cxabxa)(2cabababxxa2222222cabaabxa2224)2(abacabxa44)2(22abx2)44,2(2abacab 解：解：y=ax+bx+cy=ax+bx+c 抛物线抛物线y=ax+bx+cy=ax+bx+c的对称轴是的对称轴是 ，顶，顶点坐标是点坐标是新课推进新课推进问题问题2 2 根据下列条件，分别求出对应的二次函根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式：数解析式：（1 1）已知一个二次函数，当自变量

5、）已知一个二次函数，当自变量x=1x=1时，函数值时，函数值y=3y=3；当自变量；当自变量x=0 x=0时，函数值时，函数值y=-1y=-1；当自变量；当自变量x=-2x=-2时，函数值时，函数值y=2y=2611a解：设所求函数解析式为解：设所求函数解析式为y=ax+bx+cy=ax+bx+c（a0a0），由题意得：），由题意得： a+b+ca+b+c=3=3， c=-1c=-1， 解得：解得： 4a-2b+c=2 c=-14a-2b+c=2 c=-1故所求的二次函数解析式为故所求的二次函数解析式为613b16136112xy（2 2）已知二次函数的图像经过（）已知二次函数的图像经过（-1

6、,10-1,10），）， （1,41,4），（），（2,72,7）解：设所求的二次函数解析式为解：设所求的二次函数解析式为y=ax+bx=cy=ax+bx=c（a0a0），由题意得：），由题意得： a-a-b+cb+c=10=10， a=2a=2 a+b+ca+b+c=4=4， 解得：解得： b=-3b=-3 4a+2b+c=7 4a+2b+c=7， c=5c=5 故所求二次函数解析式为故所求二次函数解析式为y=-2x-3x+5y=-2x-3x+5（3 3）已知二次函数的图象经过顶点为）已知二次函数的图象经过顶点为（-1,3-1,3），且经过点（），且经过点（2,52,5）92a3) 1(92

7、2xy92994922xxy解：设所求的二次函数表达式为解：设所求的二次函数表达式为y=ay=a（x-hx-h）+k+k（a0a0），依题意得，），依题意得，h=-1h=-1，k=3k=3，即，即y=ay=a（x+1x+1）+3+3把（把（2,52,5）代入，得）代入，得5=a5=a9+3 9+3 故所求二次函数解析式为故所求二次函数解析式为即即 解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由已知得：由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：解方程得：因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是：a=2, b=-3, c=5y=2x2-3x+5例例

8、1 已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1，10）、）、（1，4）、（）、（2，7）三点，求这个函数的解析式）三点，求这个函数的解析式.典例分析典例分析l求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待的解析式，关键是求出待定系数定系数a，b，c的值。的值。l由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于列出关于a，b，c的方程组，并求出的方程组，并求出a，b，c，就就可以写出二次函数的解析式。可以写出二次函数的解析式。小结：小结：解：因为抛物线的顶点为（解：因为抛物线的顶点为（-1，-3），），所以，设所求的二次

9、函数的解析式为所以，设所求的二次函数的解析式为 y=a(x1)2-3例例2 已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1，3），与），与y轴的轴的交点为（交点为（0，5），求抛物线的解析式。），求抛物线的解析式。因为点（因为点（0，-5 ）在这个抛物线上，）在这个抛物线上，所以所以a-3=-5， 解得解得a=-2故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-3即：即：y=2x2- 4x5顶点式顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数，为常数，a0).l若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式的

10、坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k. 特别地，当抛物线的顶点为原点是，特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,可设函数的解析式为可设函数的解析式为y=ax2. 当抛物线的对称轴为当抛物线的对称轴为y轴时，轴时，h=0,可设函数可设函数的解析式为的解析式为y=ax2+k. 当抛物线的顶点在当抛物线的顶点在x轴上时，轴上时，k=0，可设函，可设函数的解析式为数的解析式为y=a(x-h)2.所以设所求的二次函数为所以设所求的二次函数为y=a(x1)(x1)例例3 已知抛物线与已知抛物线与X轴交于轴交于A（1，0），），B（1,0）并经过点并经过点M（0,1），求抛物线的

11、解析式？），求抛物线的解析式？又又 点点M( 0,1 )在抛物线上在抛物线上 a(0+1)(0-1)=1解得：解得： a=-1故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=- (x1)(x-1)即：即：y=x2+1解：因为抛物线与解：因为抛物线与x轴的交点为轴的交点为A(1，0)，B(1，0) ，交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数为常数a0）l 当抛物线与当抛物线与x轴有两个交点为（轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，时，二次函数二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与因此当抛物线与x

12、轴有两个交点为轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为时，可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一个点的坐标代入其中，即可，在把另一个点的坐标代入其中，即可解得解得a，求出抛物线的解析式。，求出抛物线的解析式。 交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2). x1和和x2分别是抛物分别是抛物线与线与x轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线抛物线的对称轴对称，则直线 就是抛就是抛物线的对称轴物线的对称轴.xxx 1223412xxy2)2(412xy1.1.把二次函数把二次函数 用配方法化成用配方法

13、化成y=ay=a（x-hx-h）+k+k的形式为的形式为随堂演练随堂演练253212xxy2.2.二次函数二次函数 的图像的顶点坐标的图像的顶点坐标为为（-3,7-3,7）3.二次函数二次函数y=ax+bx+c的图像如图所示，则（的图像如图所示，则（ ） A.a0，b0，c0 B.a0，b0，c0 C. a0，b0，c0 D. a0，b0，c0D D4.4.根据下列条件，分别求出对应的二次函根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式：数的解析式：21322()yx解解析析式式为为：（1 1）已知二次函数的图像经过点）已知二次函数的图像经过点A A（0 0，-1-1），），B B（1,01,0

14、），），C C（-1,2-1,2）；）； 解析式为：解析式为：y=2x-x-1y=2x-x-1（2 2）二次函数的图像顶点为（）二次函数的图像顶点为（3 3，-2-2），且图象），且图象与与x x轴两个交点间的距离为轴两个交点间的距离为4 4；解解析析式式：215y = -x +2x+22（3 3）抛物线的对称轴为直线）抛物线的对称轴为直线x=2x=2，且经过点（，且经过点（1,41,4）和（和（5,05,0）；）； 5. 5.有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为大高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标现把它的图形放在

15、坐标系里系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 解：设抛物线的解析式为解：设抛物线的解析式为y=ax2bxc，根据题意可知根据题意可知抛物线经过抛物线经过(0，0)，(20，16)和和(40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件列出列出a、b、c的三元的三元一次方程组，求出一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定的值，从而确定函数的解析式函数的解析式过程较繁杂，过程较繁杂， 评价评价设抛物线为设抛物线为y=a(x-20)216 解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(0，0)在抛物线上，在抛物线上， 通过利用条件中的顶通过利用条

16、件中的顶点和过原点选用顶点点和过原点选用顶点式求解，式求解，方法比较灵活方法比较灵活 评价评价 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系现把它的图形放在坐标系里里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 设抛物线为设抛物线为y=ax(x-40 ）解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(20，16)在抛物线上，在抛物线上， 选用两根式求解，选用两根式求解，方法灵活巧妙，过方法灵活巧妙，过程也较简捷程也较简捷 评价评价 有一

17、个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系现把它的图形放在坐标系里里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 1.1.形如形如y=ax+bx+cy=ax+bx+c（a0a0）的二次函数的顶点）的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：坐标及对称轴的确定：abx2（1 1）当二次函数）当二次函数y=ax+bx+cy=ax+bx+c容易配方时，可容易配方时，可采用配方方法来确定顶点坐标及对称轴方程；采用配方方法来确定顶点坐标及对称轴方程； （2 2）当）当a a，b b，c c比较复杂时，可直接用公式来确比较复杂时，可直接用公式来确定：定：抛物线抛物线y=ax+bx+cy=ax+bx+c的对称轴为的对称轴为 ，顶点坐标，顶点坐标)44,2(2abacab课堂小结课堂小结 2. 2.解决二次函数解决二次函数y=ax+bx+cy=ax+bx+c的问题时，应先将它的问题时，应先将它转化为转化为y=ay=a（x-hx-h）+k+k形式后，进行研究为好。形式后，进行研究为好。3.3.求函数解析式，应灵活运用一般式或顶点式求函数解析式，应灵活运用一般式或顶点式来求解。来求解。1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.课后作业课后作业