第三章31导数的概念及运算.ppt

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1、数学数学 A（文）（文）3.1导数的概念及运算第三章 导数及其应用1利用基本求导公式和求导法则求导数(5年5考)2导数的几何意义及其应用(5年3考)1了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3能根据导数定义求函数yC(C为常数)，yx，yx2，yx3，yax，ylogax的导数 基础基础知识知识自主学习自主学习 题型题型分类分类深度剖析深度剖析 思想方法思想方法感悟感悟提高提高 练出高分练出高分基础知识自主学习知识梳理1.函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为 ，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为 .基础知识自主学习知识梳理2.

2、函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .基础知识自主学习知识梳理(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点 处的 .相应地，切线方程为 .(x0，f(x0)切线的斜率yf(x0)f(x0)(xx0)3.函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数，导函数有时也记作y.基础知识自主学习知识梳理4.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c (c为常数)f(x)f(x)x (Q*)f(x)f(x)sin xf(x)f(x)cos

3、 xf(x)0 x1cos xsin x基础知识自主学习知识梳理f(x)ax (a0)f(x)f(x)exf(x)f(x)logax (a0，且a1) f(x)f(x)ln x f(x)axln aex基础知识自主学习知识梳理5.导数的运算法则(1)f(x)g(x) ；(2)f(x)g(x)；(3) (g(x)0).f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) 一个区别曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线唯一，当f(x0)存在时，切线的斜率kf(x0)；曲线yf(x)过点P(x0，

4、y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条 两点提醒(1)对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的运算性质转化真数为有理式或整式再求解更为方便(2)对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零基础知识自主学习知识梳理u 思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0).()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()基础知识自主学习知识梳理(4)与曲线只有一个公共点的直线一

5、定是曲线的切线.()(5)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22x.()(6)函数y 的导数是y .()基础知识自主学习考点自测题号答案解析1234 CD5xy20因为y|x05e05，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.解析题型分类深度剖析题型一利用定义求函数的导数题型一利用定义求函数的导数例1用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数.思 维 升 华解 析题型分类深度剖析题型一利用定义求函数的导数题型一利用定义求函数的导数例1用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数.解方法一yf(xx)f(x)(xx)22(xx)1(x22x1)x22xx

6、(x)22x2x1x22x1(2x2)x(x)2，思 维 升 华解 析题型分类深度剖析题型一利用定义求函数的导数题型一利用定义求函数的导数例1用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数.所以函数f(x)x22x1在x1处的导数为f(x)|x12120.思 维 升 华解 析题型分类深度剖析题型一利用定义求函数的导数题型一利用定义求函数的导数例1用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数.方法二yf(1x)f(1)(1x)22(1x)1(12211)12x(x)222x12(x)2，故f(x)|x10.思 维 升 华解 析题型分类深度剖析题型一利用定义求函数的导数题型一利用定义求函数的导数

7、例1用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数.(1)求函数f(x)的导数步骤：求函数值的增量yf(x2)f(x1)；计算平均变化率 ；思 维 升 华解 析题型分类深度剖析题型一利用定义求函数的导数题型一利用定义求函数的导数例1用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数.计算导数f(x) .(2)利用定义法求解f(a)，可以先求出函数的导数f(x)，然后令xa即可求解，也可直接利用定义求解.思 维 升 华解 析题型分类深度剖析跟踪训练1(1)函数yx 在x，xx上的平均变化率 _；该函数在x1处的导数是_.0题型分类深度剖析(2)已知f(x) ，则f(1)_.题型分类深度剖析(2)已知

8、f(x) ，则f(1)_.题型分类深度剖析例2求下列函数的导数：(1)yexln x；题型二题型二 导数的运算导数的运算解析思维升华题型分类深度剖析解(1)y(exln x)解析思维升华例2求下列函数的导数：(1)yexln x；题型二题型二 导数的运算导数的运算题型分类深度剖析解析思维升华例2求下列函数的导数：(1)yexln x；题型二题型二 导数的运算导数的运算题型分类深度剖析有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度减少差错；解析思维升华例2求下列函数的导数：(1)yexln

9、x；题型二题型二 导数的运算导数的运算题型分类深度剖析跟踪训练2(1)f(x)x(2 015ln x)，若f(x0)2 016，则x0等于()A.e2 B.1C.ln 2 D.e解析f(x)2 015ln xx 2 016ln x，故由f(x0)2 016得2 016ln x02 016，则ln x00，解得x01.B题型分类深度剖析(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A.1 B.2 C.2 D.0解析f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.B题型分类深度剖析题型三题型三 导数的几何意义导数的几何意义例3已知函数f(x)x34x25x4

10、.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；思维点拨解析思维升华题型分类深度剖析注意“过某一点的切线”和“在某一点的切线”的不同题型三题型三 导数的几何意义导数的几何意义例3已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；思维点拨解析思维升华题型分类深度剖析解f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(2)x2，即xy40.题型三题型三 导数的几何意义导数的几何意义例3已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；思维点拨解析思维升华题型分类深度剖析导数几

11、何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0；题型三题型三 导数的几何意义导数的几何意义例3已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；思维点拨解析思维升华题型分类深度剖析(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解题型三题型三 导数的几何意义导数的几何意义例3已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f

12、(x)在点(2，f(2)处的切线方程；思维点拨解析思维升华题型分类深度剖析(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程思维点拨解析思维升华题型分类深度剖析注意“过某一点的切线”和“在某一点的切线”的不同(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程思维点拨解析思维升华题型分类深度剖析(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01，经过A(2,2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.思维点拨解析思维升华题型分类深度剖析导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在

13、该点处的导数不存在，切线方程是xx0；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程思维点拨解析思维升华题型分类深度剖析(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程思维点拨解析思维升华题型分类深度剖析跟踪训练3(1)(2014江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2 (a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_.3题型分类深度剖析(2

14、)已知函数f(x)x33x，若过点A(0,16)且与曲线yf(x)相切的直线方程为yax16，则实数a的值是_.解析先设切点为M(x0，y0)，求导数得到切线的斜率kf(x0)3x 3，题型分类深度剖析(2)已知函数f(x)x33x，若过点A(0,16)且与曲线yf(x)相切的直线方程为yax16，则实数a的值是_.联立可解得x02，y02，9题型分类深度剖析易错警示系列易错警示系列5 混淆混淆“在某点处的切线在某点处的切线”与与“过某点过某点 的切线的切线”致误致误易 错 分 析解 析温 馨 提 醒题型分类深度剖析没有对点(1,0)的位置进行分析，误认为是切点而失误.易 错 分 析解 析温

15、馨 提 醒题型分类深度剖析因为yx3，所以y3x2，易 错 分 析解 析温 馨 提 醒题型分类深度剖析可得a1.答案A易 错 分 析解 析温 馨 提 醒题型分类深度剖析1.对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.2.对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解.易 错 分 析解 析温 馨 提 醒题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型分类深度剖析思想方法感悟提高方 法 与 技 巧1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，

16、而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.思想方法感悟提高失 误 与 防 范1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.2.求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.练出高分A组专项基础训练23456789110练出高分A组专项基础训练

17、1.设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0的值为()23456789101解析由f(x)xln x得f(x)ln x1.根据题意知ln x012，所以ln x01，因此x0e.B练出高分A组专项基础训练2.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)等于()A.e B.1 C.1 D.e34567891102f(1)2f(1)1，则f(1)1.B练出高分A组专项基础训练3.设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线 方 程 为 y 2 x 1 ， 则 曲 线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为()245678911

18、03解析由条件知g(1)2，又f(x)g(x)x2g(x)2x，f(1)g(1)2224.A练出高分A组专项基础训练4.与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是()A.2xy30 B.2xy30C.2xy10 D.2xy1023567891104练出高分A组专项基础训练5.曲线yx3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x1所围成的三角形的面积为()23467891105解析求导得y3x2，所以y|x13，所以曲线yx3在点(1,1)处的切线方程为y13(x1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，练出高分A组专项基础训练23467891105答案B练出高分A组专项基础训练6.已知函数f

19、(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3x22xf(2)，则f(5)_.23457891106解析对f(x)3x22xf(2)求导，得f(x)6x2f(2).令x2，得f(2)12.再令x5，得f(5)652f(2)6.6练出高分A组专项基础训练7.已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_.23456891107解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1，又过点P(2,0)，所以切线方程为xy20.xy20练出高分A组专项基础训练234567911088.已知函数f(x) ，g(x)aln x，aR.若

20、曲线yf(x)与曲线yg(x)相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为_.练出高分A组专项基础训练23456791108两条曲线交点的坐标为(e2，e)，练出高分A组专项基础训练9.已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标；23456781109解由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解之得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4).练出高分A组专项基础训练(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程.23456781109解直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为 .l过

21、切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4 (x1)，即x4y170.练出高分A组专项基础训练10.已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；23456789110解可判定点(2，6)在曲线yf(x)上.f(x)(x3x16)3x21.f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y613(x2)即y13x32.练出高分A组专项基础训练(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.23456789110解设切点坐标为(x0，y0)，又直线l过坐标点(0,0)，练出高分A组专项基础训练2345678

22、9110 x02，y0(2)3(2)1626，得切点坐标(2，26)，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).练出高分B组专项能力提升1213141511练出高分B组专项能力提升11.函数f(x)excos x的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为()1213141511解析由f(x)excos x，得f(x)excos xexsin x.所以f(0)e0cos 0e0sin 01，B练出高分B组专项能力提升1213141511练出高分B组专项能力提升1213141511答案C练出高分B组专项能力提升13.已知曲线C：f(x)x3axa，若过曲线C外一点A(1,

23、0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为_.1213141511解析设切点坐标为(t，t3ata).由题意知，f(x)3x2a，切线的斜率为ky|xt3t2a， 所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt). 练出高分B组专项能力提升将点(1,0)代入式得，(t3ata)(3t2a)(1t)，1213141511练出高分B组专项能力提升121314151114.若函数f(x) x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，2，)练出高分B组专项能力提升1213141511(1)求k的值；解设点P的坐标为(x1，y1)，则y1kx1， 练出高分B组专项能力提升1213141511练出高分B组专项能力提升1213141511(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.解过P点作切线的垂线，其方程为y2x5. 设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x29，更多精彩内容请登录