31不等式的基本性质（1）.ppt

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1、第一讲第一讲 不等式和不等式和绝对值不等式绝对值不等式本专题知识结构本专题知识结构第一讲第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式第三讲第三讲柯西不等式与排序不等式柯西不等式与排序不等式第四讲第四讲数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式第二讲第二讲证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法不等式选讲不等式选讲1不等式的基本性质不等式的基本性质 ( (第一课时第一课时) ) 观察以下四个不等式：观察以下四个不等式： a+2 a+1-(1) a+33a-(2) 3x+12x+6-(3) xa-(4)一一 不等式不等式2. 基本理论基本理论 1.实数在数轴上的性质实数在数轴上的性质: 研究不等式

2、的出发点是实数的大小关系。数研究不等式的出发点是实数的大小关系。数轴上的点与实数轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：0ababx用数学式子表示为用数学式子表示为: 设设a,b是两个实数是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是它们在数轴上所对应的点分别是A,B,那么那么,当点当点A在点在点B的左边时的左边时,ab. 关于关于a,b的大小关系的大小关系,有以下有以下基本事实基本事实:如果如果ab,那么那么a-b是正数是正数;如果如果a=b,那么那么a-b等于零等于零;如果如果ab,那么那么a-b是负

3、数是负数;反过来也对反过来也对.0;0;0.abababababab 0;0;0.abababababab 上式中的左边部分反映的是实数的大小顺上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小，这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小，而且而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解是推导不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据。不等式的主要依据。 要比较两个实数要比较两个实数a与与b的大小，可以转化为比的

4、大小，可以转化为比较它们的差较它们的差a - b 与与0的大小。的大小。在这里，在这里，0为实数为实数比较大小提供了比较大小提供了“标杆标杆”。思考？思考？ 从上述事实出发，你认为可以用什么方法从上述事实出发，你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？比较两个实数的大小？例例：比比较较 x x+ +3 3 ( (x x+ +7 7) )和和( (x x+ +4 4) )( (x x+ +6 6) )的的大大小小。2222解：因为 x+3 (x+7)-(x+4)(x+6)解：因为 x+3 (x+7)-(x+4)(x+6) =(x +10 x+21)-(x +10 x+24) =(x +10 x+2

5、1)-(x +10 x+24) = -30 = -30 所以 x+3 (x+7)(x+4)(x+6) 所以 x+3 (x+7)0 若若x1 那么那么 (x -1)2 0则则 2x4+1 2x3+x2 若若 x =1 那么那么(x -1)2 = 0 则则 2x4+1 = 2x3+x2 综上所述综上所述: 若若 x = 1 时时 2x4+1 = 2x3+x2 若若 x1 时时 2x4+1 2x3+x2 求差比较大小求差比较大小分四步进行：分四步进行：作差；作差；变形；变形；定号；定号； 下结论。下结论。 例例2、比较、比较作商比较法作商比较法：作商作商变形变形与与1比较大小比较大小大多用于比较幂指

6、式的大小大多用于比较幂指式的大小.abbaabb例3（a0,b0,ab)比较和a的大小 等式的性质等式的性质n nn n5 5. .a a= =b ba a = = b ba a = =b b, ,c c= =d da ac c= =b bd da a = = b bb b = = a aa a= =b ba a+ +c c= =b b+ +c ca a= =b b, , c c= =d da a+ +c c= =b b+ +d dn nn na a= =b ba a = =b ba a = = b ba ac c = = b bc c1.2.3.4.（传递性）（传递性）（可加性）（可加性）（

7、可乘性）（可乘性）（乘方性）（乘方性）（开方性）（开方性）a a = =b b, ,b b= =c ca a = =c c（加法法则）（加法法则）（乘法法则）（乘法法则）( (n nN N, ,n n 1 1) )（对称性）（对称性） 二二: 不等式的性质不等式的性质1 1. .a a b bb b b b, ,b b c ca a c cn nn n6 6. . a a b b 0 0a a b bn nn n5 5. . a a b b 0 0a a b b( (n nN N, ,n n 1 1) )（传递性）（传递性）（可加性）（可加性）（可乘性）（可乘性）（乘方性）（乘方性）（开方性）

8、（开方性）（加法法则）（加法法则）（乘法法则）（乘法法则）（对称性）（对称性）c c 4 4 . . a a b b , ,a a0 0c c b b c cc c b b , ,a a c c b b 0 0, ,c c d d 0 0a ac c b bd d3 3. .a a b ba a + + c c b b + + c ca a b b, , c c d da a+ +c c b b+ +d d类比等式的性质类比等式的性质复习不等式性质复习不等式性质abab例：已知a b0,cd 0，求证 .例：已知a b0,cd 0，求证 .dcdc1.如果a b，cd，那么a+c b+d1.如

9、果a b，cd，那么a+c b+d2.如果a b0，cd 0，那么ac bd2.如果a b0，cd 0，那么ac bd能证明它们吗能证明它们吗? ?练习题练习题1 1、选择题：、选择题：已知已知 ，在以下，在以下4 4个不等式中正确的是：个不等式中正确的是：（1） （2） （3） （4） ba b1a1 22ba )1blg()1alg(22 ba22 练习题练习题 2. 已知已知 x0 , 比较比较 (x2 +2)2 与与 x4+x2 +4的大的大小小. 3. 比较比较 x3 与与 x2-x + 1的大小的大小.【解题回顾【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法本题的解答关键在于选择合适

10、的方法. . 4、比较以下两个实数的大小：、比较以下两个实数的大小：1816*1(1)1618 ;(2)2()1n nNnn与与小结小结 主要内容主要内容 基本理论基本理论: a - b 0 a b a - b = 0 a = b a - b 0 a b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤：一般步骤： 作差变形判断符号作差变形判断符号下结论。下结论。 变形变形是是关键关键： 1变形常用方法变形常用方法:配方法，因式分解法。配方法，因式分解法。 2变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几个平方和；几个因式的积。个平方和；几个因式的积。