2019届高考数学二轮复习高考大题专项练五解析几何B理.doc

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1、五解析几何(B)1.(2018上饶三模)已知椭圆C1:x2a2+y2=1(a1)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M.(1)求点M的轨迹C2的方程;(2)当直线AB与椭圆C1相切,交C2于点A,B,当AOB=90时,求AB的直线方程.2.(2018烟台模拟)已知动圆C与圆E:x2+(y-1)2=14外切,并与直线y=-12相切.(1)求动圆圆心C的轨迹;(2)若从点P(m,-4)作曲线的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点.3.(2018商丘二模)已知抛物线C:y2=2px(p0

2、)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且ADEF,求ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.4.(2018河南许昌质检)在平面直角坐标系xOy中,动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4.(1)求动点M的轨迹的方程;(2)已知斜率为12的直线l交于不同的两点A,B,是否存在定点P,使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.1.解:(1)由e2=c2a2=a2-1a2=12,得a=2,c=1,故F1(-1,0),F2(

3、1,0),依条件可知|MP|=|MF2|,所以点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,所以C2的方程为y2=4x.(2)显然当AB斜率不存在时,不符合条件.当AB斜率存在时,设AB:y=kx+m,由y=kx+m,x22+y2=1消y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,因为AB与C1相切,所以=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,得m2=2k2+11,又由消y得k2x2+(2km-4)x+m2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4-2kmk2,x1x2=m2k2,且有得k0,km0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x

4、1x2=-4b.由抛物线的方程可得y=14x2,所以y=12x.所以过A(x1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=12x1(x-x1),又y1=14x12,代入整理得y=12x1x-14x12.因为切线过P(m,-4),代入整理得x12-2mx1-16=0,同理可得x22-2mx2-16=0.所以x1,x2为方程x2-2mx-16=0的两个根,所以x1+x2=2m,x1x2=-16.由可得x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.所以b=4,k=,AB的方程为y=x+4.当x=0时,y=4,所以直线AB恒过定点(0,4).3.解:(1)依题意F(,0),当直线AB的斜率不存在时,y1

5、y2=-p2=-4,p=2,当直线AB的斜率存在时,设AB:y=k(x-),由y2=2px,y=k(x-p2),化简得y2-y-p2=0,由y1y2=-4得p2=4,p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)设D(x0,y0),B(,t),则E(-1,t),又由y1y2=-4,可得A(,-),因为kEF=-,ADEF,所以kAD=,故直线AD:y+=(x-),即2x-ty-4-=0,由y2=4x,2x-ty-4-8t2=0,化简得y2-2ty-8-16t2=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-16t2.所以|AD|=1+t24|y1-y0|=1+t24(y1+y0)2-4y1y0=,设点

6、B到直线AD的距离为d,则d=,所以SABD=12|AD|d=14(t2+16t2+8)316,当且仅当t4=16,即t=2时取等号,当t=2时,AD:x-y-3=0,当t=-2时,AD:x+y-3=0.4.解:(1)设动点M的坐标为(x,y),因为动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4,42,根据椭圆的定义,知所求的动点M的轨迹是以点(-1,0)与点(1,0)为焦点的 椭圆.所以c=1,2a=4,c2=a2-b2,解得所以轨迹的方程为+=1.(2)假设存在定点P(x0,y0),使得直线PA,PB的斜率的和为0.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA,PB的斜率分别为k1,k

7、2.斜率为12的直线l的方程为y=12x+m(mR),由得x2+mx+m2-3=0,所以=m2-4(m2-3)=-3(m2-4)0,所以m24,解得-2m2.又所以y1+y2=12(x1+x2)+2m=32m,因为k1+k2=y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=0,所以(y1-y0)(x2-x0)+(y2-y0)(x1-x0)=0,y1x2+y2x1+2x0y0-x0(y1+y2)-y0(x1+x2)=0,所以(12x1+m)x2+(12x2+m)x1+2x0y0-x03m2-y0(-m)=0.所以x1x2+m(x1+x2)+2x0y0+my0-3m2x0=0,所以m(y0-32x0)+2x0y0-3=0对于-2m2恒成立,所以y0-32x0=0,2x0y0-3=0,解得或所以存在定点P,坐标为(1,32)或(-1,-32),使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0.