2020版数学新优化浙江大一轮试题：第八章 立体几何 考点规范练39 .docx

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1、考点规范练39直线、平面垂直的判定与性质考点规范练第51页基础巩固组1.已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m的是()A.,且mB.,且mC.mn,且nD.mn,且答案C解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知C正确.2.若平面,满足,=l,P,Pl,则下列命题中是假命题的为()A.过点P且垂直于平面的直线平行于平面B.过点P且垂直于直线l的直线在平面内C.过点P且垂直于平面的直线在平面内D.过点P且在平面内垂直于l的直线必垂直于平面答案B解析由于过点P垂直于平面的直线必平行于平面内垂直于交线的直线,因此也平行于平面,因此A正确.过点P垂直于

2、直线l的直线有可能垂直于平面,不一定在平面内,因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知,选项C,D正确.3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDED.平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE答案C解析因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BEAC.同理有DEAC,于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE,故选C.4.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把

3、ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:BDAC;BAC是等边三角形;三棱锥D-ABC是正三棱锥;平面ADC平面ABC.其中正确的是()A.B.C.D.答案B解析由题意知,BD平面ADC,且AC平面ADC,故BDAC,正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD平面ACD,所以AB=AC=BC,BAC是等边三角形,正确;易知DA=DB=DC,又由知正确;由知错.5.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.64B.104C.22D.32答案A解析如右图所示,取A1C1中点D,连接AD,B1D,

4、则可知B1D平面ACC1A1,DAB1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角,不妨设正三棱柱的棱长为2,在RtAB1D中,sinDAB1=B1DAB1=322=64,故选A.6.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,AB=BC,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=时,CF平面B1DF.答案a或2a解析由题意易知,B1D平面ACC1A1,所以B1DCF,所以要使CF平面B1DF,只需CFDF即可.当CFDF时,设AF=x,则A1F=3a-x.由RtCAFRtFA1D,得ACA1F=AFA1D,即2a3a-x=xa,整理得x2-3a

5、x+2a2=0,解得x=a或x=2a.7.设,是空间两个不同的平面,m,n是平面及外的两条不同直线.从“mn;n;m”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:(用序号表示).答案(或)解析逐一判断.若成立,则m与的位置关系不确定,故错误;同理也错误;与均正确.8.(2018浙江嘉兴)如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,AC=BC=4,PA=42,则二面角A-PB-C的平面角的正弦值为.答案63解析如图,连接CO,AC=BC=4,PA=42,AB=42.ABOC.过点O在平面PAB上作OMPB于点M,连接CM,由三垂线定理可

6、知CMPB,OMC是二面角A-PB-C的平面角.CO=22,CM=23,在RtOMC中sinOMC=2223=63.能力提升组9.设a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列四个命题错误的是()A.若ab,a,b,则bB.若ab,a,b,则C.若a,则a或aD.若a,则a答案D解析若ab,a,b,则由直线与平面平行的判定定理得b,故A正确;若ab,a,b,则由平面与平面垂直的判定定理得,故B正确;若a,则由线面垂直、面面垂直的性质得a或a,故C正确;若a,则a与相交、平行或a,故D错误.故选D.10.已知a,b是两条互相垂直的异面直线,下列说法中不正确的是()A.存在平面,使得a且bB.

7、存在平面,使得b且aC.若点A,B分别在直线a,b上,且满足ABb,则一定有ABaD.过空间某点不一定存在与直线a,b都平行的平面答案C解析对于A,设a,b的公垂线为AB,其中Aa,Bb.过B作a的平行线a,设直线a与a确定的平面为平面,则AB,a,a,bAB,ba,b.故A正确;对于B,过b上一点C作aa,设b与a所确定的平面为,则a,故B正确;对于C,设a,b的公垂线为CB,且Ca,Bb.在a上取异于C的点A,则b平面ABC,ABb,但显然AB与a不垂直,故C错误;对于D,当空间一点在直线a或直线b上时,显然不存在与直线a,b都平行的平面,故D正确.故选C.11.如图,=l,A,B,A,B

8、到l的距离分别是a和b.AB与,所成的角分别是和,AB在,内的射影线段长度分别是m和n.若ab,则()A.,mnB.,mnC.,mnD.n答案D解析由题意可得AB2=a2+n2=b2+m2,ab,tan=an,tan=bm,即有mn,.故选D.12.(2017浙江高考)如图,已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,R分别为AB,BC,CA上的点,AP=PB,BQQC=CRRA=2,分别记二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角为,则()A.B.C.D.d3d2,所以hd1hd3hd2,所以,故选B.13.如图,在直二面角A-BD-C中,ABD,CBD均是以BD为

9、斜边的等腰直角三角形,取AD中点E,将ABE沿BE翻折到A1BE,在ABE的翻折过程中,下列不可能成立的是()A.BC与平面A1BE内某直线平行B.CD平面A1BEC.BC与平面A1BE内某直线垂直D.BCA1B答案D解析连接CE,当平面A1BE与平面BCE重合时,BC平面A1BE,平面A1BE内必存在与BC平行和垂直的直线,故A,C可能成立;在平面BCD内过B作CD的平行线BF,使得BF=CD,连接EF,则当平面A1BE与平面BEF重合时,BF平面A1BE,故平面A1BE内存在与BF平行的直线,即平面A1BE内存在与CD平行的直线,CD平面A1BE,故C可能成立.若BCA1B,又A1BA1E

10、,则A1B为直线A1E和BC的公垂线,A1BCE,设A1B=1,则经计算可得CE=32,与A1BCE矛盾,故D不可能成立.故选D.14.(2018浙江嘉兴)如图,在三棱柱ABC-ABC中,底面ABC是正三角形,AA底面ABC,且AB=1,AA=2,则直线BC与平面ABBA所成角的正弦值为.答案1510解析如图所示,取AB的中点D,连接CD,BD.底面ABC是正三角形,CDAB.AA底面ABC,AACD.又AAAB=A,CD侧面ABBA.CBD是直线BC与平面ABBA所成角.等边ABC的边长为1,CD=32.在RtBBC中,BC=BB2+BC2=5,直线BC与平面ABBA所成角的正弦值=CDBC

11、=1510.15.如图,在直角梯形ABCD中,BCDC,AEDC,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是(填序号).不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN平面DEC;不论D折至何位置,都有MNAE;不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MNAB;在折起的过程中,一定存在某个位置,使ECAD.答案解析分别取CE,DE的中点Q,P,连接MP,PQ,NQ,可证MNQP是矩形,所以正确;因为MNPQ,ABCE,若MNAB,则PQCE,又PQ与CE相交,所以错误;当平面ADE平面ABCE时,有ECAD,正确.故填.16.已知ABC中,C=90,tan A=

12、2,M为AB的中点,现将ACM沿CM折成三棱锥P-CBM,当二面角P-CM-B大小为60时,ABPB=.答案3解析如图,取BC中点E,连接AE,设AECM=O,再设AC=2,由C=90,tan A=2,可得BC=22,在RtMEC中,可得tanCME=2,在RtECA中,求得tanEAC=22,cotAEM=22,则CME+AEM=90,有AECM.POCM,EOCM,POE为二面角P-CM-B的平面角,为60,AE=22+(2)2=6,OE=1sinCME=63,PO=263.在POE中,由余弦定理可得PE=2632+632-22636312=2.PE2+CE2=PC2,即PEBC.则PB=

13、PC=2.在RtACB中,求得AB=23,ABPB=3.17.如图,三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2,A1B=6,A1BAC.(1)求证:A1C1B1C;(2)求直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值.(1)证明取AC中点O,连接A1O,BO,三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2,BOAC,A1BAC,A1BBO=B,A1B平面A1BO,BO平面A1BO,AC平面A1BO,连接AB1,交A1B于点M,连接OM,则B1COM,又OM平面A1BO,ACOM,A1C1AC,A1C1B1C.(2)解A1BAB1,A1BAC,A1B平面AB1C,平面AB1C平面ABB1A1,平面AB1

14、C平面ABB1A1=AB1,AC在平面ABB1A1的射影为AB1,B1AC为直线AC和平面ABB1A1所成的角,AB1=2AM=2AB2-BM2=10,在RtACB1中,cosB1AC=ACAB1=210=105,直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值为105.18.(2018浙江台州)如图,在三棱锥D-ABC中,CA=CB=2,DA=DB=3,AB=2.(1)求证:ABCD;(2)若顶点D在底面ABC上的射影落在ABC的内部,当直线AD与底面ABC所成角的正弦值为216时,求二面角C-AD-B的平面角的余弦值.(1)证明如图,取AB的中点E,连接CE,DE,CA=CB,DA=DB,CEAB

15、,DEAB,又DECE=E,AB平面DEC.DC平面DEC,ABCD.(2)解如图,作DOCE于点O,由(1)易得平面DEC平面ABC,且交于CE,DO平面ABC.DAO为直线AD与平面ABC所成的角,sinDAO=DOAD=DO3.DO3=216,DO=72,OE=12.O为CE的中点.法一:DC=DE=2.过点C作CMDE于点M,取AD的中点G,连接CG,GM,同上可得CM平面ABD,CMAD.CGAD,CGM为二面角C-AD-B的平面角,CG=2-34=52,在CDE中,CM=CEDODE=1722=144.在RtCMG中,MG2=CG2-CM2=38,MG=38,cosCGM=GMCG

16、=3852=3010.故二面角C-AD-B的平面角的余弦值为3010.法二:取BC的中点F,则OC,OF,OD两两垂直,如图建立空间直角坐标系O-xyz,则C12,0,0,D0,0,72,B-12,1,0,A-12,-1,0,AB=(0,2,0),AD=12,1,72,AC=(1,1,0),设平面ABD和平面ACD的一个法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则2y1=0,12x1+y1+72z1=0,可取n1=(7,0,-1),x2+y2=0,12x2+y2+72z2=0,可取n2=(7,-7,1),设二面角C-AD-B的平面角为,由图知为锐角,则cos =|cos|=|n1n2|n1|n2|=6815=3010,故二面角C-AD-B的平面角的余弦值为3010.