2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：4.2.2-3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用 .doc

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1、4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用知识导图学法指导1.重点掌握用几何法(利用两圆的圆心距与两圆半径长的关系)判断圆与圆的位置关系2解决实际问题时，把握建系的技巧3处理圆与圆相切的问题时，注意内切与外切均属于相切，在不能确定的情况下应分类讨论4体会求两圆的公共弦的方法及步骤高考导航1.考查圆与圆的位置关系或由圆与圆的位置关系求参数是高考的热点，题型以选择题和填空题为主，难度中等偏下，分值为5分2两圆的公共弦问题是高考的常考知识点，各种题型均有出现，难度中等，分值为46分.知识点一圆与圆的位置关系圆C1：(xa)2(yb)2r与圆C2：(xc)2(yd)2r的位置关系的判定方

2、法有几何法和代数法两种，如下表：位置关系几何法代数法图示外离|C1C2|r1r20外切|C1C2|r1r20相交|r1r2|C1C2|0内切|C1C2|r1r2|0内含|C1C2|r1r2|0时，两圆有两个公共点，相交；(2)0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；(3)0时，两圆无公共点，包括内含与外离知识点二用坐标法解决几何问题用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论这就是用坐标法解决平面几何问题的三个步骤：2利用几何法判断两圆的位置关系，直观，容易理

3、解，但不能求出交点坐标；利用代数法判断两圆的位置关系，并不能准确地判断位置关系(如：0仅能说明两圆只有一个公共点，但确定不了是内切还是外切；0仅能说明两圆没有公共点，到底是相离还是内含)，必须辅以图形小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(4)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.

4、()答案：(1)(2)(3)(4)2圆C1：(x1)2(y2)24与圆C2：(x2)2(y2)29的位置关系是()A相离B外切C相交 D内切解析：圆心距d5，两圆半径的和r1r2235，则dr1r2，即两圆外切答案：B3圆C1：x2y21与圆C2：x2(y3)21的公切线有()A1条 B2条C3条 D4条解析：两圆的圆心距为3，半径长之和为2，故两圆外离，公切线有4条答案：D42019上海检测已知以C(4,3)为圆心的圆与圆x2y21外切，则圆C的方程为_解析：设圆C的半径长为r，则(x4)2(y3)2r2.由题意得两圆圆心距d5，因为两圆外切，所以圆心距为两圆半径长之和，即5r1，解得r4.

5、故圆C的方程为(x4)2(y3)216.答案：(x4)2(y3)216类型一两圆位置关系的判定例1已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230，问：m为何值时，(1)圆C1和圆C2外切？(2)圆C1与圆C2内含？【解析】把圆C1，圆C2的方程化为标准方程，得圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24.(1)如果圆C1与圆C2外切，则32，即m23m100，解得m5或m2.(2)如果圆C1与圆C2内含，则32，即m23m20，解得2m4，即drArB，故两圆外离方法三将两圆的方程联立，得方程组即消去x2，y2，得6x8y50，将其代入圆A(或圆B

6、)的方程中消去y，得100x2100x1690，所以100241001690，所以方程无实数解，即两圆相离因为两圆半径长相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离答案：B思路一求圆C1圆C2的半径r1，r2求|C1C2|比较|C1C2|与|r1r2|，r1r2的大小得出结论思路二联立圆C1与圆C2的方程整理成关于x(或y)的一元二次方程判断判别式的符号得出结论类型二两圆的公共弦的问题例2已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度【解析】(1)将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x1)2(y5)250，C2

7、：(x1)2(y1)210.则圆C1的圆心为(1，5)，半径r15；圆C2的圆心为(1，1)，半径r2.又|C1C2|2，r1r25.r1r25，r1r2|C1C2|145，即两圆外离，因此它们有4条公切线(2)由题意知，圆x2y24与圆x2y22ay60的公共弦所在的直线为2ay20，而圆心(0,0)到2ay20的距离为d，所以22()22，解得a1.答案：(1)D(2)B类型三圆与圆相切的问题例3已知两圆C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12ym0.求：(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么【解析】两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211

8、，(x5)2(y6)261m.圆心分别为C1(1,3)，C2(5,6)半径分别为和.(1)当两圆外切时，.解得m2510.(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故有5.解得m2510.因为kc1c2，所以两圆公切线的斜率是，设切线方程为yxb，则有.解得b.容易验证，当b，直线与另一圆相交，故舍去故所求公切线方程为yx.即4x3y5130.(1)利用|C1C2|Rr，求m.(2)利用|C1C2|Rr，求m，再求公切线方程方法归纳求公切线的五个步骤(1)判断公切线的条数(2)设出公切线的方程(3)利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值(4)验证特殊情况下的直线是否为公切线(

9、5)归纳总结注意：对于求公切线问题，不要漏解，应先根据两圆的位置关系来判断公切线的条数跟踪训练3求圆O：x2y236与圆M：x2y210y160的公切线方程解析：如图所示，易知两圆相交，公切线有两条由圆M的方程易得M(0,5)，r3.设两圆的公切线与圆O相切于点B(x0，y0)，则公切线方程为x0xy0y36.点M到公切线的距离等于33.xy36，又点M在公切线的下方，(5y036)18，即y0.从而x0.公切线方程为xy360或xy360，即4x3y300或4x3y300.在求两圆的公切线时，首先，要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解；其次，应注意公切线的几何性质，应用最佳

10、方法基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1两圆(x3)2(y2)21和(x3)2(y6)2144的位置关系是()A相切B内含C相交 D相离解析：因为两圆的圆心距d1012111，所以两圆内含答案：B2圆x2y24x6y0和圆x2y26x0交于A，B两点，则直线AB的方程是()Axy30 B3xy90Cx3y0 D4x3y70解析：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x3y0.答案：C3两圆(x2)2(y1)24与(x1)2(y2)29的公切线有()A1条 B2条C3条 D4条解析：两圆的圆心距为.两个圆的半径长之和为5，半径长之差为1.14r1r2，所以两圆相离，所

11、以A，B两点之间的最短距离为24，故选C.答案：C5过直线2xy40和圆x2y22x4y10的交点，且取得最小面积的圆的方程是()Ax2y2xy0Bx2y2xy0Cx2y2xy0Dx2y2xy0解析：利用圆系方程来求答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6已知两圆x2y21和(x2)2(ya)225没有公共点，则实数a的取值范围为_解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(2，a)，半径分别为1,5，圆心距d.两圆没有公共点，51，解得2a2或a4.答案：(，4)(2，2)(4，)7两圆相交于两点(1,3)，(m，1)，两圆圆心都在直线xyC0上，则mC的值为_解析：由两圆的公共弦的垂

12、直平分线为两圆心的连线，可得1，所以m5.又两公共点(1,3)和(5，1)的中点(3,1)在直线xyC0上，所以C2.所以mC3.答案：382019海南校级月考过两圆x2y22y40与x2y24x2y0的交点，且圆心在直线l：2x4y10上的圆的方程为_解析：设所求圆的方程为x2y24x2y(x2y22y4)0，则(1)x24x(1)y2(22)y40，把圆心坐标代入直线l的方程：2x4y10，可得，故所求圆的方程为x2y23xy10.答案：x2y23xy10三、解答题(每小题10分，共20分)9已知两圆C1：x2y24x4y20，C2：x2y22x8y80，判断圆C1与圆C2的位置关系解析：

13、方法一把圆C1的方程化为标准方程，得(x2)2(y2)210.圆C1的圆心坐标为(2，2)，半径长r1.把圆C2的方程化为标准方程，得(x1)2(y4)225.圆C2的圆心坐标为(1,4)，半径长r25.圆C1与圆C2的圆心距d3，又圆C1与圆C2的两半径长之和是r1r25，两半径长之差是r2r15，而535，即r2r1d0，所以方程有两个不相等的实数根y1，y2，把y1，y2分别代入方程，得到x1，x2.所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点(x1，y1)，(x2，y2)，即圆C1与圆C2的位置关系是相交10求以圆C1：x2y212x2y130与圆C2：x2y212x16y250的公共弦为直径

14、的圆C的方程解析：联立两圆的方程，得相减并化简，得公共弦所在直线的方程为4x3y20.方法一由解得或即两圆的交点坐标分别为(1,2)，(5，6)所求圆以公共弦为直径，圆心C是公共弦的中点(2，2)，半径长为5.圆C的方程为(x2)2(y2)225.方法二设所求圆C的方程为x2y212x2y13(x2y212x16y25)0(1)，可求得圆心C.圆心C在公共弦所在直线上，4320，解得.圆C的方程为x2y24x4y170.能力提升(20分钟，40分)11一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过()A2.4米 B3米C3.6米 D2.0米解析：

15、以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示坐标系由半圆的半径为可知，半圆所在的圆的方程为x2y210(y0)，由图可知当车恰好在隧道中间行走时车篷可达到最高此时x1或x1，代入x2y210，得y3(负值舍去)，故选B.答案：B12若圆x2y22axa22和x2y22byb21外离，则a，b满足的条件是_解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1，因为两圆相离，所以1，即a2b232.答案：a2b23213求过两圆x2y26x40和x2y26y280的交点，且圆心在直线xy40上的圆的方程解析：由题意，设所求圆的方程为x2y26x4(x2y

16、26y28)0，即(1)x2(1)y26x6y4280，圆心为.由题意，得40，7.所求圆的方程是x2y2x7y320.14已知圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心为O2(2,1)(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|2，求圆O2的方程解析：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，两圆相切，|O1O2|r1r2，r2|O1O2|r122(1)，圆O2的方程是(x2)2(y1)24(1)2.(2)由题意，设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r，圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x4yr80.圆心O1(0，1)到直线AB的距离为，解得r4或20.圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.