2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第二章　空间向量与立体几何 测评 .docx

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1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在以下命题中,不正确的有()|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;若ab,则存在唯一的实数,使a=b;若向量a,b,c构成空间的一个基底,则a+b,b+c,c+a构成空间的另一个基底;|(ab)c|=|a|b|c|.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:只有正确,故选C.答案:C2.如图,已知四面体ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AC的中点,则12(AB+BC+CD)=()A.BFB.EHC.HGD.FG解析:12

2、(AB+BC+CD)=12(AC+CD)=12AD,又HG=12AD,12(AB+BC+CD)=HG.答案:C3.已知A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令a=CA,b=CB,则a+b=()A.(5,-9,2)B.(-5,9,-2)C.(5,9,-2)D.(5,-9,-2)解析:A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),a=CA=(-1,0,-2),b=CB=(-4,9,0),a+b=(-5,9,-2).答案:B4.已知O-ABC是四面体,G1是ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若OG=xOA+y

3、OB+zOC,则(x,y,z)为()A.14,14,14B.34,34,34C.13,13,13D.23,23,23解析:如图,连接AG1并延长交BC于点E,则E为BC的中点,AE=12(AB+AC)=12(OB-2OA+OC),AG1=23AE=13(OB-2OA+OC).OG=3GG1=3(OG1-OG),OG=34OG1=34(OA+AG1)=34OA+13OB-23OA+13OC=14OA+14OB+14OC,故选A.答案:A5.设xy0z,空间向量m=x,1x,3z,n=x,1y+1x-y,3z,且x2+9z2=4y(x-y),则mn的最小值是()A.2B.4C.25D.5解析:空间

4、向量m=x,1x,3z,n=x,1y+1x-y,3z,mn=x2+1x1y+1x-y+9z2=4y(x-y)+1y(x-y)24y(x-y)1y(x-y)=4.当且仅当4y(x-y)=1y(x-y)时取等号.则mn的最小值是4.答案:B6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF与A1D,AC都垂直C.EF与BD1相交D.EF与BD1异面解析:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为3,则A(3,0,

5、0),C(0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),A1D=(-3,0,-3),AC=(-3,3,0),EF=(1,1,-1),A1DEF=0,ACEF=0,A1DEF,ACEF,A1DEF,ACEF.又BD1=(-3,-3,3),BD1=-3EF,即BD1与EF平行.故选B.答案:B7.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H满足BHOA,则点H的坐标为()A.(-2,2,0)B.(2,-2,0)C.-12,12,0D.12,-12,0解析:由OA=(-1,1,

6、0),且点H在直线OA上,可设H(-,0),则BH=(-,-1,-1).又BHOA,BHOA=0,即(-,-1,-1)(-1,1,0)=0,即+-1=0,解得=12,H-12,12,0,故选C.答案:C8.如图,正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是()A.30B.45C.60D.90解析: 如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P0,-2,a2,则CA=(2a,0,0),AP=-a,-a2,a2,CB=(a,a,0

7、),设平面PAC的一个法向量为n,可取n=(0,1,1),则cos=CBn|CB|n|=a2a22=12,所以=60,所以直线BC与平面PAC的夹角为90-60=30.答案:A9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1的中点,则点E到平面ABC1D1的距离是()A.32B.22C.12D.33解析: 建立如图所示的坐标系,正方体的棱长为1,A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E1,12,1.设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z).nAB=0,且nBC1=0,即(x,y,z)(0,1,0)

8、=0,且(x,y,z)(-1,0,1)=0.y=0,且-x+z=0,令x=1,则z=1,n=(1,0,1).n0=22,0,22.又EC1=-1,12,0,点E到平面ABC1D1的距离为|EC1n0|=-1,12,022,0,22=22.答案:B10.如图,在四面体P-ABC中,PC平面ABC,AB=BC=CA=PC,则平面ABP与平面APC的夹角的余弦值为()A.22B.33C.77D.57解析: 取AC的中点D,连接BD,过D作DEPC,以DB,DC,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由图知平面APC的法向量为DB.设AB=1,则D(0,0,0),B32,0,0,

9、A0,-12,0,C0,12,0,P0,12,1,DB=32,0,0,PA=(0,-1,-1),PB=32,-12,-1.设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则nPA=0,nPB=0,即z=-y,x=-33y,令y=3,n=(-3,3,-3).cos=-323221=-77,即平面ABP与平面APC的夹角的余弦值为77.答案:C11.设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成,若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为()A.23B.3C.6D.0解析:设a与b的

10、夹角为.x1y1+x2y2+x3y3+x4y4有以下三种可能:2aa+2bb=2|a|2+2|b|2=10|a|2;4ab=4|a|2|a|cos =8|a|2cos ;aa+2ab+bb=|a|2+2|a|b|cos +|b|2=5|a|2+4|a|2cos .由此易知最小,则8|a|2cos =4|a|2,解得cos =12,=3.答案:B12.导学号90074051已知平面与平面的夹角为60,AB,ABl,A为垂足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.14B.24C.34D.12解析:如图,在平面内过C作CEAB,则ECD为异面直线AB与CD所成的角或

11、其补角,不妨取CE=1,过E作EO于O.在平面内过O作OHCD于H,连EH,则EHCD.因为ABCE,ABl,所以CEl.又因为EO平面,所以COl,所以ECO=60.而ACD=135,COl,所以OCH=45.在RtECO中,CO=CEcosECO=1cos 60=12.在RtCOH中,CH=COcosOCH=12sin 45=24.在RtECH中,cosECH=CHCE=241=24.所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为24.故选B.答案:B二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知l,且l的方向向量为(2,m,1),平面的法向量为1,12,2

12、,则m=.解析:l,l的方向向量与平面的法向量垂直,即(2,m,1)1,12,2=0,2+12m+2=0,m=-8.答案:-814.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA=c,则a+b+12c=.解析: 如图,取CC中点E,连接AC,AE.正方体ABCD-ABCD的棱长为1,AB=a,AD=b,AA=c,a+b+12c=AB+BC+CE=AE.a+b+12c=|AE|=AC2+CE2=(12+12)+122=32.答案:3215.如图,PD垂直于正方形ABCD所在的平面,AB=2,E为PB的中点,cosDP,AE=33.以D为原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x

13、轴、y轴、z轴建立直角坐标系,则点E的坐标为.解析:设DP=2a,则P(0,0,2a),B(2,2,0),E(1,1,a),A(2,0,0).DP=(0,0,2a),AE=(-1,1,a),cosDP,AE=DPAE|DP|AE|=2a22a2+a2=33,解得a=1.E(1,1,1).答案:(1,1,1)16.如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,平面ABC与平面ABDE的夹角的余弦值为33,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值为.解析:如图所示,过点C作CO平面ABDE,垂足为O,取AB的中点F,连接CF,OF,OA,OB,则CFO为二面角C-AB-D的

14、平面角,cosCFO=33.设AB=1,则CF=32,OF=12,OC=22,O为正方形ABDE的中心.如图建立空间直角坐标系,则E0,-22,0,A22,0,0,M24,0,24,N0,24,24,EM=24,24,24,AN=-22,24,24,cos=EMAN|EM|AN|=16.答案:16三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分10分)已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).(1)求ABC的面积;(2)求ABC中AB边上的高.解(1)由已知,得AB=(1,-3,2),AC=(2,0,-8),|AB|=1

15、+9+4=14,|AC|=4+0+64=217,ABAC=12+(-3)0+2(-8)=-14,cos=ABAC|AB|AC|=-14217,sin=1-1468=2734.SABC=12|AB|AC|sin=12142172734=321.(2)设AB边上的高为CD,则|CD|=2SABC|AB|=36,即ABC中AB边上的高为36.18.(满分12分)如图,在长方体ABCD-ABCD中,AB=2,AD=1,AA=1.证明直线BC平行于平面DAC,并求直线BC到平面DAC的距离.解如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为A(1,0,1),B(1,2,1),C(0,2,1),C(0,2,0

16、),D(0,0,0).设平面DAC的法向量n=(u,v,w),则nDA,nDC.因为DA=(1,0,1),DC=(0,2,1),nDA=0,nDC=0,所以u+w=0,2v+w=0,解得u=2v,w=-2v.取v=1,得平面DAC的一个法向量n=(2,1,-2).因为BC=(-1,0,-1),所以nBC=0,所以nBC.又BC不在平面DAC内,所以直线BC与平面DAC平行.由CB=(1,0,0),得点B到平面DAC的距离d=|nCB|n|=|21+10+(-2)0|22+12+(-2)2=23,所以直线BC到平面DAC的距离为23.19.(满分12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PB底面ABC

17、,BCA=90,PB=BC=CA=2,E为PC的中点,点F在PA上,且2PF=FA.(1)求证:BE平面PAC;(2)求直线AB与平面BEF所成角的正弦值.解(1)PB底面ABC,且AC底面ABC,ACPB.由BCA=90,可得ACCB.又PBCB=B,AC平面PBC.BE平面PBC,ACBE.PB=BC,E为PC的中点,BEPC.PCAC=C,BE平面PAC.(2)以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(2,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1),BF=BP+PF=BP+13PA=23,23,43.

18、设平面BEF的法向量为m=(x,y,z),由mBF=0,mBE=0,得23x+23y+43z=0,x+z=0.取x=1,则y=1,z=-1,m=(1,1,-1)为平面BEF的一个法向量.又AB=(-2,-2,0),cos=ABm|AB|m|=-63,直线AB与平面BEF所成角的正弦值为63.20.(满分12分)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,ABC=4,OA底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.(1)求证:直线MN平面OCD;(2)求异面直线AB与MD夹角的大小;(3)求点B到平面OCD的距离.解 作APCD于点P.如图,分别以AB,AP,AO所在

19、直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.A(0,0,0),B(1,0,0),P0,22,0,D-22,22,0,O(0,0,2),M(0,0,1),N1-24,24,0.(1)证明:MN=1-24,24,-1,OP=0,22,-2,OD=-22,22,-2.设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),则nOP=0,nOD=0,即22y-2z=0,-22x+22y-2z=0.取z=2,解得n=(0,4,2).MNn=1-24,24,-1(0,4,2)=0,又MN平面OCD,MN平面OCD.(2)设AB与MD的夹角为,AB=(1,0,0),MD=-22,22,-1,cos =|ABMD|AB|MD

20、|=12.=3,即AB与MD的夹角的大小为3.(3)点B到平面OCD的距离为d=|OBn|n|=23,点B到平面OCD的距离为23.21.(满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2,点P是棱BB1上一点,满足BP=BB1(01).(1)若=13,求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值;(2)若平面PA1C与平面A1BC的夹角的正弦值为23,求的值.解以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz.因为AB=AC=1,AA1=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A

21、1(0,0,2),B1(1,0,2),P(1,0,2).(1)由=13得,CP=1,-1,23,A1B=(1,0,-2),A1C=(0,1,-2).设平面A1BC的法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1A1B=0,n1A1C=0,得x1-2z1=0,y1-2z1=0.不妨取z1=1,则x1=y1=2,从而平面A1BC的一个法向量为n1=(2,2,1).设直线PC与平面A1BC所成的角为,则sin =|cos|=CPn1|CP|n1|=2233,所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为2233.(2)设平面PA1C的法向量为n2=(x2,y2,z2),A1P=(1,0,2-2),由n2A

22、1C=0,n2A1P=0,得y2-2z2=0,x2+(2-2)z2=0.不妨取z2=1,则x2=2-2,y2=2,所以平面PA1C的法向量为n2=(2-2,2,1).则cos=9-4342-8+9.又因为二面角P-A1C-B的正弦值为23,所以9-4342-8+9=53,化简得2+8-9=0,解得=1或=-9(舍去),故的值为1.22.导学号90074052(满分12分)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CF平面ABC,ABBC,CF=DE,BAC=45,求平面FGH与平面ACFD夹角的大小.(1)证法一连接DG,C

23、D,设CDGF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OHBD,又OH平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形.可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)解法一设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的

24、中点,由DF=12AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DGFC.又FC平面ABC,所以DG平面ABC.在ABC中,由ABBC,BAC=45,G是AC中点,所以AB=BC,GBGC,因此GB,GC,GD两两垂直.以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1).可得H22,22,0,F(0,2,1),故GH=22,22,0,GF=(0,2,1).设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,则由nGH=0,nGF=0,可得x+y=0,2y+z=0.可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,2).因为GB是平面ACFD的一个法向量,GB=(2,0,0),所以cos=GBn|GB|n|=222=12.所以平面FGH与平面ACFD夹角的大小为60.解法二作HMAC于点M,作MNGF于点N,连接NH.由FC平面ABC,得HMFC,又FCAC=C,所以HM平面ACFD.因此GFNH,所以MNH即为所求的角.在BGC中,MHBG,MH=12BG=22,由GNMGCF,可得MNFC=GMGF,从而MN=66.由HM平面ACFD,MN平面ACFD,得HMMN,因此tanMNH=HMMN=3,所以MNH=60.所以平面FGH与平面ACFD夹角的大小为60.