天津专用2020届高考数学一轮复习考点规范练14导数与函数的单调性极值最值.docx

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1、考点规范练14导数与函数的单调性、极值、最值一、基础巩固1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)2.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n=()A.0B.2C.-4D.-23.若函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则下面判断正确的是()A.在区间(-2,1)内,f(x)是增函数B.在区间(1,3)内,f(x)是减函数C.在区间(4,5)内,f(x)是增函数D.当x=2时,f(x)取到极小值4.若f(x)=x2-aln x在区间(1,+)内单调递增,则实数a的取值范围为()A.(

2、-,1)B.(-,1C.(-,2)D.(-,25.若exk+x在R上恒成立,则实数k的取值范围为()A.(-,1B.1,+)C.(-,-1D.-1,+)6.若函数f(x)=x(x-a)2在x=2处有极小值,则a=.7.若函数g(x)=ln x+ax2+bx,且g(x)的图象在点(1,g(1)处的切线与x轴平行.(1)确定a与b的关系;(2)若a0,试讨论函数g(x)的单调性.8.(2018全国,文21)已知函数f(x)=ax2+x-1ex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a1时,f(x)+e0.9.已知函数f(x)=ax2+bx+cex(a0)的导函数y=f

3、(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间-5,+)内的最大值.10.设函数f(x)=3x2+axex(aR).(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若f(x)在区间3,+)内为减函数,求a的取值范围.二、能力提升11.已知定义在R上的奇函数f(x)可导,设其导函数为f(x),当x(-,0)时,恒有xf(x)F(2x-1)的实数x的取值范围是()A.(-2,1)B.-1,12C.12,2D.-1,212.已知函数f(x)=x3-2x+ex-1

4、ex,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是.13.设函数f(x)=x2-1lnx.(1)求证:f(x)在区间(0,1)和(1,+)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)x恒成立,求a的取值范围.14.已知函数f(x)=aln x-ax-3(aR).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45,对于任意的t1,2,函数g(x)=x3+x2f(x)+m2在区间(t,3)内总不是单调函数,求m的取值范围.三、高考预测15.(2018全国,文21)已知函数f(x)=aex-ln

5、x-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a1e时,f(x)0.考点规范练14导数与函数的单调性、极值、最值1.D解析函数f(x)=(x-3)ex的导数为f(x)=(x-3)ex=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f(x)0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f(x)=(x-2)ex0,解得x2.2.B解析因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,所以m,n为f(x)=3x2-6x+1=0的两根.由根与系数的关系可知m+n=-(-6)3=2.3.C解析由题图可知f(x)0在区间(4,5)内

6、恒成立,故f(x)在区间(4,5)内是增函数.4.D解析由f(x)=x2-alnx,得f(x)=2x-ax.因为f(x)在区间(1,+)内单调递增,所以2x-ax0在区间(1,+)内恒成立,即a2x2在区间(1,+)内恒成立.当x(1,+)时,2x22,故a2,选D.5.A解析由exk+x,得kex-x.令f(x)=ex-x,则f(x)=ex-1.当f(x)0时,解得x0时,解得x0.所以f(x)在区间(-,0)内是减函数,在区间(0,+)内是增函数.所以f(x)min=f(0)=1.所以实数k的取值范围为(-,1.故选A.6.2解析由f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,可知f(

7、x)=3x2-4ax+a2.依题意可得f(2)=322-4a2+a2=0,解得a=2或a=6.当a=6时,f(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12).由f(x)=3(x2-8x+12)0,可得x6;由f(x)=3(x2-8x+12)0可得2x0解得0x1,由g(x)1,即函数g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减.当a0时,令g(x)=0,得x=1或x=12a,若12a12,则由g(x)0解得x1或0x12a,由g(x)0解得12ax1,即0a0解得x12a或0x1,由g(x)0解得1x12a,即函数g(x)在(0,1),12a,+内单调递增,在1,12a内单调递减

8、;若12a=1,即a=12,则在(0,+)上恒有g(x)0,即函数g(x)在(0,+)内单调递增.综上可得:当a=0时,函数g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减;当0a12时,函数g(x)在0,12a内单调递增,在12a,1内单调递减,在(1,+)内单调递增.8.(1)解f(x)=-ax2+(2a-1)x+2ex,f(0)=2.因此曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)证明当a1时,f(x)+e(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,则g(x)=2x+1+ex+1.当x-1时,g(x)-1时,g(x)0,g(x)单

9、调递增.所以g(x)g(-1)=0,因此f(x)+e0.9.解(1)因为f(x)=ax2+bx+cex,所以f(x)=-ax2+(2a-b)x+b-cex,设g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c.因为a0,所以由题意知:当-3x0,即f(x)0;当x0时,g(x)0,即f(x)5=f(0),所以函数f(x)在区间-5,+)内的最大值是5e5.10.解(1)对f(x)求导得f(x)=(6x+a)ex-(3x2+ax)ex(ex)2=-3x2+(6-a)x+aex.因为f(x)在x=0处取得极值,所以f(0)=0,即a=0.当a=0时,f(x)=3x2ex,f(x)=-3x2+6xex,故f

10、(1)=3e,f(1)=3e,从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-3e=3e(x-1),化简得3x-ey=0.(2)由(1)知f(x)=-3x2+(6-a)x+aex.令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0解得x1=6-a-a2+366,x2=6-a+a2+366.当xx1时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数;当x1x0,即f(x)0,故f(x)为增函数;当xx2时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数.由f(x)在区间3,+)内为减函数,知x2=6-a+a2+3663,解得a-92,故a的取值范围为-92,+.11.D解析因为F(x)=xf(x

11、),当x(-,0)时,F(x)=f(x)+xf(x)=-f(-x)+xf(x)F(2x-1),得F(3)F(|2x-1|),即|2x-1|3,所以-1x0,x1).令g(x)=2lnx-x2-1x2,则g(x)=2(x+1)(x-1)x3.当0x1时,g(x)g(1)=0.于是f(x)=x(lnx)2g(x)0,故f(x)在区间(0,1)内为增函数.当x1时,g(x)0,g(x)是增函数,g(x)g(1)=0,于是f(x)=x(lnx)2g(x)0,故f(x)在区间(1,+)内为增函数.(2)解af(x)-x=a(x2-1)lnx-x=xlnxa(x2-1)x-lnx.令h(x)=a(x2-1

12、)x-lnx(x0),则h(x)=ax2-x+ax2.令(x)=ax2-x+a,当a0,且=1-4a20,即a12时,此时(x)=ax2-x+a0在区间(0,1),(1,+)内恒成立,所以当a12时h(x)0,故h(x)在区间(0,1),(1,+)内为增函数,若0x1时,h(x)0;若x1时,h(x)h(1)=0,所以af(x)-x=xlnxh(x)0,所以当x0,x1时,都有af(x)x成立,当0a12时,h(x)0,解得1-1-4a22ax1+1-4a22a,所以h(x)在区间1,1+1-4a22a内是减函数,h(x)h(1)=0.故af(x)-x=xlnxh(x)0,不符合题意.当a0时

13、,x(0,1)(1,+),都有h(x)0,故h(x)在区间(0,1),(1,+)内为减函数,同理可知,在区间(0,1),(1,+)内,af(x)-x=xlnxh(x)0时,f(x)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+);当a0时,f(x)的递增区间为(1,+),递减区间为(0,1);当a=0时,f(x)不是单调函数.(2)由(1)及题意得f(2)=-a2=1,即a=-2.f(x)=-2lnx+2x-3,f(x)=2x-2x.g(x)=x3+m2+2x2-2x,g(x)=3x2+(m+4)x-2.g(x)在区间(t,3)内总不是单调函数,g(x)=0在区间(t,3)内有变号零点.g(0)=

14、-2,g(t)0.g(t)0,即3t2+(m+4)t-20对任意t1,2恒成立,g(0)0,只需g(1)0且g(2)0,即m-5,且m-9,即m0,即m-373.-373m-9.即实数m的取值范围是-373,-9.15.(1)解f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aex-1x.由题设知,f(2)=0,所以a=12e2.从而f(x)=12e2ex-lnx-1,f(x)=12e2ex-1x.当0x2时,f(x)2时,f(x)0.所以f(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+)内单调递增.(2)证明当a1e时,f(x)exe-lnx-1.设g(x)=exe-lnx-1,则g(x)=exe-1x.当0x1时,g(x)1时,g(x)0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x0时,g(x)g(1)=0.因此,当a1e时,f(x)0.