2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案:1.4.3 正切函数的性质与图象 .doc
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1、1.4.3正切函数的性质与图象考试标准课标要点学考要求高考要求正切函数性质bb正切函数图象bb知识导图学法指导1.学习本节内容时要重点关注正切函数的定义域,会用“三点两线法”画正切函数的图象2从正切函数的几何画法体验直线x为正切函数图象的两条“渐近线”,进一步体会正切函数的值域为(,).函数ytan x的图象与性质解析式ytan x图象定义域值域R周期奇偶性奇函数单调性在开区间,kZ上都是增函数如何作正切函数的图象(1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象,该方法作图较为精确,但画图时较烦琐(2)“三点两线”法“三点”是指,(0,0),;“两线”是指x和x. 在“三点”确定的情况
2、下,类似于“五点法”作图,可大致画出正切函数在上的简图,然后向右、向左扩展即可得到正切曲线小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”,错误的打“”)(1)函数yAtan(x)的周期公式为T.()(2)正切函数在R上是单调递增函数()(3)正切函数是奇函数,原点是唯一的一个对称中心()答案:(1)(2)(3)2下列说法正确的是()Aytan x是增函数Bytan x在第一象限是增函数Cytan x在某一区间上是减函数Dytan x在区间(kZ)上是增函数解析:由正切函数的图象可知D正确答案:D3函数ytan的定义域是()A. B.C. D.解析:由xk,kZ,得xk,kZ.答案:D4已知函
3、数f(x)tan,则函数f(x)的最小正周期为()A. B.C D2解析:解法一函数ytan(x)的周期T,可得T.解法二由诱导公式可得tantantan,所以ff(x),所以周期为T.答案:B类型一求函数的定义域例1求下列函数的定义域:(1)y;(2)ylg(tan x)【解析】(1)要使函数y有意义,需使所以函数的定义域为x|xR且xk,xk,kZ.(2)要使ylg(tan x)有意义,需使,所以函数的定义域是.求函数的定义域注意函数中分母不等于0,真数大于0,正切函数中的xk,kZ等问题方法归纳求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证
4、正切函数ytan x有意义即xk,kZ.而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图象求解跟踪训练1(1)函数y的定义域为()A.x|x0Bx|xk,kZC.D.(2)求函数ylg(1tan x)的定义域解析:(1)函数y有意义时,需使所以函数的定义域为x|xk,且xk,kZx|x,kZ.(2)由题意得即1tan x1.在内,满足上述不等式的x的取值范围是,).又ytan x的周期为,所以所求函数的定义域是(kZ)(1)分母不等于0(2)偶次根式被开方数大于等于0(3)真数大于0(4)正切函数xk,kZ类型二正切函数的单调性及其应用例2求函数ytan的单调区间【解析】ytantan.由k3xk(
5、kZ),得x(kZ)所以函数ytan的单调递减区间为(,)(kZ)先利用诱导公式将函数转化为ytan,再由k3x0,由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令kxk,kZ,解得x的范围即可若0,可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可跟踪训练2本例(2)函数变为ytan,求该函数的单调区间解析:ytantan,由kxk,kZ,得2kx2k,kZ,所以函数ytan的单调递减区间是(2k,2k),kZ.类型三正切函数图象与性质的综合应用例3设函数f(x)tan.(1)求函
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