2022年解三角形函数知识点 .pdf

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1、学习必备欢迎下载解三角形知识点小结一、知识梳理1. 内角和定理：在ABC中，ABC；sin()ABsin C；cos()ABcosCsinsinABAB，coscosABAB（cosyx在(0,)上单调递减）面积公式 :111sinsinsin222ABCSabCbcAacB设2abcp则()()()Sp papbpc在三角形中大边对大角，反之亦然. 2正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：RCcBbAa2sinsinsin(解三角形的重要工具) 形式二：CRcBRbARasin2sin2sin2(边化正弦 ) 形式三：:sin:sin:sina b cABC（比

2、的性质）形式四：sin,sin,sin222abcABCRRR（正弦化边）3.余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 . 形式一：2222cosabcbcA2222cosbcacaB(遇见二次想余弦) 2222coscababC形式二：222cos2bcaAbc，222cos2acbBac，222cos2abcCab二、方法归纳精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载(1)已知两角A、B 与一边 a,由 A+B+C= 及sinsinsinabcABC，可求

3、出角C，再求 b、c. （2）已知两边及一角，用余弦定理。（3）已知三边，用余弦定理。（4）求角度，用余弦。三、经典例题问题一：利用正弦定理解三角形【例 1】在ABC中，若5b，4B,1sin3A，则a . 【例 2】在 ABC中，已知a=3,b=2,B=45 , 求 A、C和 c.问题二：利用余弦定理解三角形【例3】设ABC的内角CBA、所对的边分别为cba、. 已知1a，2b，41cosC. （）求ABC的周长，（）求CAcos的值 . 【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin22sincos令2222222coscoscos

4、sinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令【例4】 （2010 重庆文数）设ABC的内角A、 B、 C 的对边长分别为a、 b、 c, 且32b+32c-32a=42bc . ( ) 求 sinA 的值； ( )求2sin()sin()441cos2ABCA的值 . 若条件改为：2223sin3sin3sin42sinsinBCABC？2 . 在 ABC中， a、b、c 分别是角A， B ，C的对边，且CBcoscos=-cab2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

5、纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载（1）求角 B的大小；（2）若 b=13，a+c=4，求 ABC的面积 .问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例5】 （ 2011 山东文数）在ABC 中，内角A，B， C 的对边分别为a， b， c已知cosA-2cos C2c-a=cosBb（I ）求sinsinCA的值；（II ）若 cosB=14，5bABC的周长为，求的长 .【注】 “边化正弦，正弦化边”“余弦直接代入”考虑以下式子：1cos2aCcb，(2)coscosacBbC，(2)coscos0acbbC【例 6】 （2009 全国卷理）在ABC中，内角

6、A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求 b【注】 对已知条件 (1)222acb左侧是二次的右侧是一次的, 可以考虑余弦定理；而对已知条件 (2) sincos3cossin,ACAC化角化边都可以。3 在, , ,ABCa b c中分别为内角A、B、C的对边，且2 sin(2)sin(2)sin.aAbcBcbC（）求角A的大小；（）若sinsin3BC，试判断ABC的形状。问题四：三角恒等变形【例 7】 （08 重庆）设ABC的内角 A，B，C的对边分别为a,b,c ，且 A=60，c=3b. 求：（）ac的值； （） cotB +c

7、ot C的值 . 【注】在解三角形的背景下一般见“切割化弦”同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系： sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商数关系：sincostan,cotcossin4. （ 2009江 西 卷 理 ） ABC中 ，,A B C所 对 的 边 分 别 为, ,a b c，sinsintancoscosABCAB,sin()cosBAC.（1）求,A C； （2）若33ABCS, 求,a c.思考： 1 若sin()sin()ABacABc求 B。精选学习资料 - - - -

8、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载2 若2sin 2sin 2sincos21CCCC，求 C 3 若3 tantantantan3ABAB，求 C 问题五：判断三角形形状【例 8】在 ABC中， ，bcosAacosB，试判断ABC三角形的形状 . 【例 9】 在 ABC中，若cosAcosBba，试判断ABC三角形的形状 . 5. 在 ABC中，若 2cosBsinA sinC ，则 ABC的形状一定是 6.在 ABC中，如果（ a2+b2）sin （A-B）=（ a2-b2）sin （A+B ） ，判断三角形的形状. 思考

9、：若coscoscosabcABC，判断三角形的形状. 问题六：与其他知识综合【例10】已知向量(, ),(,),0ac bac ba且mnm n，其中A，B， C 是 ABC的内角， a,b,c分别是角A，B，C的对边 .（1）求角 C的大小；（2）求sinsinAB的取值范围 . 【注】坐标运算：设1122(,),(,)ax ybxy，则：向量的加减法运算：12(abxx，12)yy。实数与向量的积：1111,ax yxy。平面向量数量积：1212abx xy y=cosa b向量平行：1221/ /ababx yx y向量垂直：12120aba bx xy y思考： 1. 若求cosco

10、sAB，22sinsinAB，22coscosAB？2.若已知3c，求三角形周长和面积的取值范围。7.（ 2009 浙江文）（本题满分14 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，且满足2 5cos25A，3AB AC（I ）求ABC的面积；（II ）若1c，求a的值注：若条件改为3ABCA问题 7：三角实际应用【例 11】 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3 km 的 C、D两点，并测得 ACB=75 ， BCD=45 ， ADC=30 ， ADB=45 ，求 A、 B之间的距离 . 【解题思路】找到三角形，利用正弦定理和余弦定理。精选学习资料 - - - -

11、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载【例 12】 （2007 山东） 20（本小题满分12 分）如图 , 甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行, 乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于1A处时, 乙船位于甲船的北偏西105的方向1B处, 此时两船相距20 海里 . 当甲船航行 20 分钟到达2A处时 , 乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处, 此时两船相距10 2海里 , 问乙船每小时航行多少海里? 课后自我检测A 组1ABC中，a5，b3，sinB22，则符合条 件的三角形有 ( ) A1 个 B2 个 C3 个 D

12、 0 个2. 在ABC中， a=15,b=10,A=60 ， 则cosB= ( ) A 2 23 B 223 C 63 D 633某人朝正东方向走x千米后，向右转o150并走 3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x的值为（）A3B 32C3或32D3 4. （ 2008 福建 ) 在ABC中，角 A、B、C的对边分别为a、b、c, 若(a2+c2-b2)tanB=3ac, 则角B的值为（）A.6 B.3 C.6或56 D.3或235. 已知ABC中，12cot5A，则cosA。6. 在ABC中。若1b，3c，23c，则 a= 。7. 已知a,b,c分别是ABC 的三个内角A,B,C 所对的边

13、，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 8已知ABC的周长为21，且sinsin2 sinABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载A B C D （I ）求边AB的长；（II ）若ABC的面积为1sin6C，求角C的度数9在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足sin3 cosbAaB（I ）求角B的值； （II ）若2 5cos25A， 求sinC的值10. 在ABC 中，cba,分别为内角CBA,的对边，且1sinsin4)cos(2CBCB（）求A ； （）若3a

14、，312sinB，求 bB 组1.若 ABC的 三 个 内 角 满 足s i n: s i n: s i nABC， 则 ABC（） A 一定是锐角三角形. B一定是直角三角形. C. 一定是钝角三角形. D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 2已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc162，则三角形的面积为（）A22 B82 C.2 D.223要测量底部不能到达的电视塔AB的高度 , 在C点测得塔顶A的仰角是45, 在D点测得塔顶A的仰角是30, 并测得水平面上的BCD=120,CD=40m,则电视塔的高度为（）A102m B 20m C 203m D40m4.

15、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c. 若(a2c2b2)tanB3ac，则角B的值为( ) A.6B.3 C.6或56D.3或235. （ 2010 天津理）（7）在 ABC中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223abbc，sin2 3sinCB，则A= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载（）A.030 B.060 C.0120 D.01506.(2008湖北 ) 在ABC中，三个角,A B C的对边边长分别为3,4,6abc, 则coscoscosbcAcaBabC的值为

16、. 7. 在ABC中，角,A B C的对边分别为, , ,3a b c B，4cos,35Ab。（）求sinC的值；（）求ABC的面积 . 8. 在ABC中，ACACBCsin2sin,3,5（）求 AB的值。 （）求)42sin(A的值。9.在 ABC中，已知B=45,D 是 BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6 ，求 AB的长 . 10. 设ABC的 内 角CBA,所 对 的 边 分 别 为,cba且bcCa21cos. （1）求角A的大小；（2）若1a，求ABC的周长l的取值范围 . C 组1如果等腰三角形的周长是底边长的5 倍 ，那么它的顶角的余弦值为 ( ) A.518B

17、.34 C.32D.782在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c. 若C120，c2a，则 ( ) AabBabCabDa与b的大小关系不能确定3( 2010新课标全国卷) 在ABC中，D为边BC上一点，BD12CD，ADB120，AD2. 若ADC的面积为33，则BAC_. 4.（天津市河东区20XX年高三一模） 17. 如图所示，在 ABC ， 已知4 63AB,6cos6B，AC边上的中线5BD, 求： （1）BC的长度；（2）sin A的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载5设A

18、BC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且atanB203，bsinA4. (1)求 cosB和a；(2) 若ABC的面积S10，求 cos4C的值6已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2b=a+c，且 2cos2B8cosB50，求角B的大小，并判断ABC的形状7. 在ABC中，a b c、分别为角A B C、的对边，且满足222bcabc. （）求角A的值；（）若3a，设角B的大小为,xABC的周长为y，求( )yf x的最大值 . 8. 已知函数xxxf2sin262sin2)(，Rx(1) 求函数)(xf的最小正周期；（2）记ABC的内角 A,B,C 的对边长

19、分别为cba,，若3,1, 1)2(cbBf，求a的值。9. 已知ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c， 设向量),3(babcm，),33(cban，nm/(1) 求Acos的值； (2)求)302sin(A的值10. ( 山 东 省 青 岛 市20XX年3月 高 考 第 一 次 模 拟 文 科 )已 知 向 量1(sin ,1),( 3cos ,)2axbx, 函数( )()2f xaba.( ) 求函数( )fx的最小正周期T; ( ) 已知a、b、c分别为ABC内角A、B、C的对边 , 其中A为锐角 ,2 3,4ac,且( )1fA, 求,A b和ABC的面积S. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页