江苏省邳州市第二中学高二数学解三角形1.doc

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1、三【要点精讲】1直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa。1三边之间的关系：a2b2c2。勾股定理2锐角之间的关系：AB90；3边角之间的关系：锐角三角函数定义sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。1三角形内角和：ABC。2正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。R为外接圆半径3余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2

2、b22abcosC。3三角形的面积公式：1ahabhbchcha、hb、hc分别表示a、b、c上的高；2absinCbcsinAacsinB；3；42R2sinAsinBsinC。R为外接圆半径5；6；7rs。4解三角形：由三角形的六个元素即三条边和三个内角中的三个元素其中至少有一个是边求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：假设给出的三角形是直角三角形，那么称为解直角三角形；假设给出的三角形是斜三角形，那么称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设ABC的三边为a、b、c

3、，对应的三个角为A、B、C。1角与角关系：A+B+C = ；2边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；3边与角关系：正弦定理 R为外接圆半径；余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它们的变形形式有：a = 2R sinA，。5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。1角的变换因为在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；2三角形边、角关系定理及面

4、积公式，正弦定理，余弦定理。r为三角形内切圆半径，p为周长之半。3在ABC中，熟记并会证明：A，B，C成等差数列的充分必要条件是B=60；ABC是正三角形的充分必要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列。四【典例解析】题型1：正、余弦定理岳阳一中第四次月考.中，那么 A. B C D 或答案 C例11在中，cm，解三角形；2在中，cm，cm，解三角形角度精确到，边长精确到1cm。解析：1根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，2根据正弦定理，因为，所以，或当时， ，当时， ，点评：应用正弦定理时1应注意两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；2对于解三角形中的

5、复杂运算可使用计算器例21在ABC中，求b及A；2在ABC中，解三角形解析：1=cos=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。题型2：三角形面积例3在中，求的值和的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由计算它的对偶关系式的值。 , +得。 得。从而。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等根本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的根底试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？例4湖南卷文在锐角中，那么的值等于 ，的取值范围为 答案 2解析 设由正弦定理得由锐角得，又，故，例5浙

6、江理此题总分值14分在中，角所对的边分别为，且满足，I求的面积； II假设，求的值解 1因为，又由得，2对于，又，或，由余弦定理得，例6全国卷理在中，内角A、B、C的对边长分别为、，且 求b分析：:此题事实上比较简单,但考生反响不知从何入手.对条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中那么由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由.解得.解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故 由，解得.评析:从08年高考考纲中就明确提出要

7、加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练题型4：三角形中求值问题例7的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；当sin = ，即A=时, cosA+2cos取得最大值为。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。例8浙江文此题总分值14分在中，角所对的边分别为，

8、且满足，I求的面积； II假设，求的值解 又，而，所以，所以的面积为：由知，而，所以所以点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力题型5：三角形中的三角恒等变换问题例9在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求A，需找A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。解法一：a、b、c成等比数列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在ABC中，由余弦定理得：

9、cosA=，A=60。在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60，=sin60=。解法二：在ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB。b2=ac，A=60，bcsinA=b2sinB。=sinA=。评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。例10在ABC中，A、B、C成等差数列，求的值。解析：因为A、B、C成等差数列，又ABC180，所以AC120，从而60，故tan.由两角和的正切公式，得。所以。点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用根本公式，将未知角变换为角求解，同时结合三角变换公式的逆用。题型6：正、余弦定理判断

10、三角形形状例11在ABC中，假设2cosBsinAsinC，那么ABC的形状一定是 答案：C解析：2sinAcosBsinABsinAB又2sinAcosBsinC，sinAB0，AB点评：此题考查了三角形的根本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径例12四川卷文在中，为锐角，角所对的边分别为，且I求的值；II假设，求的值。解I为锐角， II由I知， 由得，即又 北2010ABC 题型7：正余弦定理的实际应用例13辽宁卷理如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点

11、和D点的仰角均为，AC=。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离计算结果精确到，1.414，2.449 解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握根本知识、概念，深刻理解其中根本的数量关系即可过关。2宁夏海南卷理本小题总分值12分为了测量两山顶M，N间的

12、距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内如示意图，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据用字母表示，并在图中标出；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤解：方案一：需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，N的俯角；A，B的距离 d 如下列图 . 第一步：计算AM . 由正弦定理；第二步：计算AN . 由正弦定理；第三步：计算MN. 由余弦定理 .方案二：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的俯角，；A，B的距离 d 如下列图. 第一步：计算BM . 由正弦定理；第二步：计算BN .

13、由正弦定理；第三步：计算MN . 由余弦定理21.四川卷文在中，为锐角，角所对的边分别为，且I求的值；II假设，求的值。解I为锐角， II由I知， 由得，即又 点评：三角函数有着广泛的应用，此题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？五【思维总结】1解斜三角形的常规思维方法是：1两角和一边如A、B、C，由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；2两边和夹角如a、b、c，应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；3两边和其中一边的对角如a、b、A，应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；4三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C。2三角形内切圆的半径：，特别地，；3三角学中的射影定理：在ABC 中，4两内角与其正弦值：在ABC 中，5解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解。