[经济学]第八章-多元函数微分学.ppt

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1、一、偏导数的定义及其计算法00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域D内内任任一一点点),(yx处处对对x的的偏偏导导数数都都存存在在，那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是x、y的的函函数数，它它就就称称为为函函数数),(yxfz 对对自自变变量量x的的偏偏导导数数， 记记作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(li

2、m),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 注意：注意：实际求实际求 的偏导数时，因为始终只的偏导数时，因为始终只有一个自变量在变动，另一个自变量可看作有一个自变量在变动，另一个自变量可看作常量，所以仍旧用一元函数的微分方法求解常量，所以仍旧用一元函数的微分方法求解.),(yxfz 求解求解xf 求导数求导数暂时看作常量而对暂时看作常量而对把把xyyf 求导数求导数暂时看作常量而对暂时看作常量而对把把yx例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz

3、,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立偏偏导导数数xu 是是一一个个整整体体记记号号，不不能能拆拆分分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例如例如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：.求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf

4、证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 二、偏导数的几何意义 及函数偏导数存在与函数连续的关系1 1几何意义几何意义图示图示,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 2.偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系例例如如,函函数数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定义义知知在在)0 , 0(处处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在

5、某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.三、高阶偏导数解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx解解,

6、cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？. 02222 yuxu证明证明),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 四、偏导数在经济分析

7、中的应用交叉弹性(cross elastic)在一元函数微分学中在一元函数微分学中,我们引出了边际我们引出了边际和弹性的概念和弹性的概念,来分别表示经济函数在来分别表示经济函数在一点的变化率和相对变化率一点的变化率和相对变化率,这些概念这些概念也可以推广到多元函数微分学中去也可以推广到多元函数微分学中去,并并被赋予了丰富的经济含义被赋予了丰富的经济含义.实例实例某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时,除除关心本品牌电视机的价格取向外关心本品牌电视机的价格取向外,更关心其他更关心其他品牌同类型电视机的价格情况品牌同类型电视机的价格情况,以决定自己的以决定自己的营

8、销策略营销策略.即该品牌电视机的销量即该品牌电视机的销量 是它的是它的价格价格 和其他品牌电视机价格和其他品牌电视机价格 的函数的函数.AQAPBP BAAPPfQ, APBP通过分析其边际通过分析其边际 及及 可知道可知道, 随随着着 及及 变化的规律变化的规律.AQAAPQ BBPQ AAAAPQPQ 进一步分析其弹性进一步分析其弹性,可知这种变化的灵敏度可知这种变化的灵敏度.BABAPQPQ 及及的的弹弹性性对对AAPQ的的弹弹性性对对BAPQ性性弹弹叉叉交交的的对对BAPQ亦称为亦称为解解:15 XYPQ2401015152120 YQ625. 02401015 YXXYXYQPPQE

9、则则时商品的交叉弹性，求当，商品的需求函数为某例15101521207YXXYYPPPPQ解：解：鸡鸡肉肉价价格格的的变变化化率率猪猪肉肉需需求求量量的的变变化化率率 XYE%25. 4%585. 0 鸡肉价格的变化率鸡肉价格的变化率化率化率所以，猪肉需求量的变所以，猪肉需求量的变XYE交叉弹性的经济意义交叉弹性的经济意义;为为替替代代品品与与交交叉叉弹弹性性大大于于零零，称称YX为为互互补补品品；与与交交叉叉弹弹性性小小于于零零，称称YX相相互互独独立立的的商商品品与与交交叉叉弹弹性性等等于于零零，称称YX经经济济意意义义的的相相关关性性，具具有有明明确确的的映映了了两两种种商商品品之之间间

10、不不同同交交叉叉弹弹性性的的值值，反反一般定义一般定义 的的相相对对改改变变量量函函数数对对存存在在处处偏偏导导数数在在设设函函数数xyxyxfz, yxfyxfyxxfzzx, 之之比比的的相相对对改改变变量量与与自自变变量量xxx xxzzx .,两两点点间间的的弹弹性性到到从从对对称称为为函函数数xxxxyxf 即即.lim0zxxzxxzzEExxxzx ,0时时当当 xxxzzx 记记作作的的弹弹性性处处对对在在的的极极限限称称为为,xyxyxf,xzxEE或或 .lim0zyyzyyzzEEyyyzy 的弹性的弹性处对处对在在类似地可定义类似地可定义yyxyxf, .,表表示示需需

11、求求对对收收入入的的弹弹性性需需求求对对价价格格的的弹弹性性，表表示示表表示示消消费费者者收收入入，则则表表示示价价格格，表表示示需需求求量量，中中特特别别地地，如如果果yxyxzyxfz 偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）五、小结偏导数在经济分析中的应用偏导数在经济分析中的应用作业作业 P318 2(1); 3(2); 4(3); 5(1); P326 1(4), (6); 5(1); 6思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.

12、,),(22yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续,但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不不存存在在.例如例如,练练 习习 题题八、八、X X 公司和公司和 Y Y 公司是机床行业的两个竞争者，这公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：两家公司的主要产品的需求曲线分别为： YYXXQPQP41600;51000 公司公司 X X、Y Y 现在的销售量分别是现在的销售量分别是 100100 个单位和个单位和250250 个单位。个单位。 (1)X(1)X 和和 Y Y 当前的价格弹性是多少？当前的价格弹性是多少？ (2)(2)假定假定 Y Y 降价后，使降价

13、后，使YQ增加到增加到 300300 个单位，同时个单位，同时导致导致 X X 的销售量的销售量XQ下降到下降到 7575 个单位，试问个单位，试问 X X 公公司产品的交叉价格弹性是多少？司产品的交叉价格弹性是多少？ (3)(3)假定假定 Y Y 公司目标是谋求销售收入极大，你认为公司目标是谋求销售收入极大，你认为它降价在经济上是否合理它降价在经济上是否合理？ 九九、假设市场由、假设市场由 A A、B B 两个人组成，他们对商品两个人组成，他们对商品 X X的需求函数分别为：的需求函数分别为： XBBBXAAYAPIKDPIKPD/;/ )( (1)(1)商品商品 X X 的市场需求函数；的

14、市场需求函数； (2)(2)计算对商品计算对商品 X X 的市场需求价格弹性；若的市场需求价格弹性；若 Y Y 是是另外一种商品，另外一种商品，YP是其价格，求商品是其价格，求商品 X X 对对 Y Y的需求交叉弹性。的需求交叉弹性。 (3)(3)设设BAII 、是是 A A 和和 B B 的收入，设在总收入不变的收入，设在总收入不变的情况下，通过收入的再分配使的情况下，通过收入的再分配使B B 的部分收的部分收入转移到入转移到 A A，会对商品，会对商品 X X 的需求产生什么影的需求产生什么影响？响？ 练习题答案练习题答案 略。略。，）略，（略，（九九利用弧交叉弹性公式利用弧交叉弹性公式八八)3( ,12)1.(; 7 . 0/)2(6 . 0 , 1 )1.(12121212BBAAYYYYYYXXXXYXIKIKPPPPPPQQQQE