2019数学新设计北师大选修2-3课件：第二章 概率 2.5 .ppt

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1、5离散型随机变量的均值与方差,一,二,一、离散型随机变量的均值(数学期望)设随机变量X的可能取值为a1,a2,ar,取ai的概率为pi(i=1,2,r),即X的分布列为P(X=ai)=pi(i=1,2,r).定义X的均值为a1P(X=a1)+a2P(X=a2)+arP(X=ar)=a1p1+a2p2+arpr,即随机变量X的取值ai乘上取值为ai的概率P(X=ai)再求和.X的均值也称作X的数学期望(简称期望),它是一个数,记为EX,即EX=a1p1+a2p2+arpr.均值EX刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征.,一,二,名师点拨随机变量的分布相同,则它们的均值一定相

2、同;有相同均值的两个分布未必相同;两个不同的分布也可以有相同的均值.从上面三个方面表明分布描述了随机现象的规律,从而也决定了随机变量的均值,而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征,并不能完全决定随机变量的性质.,一,二,一,二,二、离散型随机变量的方差一般地,设X是一个离散型随机变量,我们用E(X-EX)2来衡量X与EX的平均偏离程度,E(X-EX)2是(X-EX)2的期望,并称之为随机变量X的方差,记为DX.方差越小,则随机变量的取值就越集中在其均值周围;反之,方差越大,则随机变量的取值就越分散.,名师点拨1.DX与EX都是实数,由X的概率分布唯一确定.2.随机变量的方差反映

3、了随机变量X的取值的稳定与波动,集中与离散的程度.DX越小,稳定性越高,波动越小.显然DX0.,一,二,一,二,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)均值就是算术平均数,与概率无关.()(2)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.()(3)随机变量的方差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差越小,则偏离均值的平均程度越小.()(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.()答案(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大

4、学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是若某人获得两个“支持”,则给予10万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予5万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助,令表示该公司的资助总额.(1)写出的分布列;(2)求均值E.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析两位专家给三个方案做评审,则结果为支持的个数X可能为0,1,2,3,4,5,6.本题可视为进行6次独立重复试验,获得支持即为试验成功,则获得支持的个数X服从n=6,p=的二项分布.由题意知X=0对应=0,X=1对应=5,X=2对应=10,X=3对应=15,X=4对应=20,X=5对应=25,X=6对应=30.

5、,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求离散型随机变量的均值的步骤(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列(有时可以略);(4)由均值的定义求EX.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】袋中有20个大小、形状、质地相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,表示所取球的标号.求的分布列、均值和方差.分析先列出随机变量的分布列,然后根据方差的计算公式进行计算.,探究一,探究二,探究三,思维

6、辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求离散型随机变量的方差的一般步骤(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列(有时题中已给出,有时可以省略);(4)由均值的定义求EX;(5)由方差的定义求DX.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球(球的大小、形状、质地都相同)的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为1

7、0元,求:顾客所获的奖励额为60元的概率;顾客所获的奖励额的分布列及均值.(2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找均值为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和

8、的最大值,所以均值不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以均值也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟利用均值与方差解决实际问题的方法(1)对实际问题进行具体分析,将实际问题转化为数学问题,并将问题中的随机变量设出来.(2)依据随机变量取

9、每一个值时所表示的具体事件,求出其相应的概率.(3)依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差值.(4)依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3有甲、乙两种建筑材料,从中各取等量样品检查它们的抗拉强度,收集数据如下:其中X甲,X乙分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120,试比较甲、乙两种建筑材料的质量状况.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解EX甲=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125,EX乙=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2

10、=125,DX甲=(110-125)20.1+(120-125)20.2+(125-125)20.4+(130-125)20.1+(135-125)20.2=50,DX乙=(100-125)20.1+(115-125)20.2+(125-125)20.4+(130-125)20.1+(145-125)20.2=165.由此可见,EX甲=EX乙,DX甲DX乙,故两种材料的抗拉强度的均值相等,且甲比乙稳定,所以说甲材料的质量更好.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因没有明确随机变量X的取值意义而致误【典例】某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验;若试验失败,则再重新试验一次;若试验3次失败,则

11、放弃试验.若此人每次试验成功的概率均为,求此人试验次数X的均值.,易错分析求解均值,关键几步是求解当变量X取某些值时,所对应的概率,若此处求错,则整个问题就会出错.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得容易出错的主要原因是没有明确随机变量X的取值意义,X=1表示一次试验就成功,X=2表示第一次失败,第二次成功,因为试验最多进行3次,所以X=3表示前两次失败,第三次可能成功也可能失败,所以.因此,在求随机变量取各值的概率时,务必理解各取值的实际意义以免出错.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练下午第三节体育课进行篮球达标测试,规定:每位同学有5次投

12、篮机会,若投中3次,则达标;否则,不达标.为了节约时间,同时规定:若投篮不到5次就达标,则停止投篮;若前3次均未投中,不能达标,停止投篮;若前3次投中一次,而第4次未中,也不能达标,停止投篮.已知某同学投篮的命中率为,且每次投篮互不影响,设X为测试中这位同学投篮的次数,则EX=.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,1,2,3,4,5,1.已知某一随机变量X的分布列如下,且EX=6.3,则a的值为()解析由分布列性质知:0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.所以EX=40.5+a0.1+90.4=6.3.所以a=7.答案C,1,2,3,4,5,2.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下

13、表:请小牛同学计算的均值,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能肯定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E=()A.1B.4C.3D.2解析:设“?”处为x,“!”处为y,则由分布列的性质得2x+y=1,所以均值E=1P(=1)+2P(=2)+3P(=3)=4x+2y=2.答案D,1,2,3,4,5,答案:A,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的配方方案,需要对各种不同的搭配方式作比较.在试制某种牙膏新品种时,需要选用不同的添加剂.现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用.根据试验设计学原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.(1)写出X的分布列;(2)求X的均值EX.,