2019数学新设计北师大选修2-3课件：第一章 计数原理 1-2 .ppt

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1、第2课时概率,知识网络,要点梳理,超几何分布;二项分布;均值;方差;正态分布;3原则.,知识网络,要点梳理,1.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,则表称为离散型随机变量X的概率分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质:pi0(i=1,2,n);p1+p2+pn=1.,知识网络,要点梳理,知识网络,要点梳理,3.事件的相互独立性(1)对于事件A,B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A,B是相互独立事件.(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P

2、(B|A)P(A)=P(A)P(B).(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.,知识网络,要点梳理,4.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的.,知识网络,要点梳理,知识网络,要点梳理,知识网络,要点梳理,7.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aEX+b.(2)D(aX+b)=a2DX(a,b为常数).8.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布,则EX=p,DX=p(1-p).(2)若XB(n,p),

3、则EX=np,DX=np(1-p).,知识网络,要点梳理,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.()(2)若随机变量X的分布列由下表给出,则它服从两点分布.()(3)在离散型随机变量的概率分布列中,各个概率之和可以小于1.()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.()答案:(1)(2)(3)(4),专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一条件概率和相互独立事件的概率【例1】一个盒子装有4个产品,其中有3个一等品、1个二等品,从中取产品两次,每次任取一个,做

4、不放回抽样,设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A).解将产品编号1,2,3号为一等品,4号为二等品,以(i,j)表示第一次,第二次分别取到第i号、第j号产品,则试验的样本空间为:=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2),(4,3),A=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),AB=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,(1)分别求出

5、甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率;(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,2.解决概率问题要注意“三个步骤,一个结合”(1)求概率的步骤是:第一步,确定事件性质;第二步,判断事件的运算;第三步,运用公式.(2)概率问题常常与排列组合问题相结合.3.求解相互独立事件同时发生的概率时,要注意以下几个问题:(1)“P(AB)=P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件,也是解答相互独立事件

6、概率问题的唯一工具.(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题,务必分清事件间的相互关系.(3)公式常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,跟踪训练1在某次1500米体能测试中,甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为(1)3人都通过体能测试的概率;(2)恰有2人通过体能测试的概率;(3)恰有1人通过体能测试的概率.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题二离散型随机变量的分布列【例3】某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了n位校友(n8且nN+),其中女校友6

7、位,组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出2位校友代表,若选出的2位校友是一男一女,则称为“最佳组合”.(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于,求n的最大值;(2)当n=12时,设选出的2位校友代表中女校友人数为X,求X的分布列.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,反思感悟求离散型随机变量的分布列时,要解决以下两个问题:(1)求出X的所有取值,并明确其含义;(2)求出X取每一个值时的概率.求概率是难点,也是关键,一般要联系排列、组合知识,古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率等知识进行解决

8、.同时还应注意超几何分布、二项分布等特殊分布模型.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,跟踪训练2某一随机变量X的分布列为:则mn的最大值为()A.0.8B.0.2C.0.08D.0.6解析:由分布列的性质知m(0,1),2n(0,1),且0.1+m+2n+0.1=1,即m+2n=0.8.mn=(0.8-2n)n=0.8n-2n2=-2(n-0.2)2+0.08,所以当n=0.2时,mn的最大值为0.08.答案:C,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题三离散型随机变量的均值与方差【例4】一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各面分别刻有1,2,2

9、,3,3,3六个数字),(1)设随机变量表示一次掷得的点数和,求的分布列;(2)若连续投掷10次,设随机变量表示一次掷得的点数和大于5的次数,求E,D.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,反思感悟1.含义:均值和方差分别反映了随机变量的平均水平及其稳定性.2.应用范围:均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛,如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等.3.求解思路:应用时,先要将实际问题数学化,然后求出随机变量的概率分布列,同时要注意运用二项分布等特

10、殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,跟踪训练3某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛,需要从两名选手中选出一人参加.为此,设计了一个挑选方案:选手从6道备选题中一次性随机抽取3题.通过考查得知:6道备选题中选手甲有4道题能够答对,2道题答错;选手乙答对每题的概率都是,且各题答对与否互不影响.设选手甲、选手乙答对的题数分别为,.(1)写出的概率分布列(不要求计算过程),并求出E,E;(2)求D,D.请你根据得到的数据,建议该单位派哪个选手参加竞赛?,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,

11、专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题四正态分布【例5】某市去年高考考生成绩服从正态分布N(500,502),现有25000名考生,试确定考生成绩在550600分的人数.解考生成绩XN(500,502),=500,=50,反思感悟1.有关正态分布概率的计算应转化为三个特殊区间内取值的概率,因此要熟记三个特殊区间及相应概率.2.从正态曲线可以看出,曲线的形状由参数确定,越大,曲线越“矮胖”;越小,曲线越“高瘦”.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,跟踪训练4已知随机变量X服从正态分布N(,2),且P(-2X+2)=0.954,P(-X+

12、)=0.683,若=4,=1,则P(5X6)=()A.0.1358B.0.1355C.0.2716D.0.271,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,解析:由题意知XN(4,1),作出相应的正态曲线,如图,依题意P(2X6)=0.954,P(3X5)=0.683,即曲边梯形ABCD的面积为0.954,曲边梯形EFGH的面积为0.683,其中A,E,F,B的横坐标分别是2,3,5,6,由曲线关于直线x=4对称,可知曲边梯形FBCG的面积为答案:B,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,考点一条件概率与独立事件1.(2015课标高考)投篮测

13、试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.答案:A,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2017天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概

14、率.,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2015课标高考)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶

15、图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平

16、均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,考点二二项分布改编4.(2017课标高考)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则DX=.解析:由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布,即XB(100,0.02),其中p=0.02,n=100,则DX=np(1-p)=1000.020.98=1.96.答案:1.96,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,

17、5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2015广东高考)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若EX=30,DX=20,则p=.,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,考点三离散型随机变量的均值与方差6.(2016四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2017课标高考)某超市计划按月订购一种酸奶

18、,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,

19、Y的数学期望达到最大值?,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200n500.当300n500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(n-300)-4n=1200-2n;,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n0.4+(1200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.当

20、200n1.P(Y2)P(X1),故B错;对任意正数t,由题中图像知,P(Xt)P(Yt),故C正确,D错.答案:C,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2015山东高考)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案:B,

21、专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,13.(2017课标高考)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.,专题归纳,高考体验,1,2,

22、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.0026,故XB(16,0.0026).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.9974160.0408.X的数学期望为EX=160.0026=0.0416.(2)()如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,