（整理版）全国高中数学联赛试题.doc

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1、1988年全国高中数学联赛试题第一试(10月16日上午800930)一选择题(本大题共5小题，每题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多项选择均得0分)：1设有三个函数，第一个是y=(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( ) Ay=(x) By=(x) Cy=1(x) Dy=1(x) 2原点在椭圆k2x2+y24kx+2ky+k21=0的内部，那么参数k的取值范围是( ) A|k|1 B|k|1 C1k1 D0|k|1 3平面上有三个点集M，N，P： M=(x，y)| |x|+|y|1， N=(x，y)| +2， P=(

2、x，y)| |x+y|1，|x|1，|y|；a、b、c相交于一点那么 A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分 C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C都不对 5在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合那么表达式 MNP=I； N M P中，正确的表达式的个数是 A1 B2 C3 D4 二填空题(本大题共4小题，每题10分)：1设xy，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= 2(+2)2n+1的展开式中，x的整

3、数次幂的各项系数之和为 3在ABC中，A=，CD、BE分别是AB、AC上的高，那么= 4甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程的种数为 三(15分)长为，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积四(15分) 复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z00，另一个动点Z满足Z1Z=1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置五(15分)a、b为正实数，且+=1，试证：对每一个n

4、N*， (a+b)nanbn22n2n+11988年全国高中数学联赛二试题一数列an，其中a1=1，a2=2，an+2=试证：对一切nN*，an0二如图，在ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，ln，的直线族，它满足条件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，)并证明你的结论1988年全国高中数学联赛解答一试题一选择题(本大题共5小题，每题有一个正确答案，选对得7

5、分，选错、不选或多项选择均得0分)：1设有三个函数，第一个是y=(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( ) Ay=(x) By=(x) Cy=1(x) Dy=1(x) 解：第二个函数是y=1(x)第三个函数是x=1(y)，即y=(x)选B2原点在椭圆k2x2+y24kx+2ky+k21=0的内部，那么参数k的取值范围是( ) A|k|1 B|k|1 C1k1 D0|k|1 解：因是椭圆，故k0，以(0，0)代入方程，得k210，选D3平面上有三个点集M，N，P： M=(x，y)| |x|+|y|1， N=(x，y)| +2，

6、 P=(x，y)| |x+y|1，|x|1，|y|；a、b、c相交于一点那么 A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分 C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C都不对 解：a，b，c或平行，或交于一点但当abc时，=当它们交于一点时，证明：作ABC及PQR的高CN、RH设ABC的周长为1那么PQ=那么=，但AB，APABPQ，AC，从而三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，ln，的直线族，它满足条件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，)； knkn+

7、10，(n=1，2，3，)并证明你的结论证明：设an=bn0，即kn1=1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此时an+1不存在，故kn1现设kn0，1，那么y=kn(x1)+1，得bn=1kn，an=1， kn+1=kn此时knkn+1=kn21 kn1或kn1或k11时，由于0k2=k10，假设k21，那么又有k1k2k30，依此类推，知当km1时，有k1k2k3kmkm+10，且01，km+1=kmkm=km1km1k=k0，此时kk0即此时不存在这样的直线族 当k11时，同样有10，得k1k2=k10假设k21，又有k1k2k30，依此类推，知当km1时，有k1k2k3kmkm+11，km+1=kmkm=km1km1k1由于k1随m的增大而线性增大，故必存在一个m值，m=m0，使k11，从而必存在一个m值，m=m1(m1m0)，使k1，而1k=k0，此时kk0即此时不存在这样的直线族综上可知这样的直线族不存在