（整理版）三角函数与平面向量.doc

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1、三角函数与平面向量三角函数:内容：三角函数、三角恒等变换、解三角形【试题特点】加强对三角函数图象和性质的考查，重点转移到对根底知识和根本技能的考查热点是恒等变换与解三角形，特点是三角形中的三角函数问题要充分重视，解答题考查内容大致可以分为以下四类：利用三角变换和诱导公式，考查求值、化简问题； 转化为型函数，考查与其图像、性质如周期性、奇偶性、单调性、最值等有关问题；三角变换及解三角形；利用正余弦定理和相应的三角变换，考查三角形的边角关系及解三角形与实际应用问题；穿插考查函数概念和性质、向量运算等知识试题如下：利用三角变换和诱导公式，考查求值、化简问题； 1.08天津.求的值； 求的值.解：=x

2、BCAOy2如图，圆与轴的正半轴的交点为，点、在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为， 求圆的半径及点的坐标； 假设，求的值解：半径， 点C的坐标为； 由1可知， 3为锐角，且.求的值；求的值.解：.转化为型函数，考查与其图像、性质如周期性、奇偶性、单调性、最值等有关问题；1函数(其中),其局部图象如下图. (I)求的解析式; (II)求函数在区间上的 最大值及相应的值.解：I. II当时，取得最大值. 2函数的图象如下图.求的值；设，求函数的单调递增区间.解：， 函数的单调增区间为3函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数求和的值解：，又，得， 当时，在上是减函数；当时，在上是

3、减函数；当时，在上不是单调函数综上可知，或4设函数 求的最小正周期；当时，求函数的最大值和最小值解：， 当，即时，有最大值， 当，即时，有最小值 5函数的图象经过点 I求实数a、b的值； II假设，求函数的最大值及此时x的值.解：I II由I知：时，取得最大值12分6函数 I求函数的最小正周期及图象的对称轴方程；II设函数求的值域. 解：I函数图象的对称轴方程为 II取得最大值2，所以的值域为7.函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点1,2.I求 II计算解：I.II 3 三角变换及解三角形；利用正余弦定理和相应的三角变换，考查三角形的边角关系及解三角形与实际应用问题1在

4、中，角，所对的边分别为，且，.求的值；假设，求的面积.解：. 2文在中，角，所对的边分别为，且，.求，的值；假设，求，的值.解：.那么 . .， . 3在中，角所对的边分别为，满足，且的面积为求的值；假设，求的值解：. . 4在中，角，所对的边分别为，且，求的值；求的值；求的值解： . . . 5的三个内角，求当满足何值时取得最大值，并求出这个最大值解：，令，那么，原式可化为当，即，时，原式取得最大值6点是斜边上一点，且，记 1证明： 2假设，求的值 略解：1易知： 得证 2 7某海岛上一观察哨上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的处，12时20分测得船在海岛北偏西60的B处，12时40分船到

5、达位于海岛正西方且距海岛的港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？分析：此题可培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力和灵活运用正、余弦定理的能力解：轮船从点到点耗时80分钟，从点到点耗时20分钟，而船始终匀速行进，设，那么在中，由正弦定理即在中，由正弦定理即在中，由余弦定理轮船的速度为北2010ABC8如图，当甲船位于A处时得悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船. 求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；设乙船沿直线方向前往处救援，其方向与成角，求 (x)的值域.解：BC=10. ， sin =是锐角

6、，= 的值域为. 9. 如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离计算结果精确到，1.414，2.449 解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为。 穿插考查函数概念和性质、向量运算等知识1.在直角坐标系中，点和点，其中假设向量与垂

7、直，求的值解： 或2. ，1假设，求的值；2假设，且，求与的夹角解：1；2设与的夹角为，那么3. 设函数，其中向量，假设且，求；假设函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求实数、的值解：4 向量假设，求；，求的周期和最小值解：当时，函数有最小值5 在内，分别为角所对的边，成等差数列，且 .(I)求的值； (II)假设，求的值.解：III， . 平面向量平面向量概念较多，容易混淆，建议复习时从考查的重点内容向量概念、线性运算、数量积运算及其几何意义入手，不仅要强化对知识的准确掌握，还要从数形等多种角度去认识重点内容【试题特点】纵观近几年与平面向量有关的试题，可以发现：北京卷坚持在选择填空题中，考

8、查平面向量的根底知识、根本方法，难度不大，05-09年试题呈现出来的考查内容仅限于平面向量本身，10年那么是以逻辑为载体，试图将向量、函数和简易逻辑进行横向的结合，虽然有所创新，但是考察根底，难度不大的主线不变而以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、解三角形、解析几何知识相结合的综合性问题，在北京卷中尚未出现一利用平面向量知识解决一些以平面几何图形为背景的问题一方面平面向量的几何特性为解决这类问题提供的便利的条件，另一方面把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决1 在中，边上的中线，求的值解：以B为坐标原点，轴正向建

9、立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.二 . 关注以向量的线性运算、平面根本定理为背景的一类问题1.安徽卷理给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如下图，点C在以O为圆心的圆弧其中,求的最大值.法1设 ，即 当即时，x+y有最大值，其最大值为2法2建系略，设，那么，经整理得到，后略三 关注与模、数量积相关的一类问题1. ，1假设，求的值；2假设，且，求与的夹角解：1；22. 向量a(sin，1)，b(1，cos)，假设ab，求；求ab的最大值解： ab当sin()1时，|ab|取得最大值，即当时，|ab|最大值为1 3. 向量与互相垂直，其中1求和的值2假设，,求的值【解析】,(2)

10、又 , 4. 设向量 1假设与垂直，求的值； 2求的最大值; 3假设，求证：. 解：123由 5. ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .（1） 假设/，求证：ABC为等腰三角形； （2） 假设，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .证明：1即，其中R是三角形ABC外接圆半径， 为等腰三角形解2四. 对向量和其它知识的综合考查主要是依据平面向量的模、数量积、夹角等公式，通过数与形的转化，实现与其他知识的有机结合，同时考查综合应用知识的能力三角函数与向量的交汇，通过考查向量的概念与运算，来考查三角恒等变形和求值等问题 1.在直角坐标系中，点和点，其中假设向量与垂直，求

11、的值解： ，或2 在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切1求圆的方程；2圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围解：12 3两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点求的取值范围；如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积解： ，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，点的坐标为4. 在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的局部为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：点M的轨迹方程；的最小值。.解:点M的轨迹方程为: + =1 (x1,y2) ()| |2= x2+y2, y2= =4+ , | |2

12、= x21+54+5=9.且当x21= ,即x=1时,上式取等号. 故|的最小值为3.5. 抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且0过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为证明为定值；设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值解：()由条件，得F(0，1)，0设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 将式两边平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，抛物线方程为yx2，求导得yx所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx

13、12，yx2xx22解出两条切线的交点M的坐标为(，)(，1) 4分所以(，2)(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以为定值，其值为07分()由()知在ABM中，FMAB，因而S|AB|FM|FM|因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1的距离，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且当1时，S取得最小值46 点，动点满足条件.记动点的轨迹为.求的方程；假设是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.由|PM|PN|=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实 半轴长又半焦距 c=2，故虚半轴长所以 W 的方程为, 设 A，B 的坐标分别为, 当 ABx轴时,从而从而当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得故 所以 .又因为,所以,从而综上,当AB轴时, 取得最小值2.