高中数学一题多解和一题多变.doc

《高中数学一题多解和一题多变.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学一题多解和一题多变.doc（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高中数学一题多解和一题多变根据高考数学“源于课本，高于课本的，这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明：一题多解和一题多变一类型一：一题多解 例题： tan= ,求sin,cos的值分析：因为题中有sin、cos、tan，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：法一 根据同角三角函数关系式tan= = ，且sina2 + cos2 =1。两式联立，得出：cos2=,cos= 或者cos= - ；而sin=或者sin=- 。分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：法二 tan=：在第一、三象

2、限在第一象限时： cos2 = =cos= sin=而在第三象限时： cosa=- sina=- 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：法三 tan= = = = = sin=，cos= 或sin=-，cos=-分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sin、cos、tan，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：法四 当为锐角时，由于tana=,在直角ABC中，设=A,a=3x,b=4x，那么勾股定理，得，c=5xsinA= = ,cosA= = sin= ，cos= 或sin= -，cos= - 分析 ：用初中三角函数定

3、义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广： 法五 当为锐角时，如以下图所示，在圆中，设=AOT， 因为tan= ，那么T点坐标是T(1, ),由勾股定理得：OT= OMP0AT= ，OM=, MP =, p(, ), sin= ，cos= 或sin=-，cos= -分析： 圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法来解此题：解法六，如上图，易求出直线OT的方程和圆的方程y= x；x2+y2=1两式联立，得出： ， 或 .T点坐标是P(-, -) P(, )sin= ，cos= 或sin= -，cos= - 分析： 先考虑sin、cos两者之间的关系，容易想到

4、用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题： 解法七，tan= = 4sina-3cosa=0由三角函数辅助角公式得，5sina+= 0,其中，sin= , cos=a+=k ，kZsina=sink -=sin在第一、三象限容易求出sin= ，cos= 或sin=-，cos= - 分析： 仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍角公式是否能解决此问题： 解法八，由二倍角公式，得，tan= 3tan2 +8tan-3=0tan= -3,或tan= sin=2sincos=2sin= ，cos= 或sin= -，cos= -判别式 此外，我们还可以尝试从向量的角度思考这个问题，这里就不再赘述。下面展示此题的

5、变式与推广：类型二：一题多变且是第二象限角，求 解：是第二象限角，变1：，求 解：，所以是第一或第二象限角 假设是第一象限角，那么 假设是第二象限角，那么变2：求 解：由条件，所以 当 时，是第一或第二象限角 假设是第一象限角时 假设是第二象限角 当时不存在变3：，求 解：当时，不存在 当时， 当时第一、第四象限角时， 当是第二、第三象限角时， 练一小手：变式1： tan=-3，求sincos的值 变式2：tan=m，求sin，cos的值变式3 ：sin=m，求cos，tan的值 由上例可以看出，一题多解和一题多变可以使学生更积极参与到课堂中来,从而激发学生对数学学习的兴趣和信心。一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法,这有助于拓宽解题思路,提高学生分析问题的能力；一道数学题通过联想、类比、推广，可以得到一系列新的题目,甚至得到更一般的结论,这有助于学生应变能力的提高和发散思维的形成,增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。一题多解和一题多变犹如一座金桥，,能把学生从的此岸渡到未知的此岸。