2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第二章　空间向量与立体几何 2.6 .docx

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1、6距离的计算课后训练案巩固提升A组1.已知向量n=(1,0,-1)与直线l垂直,且l经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到l的距离为()A.32B.22C.2D.322解析:n=(1,0,-1)与直线l垂直,n的单位向量n0=22,0,-22.又l经过点A(2,3,1),AP=(2,0,1),AP在n上的投影APn0=(2,0,1)22,0,-22=22.点P到l的距离为22.答案:B2.已知平面的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面内,则点P(-2,1,4)到的距离为()A.10B.3C.83D.103解析:的一个法向量为n=(-2,-2,1),n0=-23,

2、-23,13.又点A(-1,3,0)在内,AP=(-1,-2,4),点P到平面的距离为|APn0|=(-1,-2,4)-23,-23,13=103.答案:D3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为()A.62aB.aC.2aD.2解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a).A1B=(0,a,-a),BC1=(-a,0,a).|A1B|=2a,|BC1|=2a.点A1到BC1的距离d=|A1B|2-A1BBC12a2=2a2-12a2=62a.答案:A4.导学号90074046如图,在棱长为1

3、的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN与平面ACD1间的距离是()A.12B.22C.13D.32解析:如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),D1(0,0,1),M1,1,12,N12,1,1,C(0,1,0).所以AD1=(-1,0,1),MN=-12,0,12.所以MN=12AD1.又直线AD1与MN不重合,所以MNAD1.又MN平面ACD1,所以MN平面ACD1.因为AD1=(-1,0,1),D1C=(0,1,-1),设平面ACD1的法向量n=(x,y,z),则nAD1=0,nD1C=0,所以-x+z=0,y-z=0.所以x=y=

4、z.令x=1,则n=(1,1,1).又因为AM=1,1,12-(1,0,0)=0,1,12,所以点M到平面ACD1的距离d=AMn|n|=323=32.故直线MN与平面ACD1间的距离为32.答案:D5.如图,在长方体ABCD-ABCD中,AB=2,BC=3,AA=4,则点B到直线AC的距离为.解析:AB=2,BC=3,AA=4,则B(2,0,0),C(2,3,0),A(0,0,4),CA=(0,0,4)-(2,3,0)=(-2,-3,4),CB=(2,0,0)-(2,3,0)=(0,-3,0),CB在CA上的投影为CBCA|CA|=(0,-3,0)(-2,-3,4)(-2)2+(-3)2+4

5、2=929=92929.点B到直线AC的距离d=|CB|2-CBCA|CA|2=32-9292=614529.答案:6145296. 如图,已知ABC是以B为直角的直角三角形,SA平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点,则点A到平面SND的距离为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则N(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0),NS=(0,-2,2),SD=(-1,4,-2).设平面SND的法向量为n=(x,y,1).nNS=0,nSD=0,-2y+2=0,-x+4y-2=0,x=2,y=1.n=(2,1,1).AS=(0,0,2),点A到平面

6、SND的距离为|nAS|n|=26=63.答案:637.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点.在侧面PAB内找一点N,使NE平面PAC,并分别求出点N到AB和AP的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系,则由题意有A(0,0,0),C(3,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E0,12,1.所以AC=(3,1,0),AP=(0,0,2).因为点N在侧面PAB内,故可设点N的坐标为(x,0,z),则NE=-x,12,1-z.由NE平面PAC,可得NEAP=0,NEAC=0,即-x,12,1-z(0,0,2)=

7、0,-x,12,1-z(3,1,0)=0.化简,得z-1=0,-3x+12=0.所以x=36,z=1,即点N的坐标为36,0,1,从而点N到AB和AP的距离分别为1,36.8.已知三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.求点C到平面AB1D的距离.解(方法一)如图,连接A1B,交AB1于点M,连接DM,则DM平面AA1B1B,所以A1BDM.又A1BAB1=(AB-AA1)(AB+AA1)=|AB|2-|AA1|2=0,A1BAB1.A1B平面AB1D.即A1B是平面AB1D的一个法向量.故点C到平面AB1D的距离d=|ACA1B|A1B|=|AC(A1A+

8、AB)|2a=|ACAB|2a=12a22a=24a.(方法二)如图,以B为原点,过点B与BC垂直的直线为x轴,BC所在的直线为y轴,BB1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A32a,a2,0,A132a,a2,a,B1(0,0,a),D0,a,a2,C(0,a,0).可知AB1=-32a,-a2,a,AC=-32a,a2,0,A1B=-32a,-a2,-a.取AB1的中点M,则M34a,a4,a2.DM=34a,-34a,0,DMA1B=34a-32a+-34a-a2+0(-a)=0.DMA1B.又A1BAB1=-32a,-a2,-a-32a,-a2,a=34a2+a

9、24-a2=0,A1BAB1.A1B平面AB1D.即A1B是平面AB1D的一个法向量,故点C到平面AB1D的距离d=|ACA1B|A1B|=-32a,a2,0-32a,-a2,-a2a=24a.B组1.已知ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若点P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AE,则点P到AB的距离为()A.56B.18112C.10306D.56解析: 建立如图所示的空间直角坐标系,则AP=34(1,0,0)+12(0,1,0)+23(0,0,1)=34,12,23.又AB=(1,0,0),AP在AB上的投影为APAB|AB|=34,点P到AB的距离为|AP|2-APA

10、B|AB|2AB=56.答案:A2.如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AEB是等腰直角三角形,其中AEB=90,则点D到平面ACE的距离为()A.33B.233C.3D.23解析: 取AB的中点O,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),从而AD=(0,0,2),AE=(1,1,0),AC=(0,2,2).设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则nAE=0,nAC=0,即x+y=0,2y+2z=0,令y=1,则x=-1,z=-1,n=(-1,1,-1)为平面ACE的一个法向量

11、.故点D到平面ACE的距离d=ADn|n|=-23=233.答案:B3.如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=23,则点A到平面MBC的距离为.解析:取CD的中点O,连接OB,OM,则OBCD,OMCD.又平面MCD平面BCD,则MO平面BCD.以O为原点,建立空间直角坐标系如图,由题意得OB=OM=3,AB=23,所以C(1,0,0),M(0,0,3),B(0,-3,0),A(0,-3,23).设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量,则BC=(1,3,0),BM=(0,3,3),由nBC=0,nBM=0,得x+3y=0,3y+3z=0.取n

12、=(3,-1,1).又BA=(0,0,23),则点A到平面MBC的距离d=|BAn|n|=235=2155.答案:21554.如图,正方体的棱长为1,E,F,M,N分别是所在棱的中点,则平面A1EF与平面B1NMD1间的距离为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,0),B1(1,1,0),E12,0,1,F1,12,1,D1(0,0,0),M0,12,1,N12,1,1.E,F,M,N分别是所在棱的中点,MNEF,A1EB1N.平面A1EF平面B1NMD1.平面A1EF与平面B1NMD1间的距离即为A1到平面B1NMD1的距离.设平面B1NMD1的法向量为n=(x,y,z),D

13、1B1=(1,1,0),B1N=-12,0,1,nD1B1=0,且nB1N=0.即(x,y,z)(1,1,0)=0,且(x,y,z)-12,0,1=0.x+y=0,且-12x+z=0,令x=2,则y=-2,z=1.n=(2,-2,1),n0=23,-23,13.A1B1=(0,1,0),A1到平面B1NMD1的距离为d=|A1B1n0|=(0,1,0)23,-23,13=23.答案:235.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C平面A1BD;(2)求点B1到平面A1BD的距离.(1)证明连接AB1交A1B于E,连接DE.DE

14、B1CDE平面A1BDB1C平面A1BDB1C平面A1BD.(2)解建立如图所示的坐标系,则B1(0,22,3),B(0,22,0),A1(-1,0,3),所以DB1=(0,22,3),DB=(0,22,0),DA1=(-1,0,3).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),所以nDB=0,nDA1=0,即22y=0,-x+3z=0,取n=(3,0,1).所以所求距离为d=|nDB1|n|=31010.6.导学号90074047如图,平面PAD平面ABCD,ABCD为正方形,PAD=90,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,PD的中点.问:线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ

15、的距离为45?若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由.解由题意知PA,AD,AB两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),D(0,2,0),E(0,0,1),F(0,1,1).假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件.令CQ=m(0m2),则DQ=2-m.点Q的坐标为(2-m,2,0),EQ=(2-m,2,-1).而EF=(0,1,0),设平面EFQ的法向量为n=(x,y,z),则nEF=0,nEQ=0,y=0,(2-m)x+2y-z=0,令x=1,则n=(1,0,2-m)是平面EFQ的一个法向量.又AE=(0,0,1),点A到平面EFQ的距离d=|AEn|n|=|2-m|1+(2-m)2=45,即(2-m)2=169,m=23或103,1032,不合题意,舍去.故存在点Q,且CQ=23时,点A到平面EFQ的距离为45.