2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：3.1.2.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一） .doc

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1、31.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)1.两角和的余弦公式cos()cos_cos_sin_sin_，简记为C()，使用的条件为，为任意角2两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S()sin()sin_cos_cos_sin_，R两角差的正弦S()sin()sin_cos_cos_sin_，R公式的记忆方法(1)理顺公式间的联系C()C()S()S()(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C()，C()，可记为“同名相乘，符号反”对于公式S()，S()，可记为“异名相乘，符号同”公式逆用：sincoscossinsin()，

2、sincoscossinsin()，coscossinsincos()，coscossinsincos()小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得sin()sin sin 成立()(3)对于任意的，R，sin()sin sin 都不成立()(4)sin 54cos 24sin 36sin 24sin 30.()答案：(1)(2)(3)(4)2sin 15cos 75cos 15sin 105等于()A0 B.C. D1解析：sin 15cos 75cos 15sin 105sin 15cos75co

3、s 15sin 75sin(1575)sin 901.答案：D3设，若sin ，则cos()A. B.C D解析：易得cos ，则cos.答案：B4计算sin_.解析：sinsinsin cos cos sin .答案：类型一给角求值例1求值：(1)cos 105；(2).【解析】(1)cos 105cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45.(2).(1)105 60 45 (2)找到31 、91 、29 之间的联系利用公式化简求值方法归纳解决给角求值问题的方法(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体

4、变形，否则进行各局部的变形(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式跟踪训练1(1)已知角的终边经过点(3,4)，则sin的值为()A.BC. D(2)sin 20cos 10cos 160sin 10()A. B.C D.解析：(1)因为角的终边经过点(3,4)，则sin ，cos ，所以sinsin cos cos sin .(2)原式sin 20 cos 10cos 20sin 10sin 30.答案：(1)C(2)D(1)由角的终边经过点(3,4)，可以求出sin，cos. (2)可先用诱导公式再逆用

5、两角和的正弦公式求解类型二给值求值例2已知，cos()，sin()，求cos 2与cos 2的值【解析】因为，所以0，.所以sin()，cos().所以cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin().1正确判断，的范围是求解前提2巧妙利用角的变换方法，是求解此类题目常用方法方法归纳给值(式)求值的策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”跟踪训练2本例条件

6、变为：，sin()，sin()，求sin 2的值解析：因为，所以0，.所以cos()，cos()，sin 2sin()()sin()cos()cos()sin()0.(1)由已知求出、的范围(2)2()()(3)利用公式求值类型三给值求角例3已知cos ，sin()，0，0，求角的值【解析】因为0，cos ，所以sin .又因为0，所以0.因为sin()sin ，所以cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin .又因为0，所以.(1)已知的范围及cos，求sin.(2)求的范围及sin()求cos()(3)利用coscos()，求值方法归纳解决给值(式)求角问题的方法

7、解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，)或(，2)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值跟踪训练3若把本例中的“0”改为“”，求角的值解析：因为0，cos ，所以sin .又因为，所以.因为sin()，所以cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin .又因为，所以.对比例题的范围更改则的范围更改，再由sin()求cos()最后利用sinsin()公式求值3.1.2基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1sin 105的值为()A. B.C. D.解析：sin

8、 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60.答案：D2sin 20cos 10cos 160sin 10()A B.C D.解析：原式sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010).答案：D3若cos ，是第三象限的角，则sin()A B.C D.解析：因为cos ，是第三象限的角，所以sin ，由两角和的正弦公式可得sinsin coscos sin.答案：A4在ABC中，若sin(BC)2sin Bcos C，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形解析：因为sin(BC)2sin Bcos C，所以sin Bc

9、os Ccos Bsin C2sin Bcos C，即sin Bcos Ccos Bsin C0，所以sin(BC)0，所以BC.所以ABC是等腰三角形答案：D5函数f(x)sin xcos的值域为()A2,2 B，C1,1 D.解析：因为f(x)sin xcossin xcos xcossin xsinsin xcos xsin xsin(xR)，所以f(x)的值域为，答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6已知cos，则cos _.解析：由于0，cos，所以sin.所以cos coscoscossinsin.答案：7已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.解析：si

10、n cos 1，cos sin 0，sin2cos22sin cos 1，cos2sin22cos sin 0，两式相加可得sin2cos2sin2cos22(sin cos cos sin )1，sin().答案：8已知sin()cos cos()sin ，是第三象限角，则sin_.解析：sin()cos cos()sin sin()cos cos()sin sin()sin ，即sin ，又是第三象限角，所以cos ，所以sinsin coscos sin.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9求下列各式的值(1)sin 347cos 148sin 77cos 58；(2)sinco

11、s.解析：(1)原式sin(36013)cos(18032)sin(9013)cos(9032)sin 13cos 32cos 13sin 32sin(1332)sin 45.(2)原式222sin2sin.10已知ABC，若sin(AB)，cos B，求cos A的值解析：cos B，B，AB0，所以cos A.又，所以C，所以C不符合题意，所以C.答案：A12已知cossin ，则sin的值是_解析：cossin cos cossin sinsin cos sin ，cos sin ，cos sin ，即sin.又sinsinsin.答案：13(1)已知sin sin ，cos cos ，为锐角，求cos()的值；(2)已知，cos()，sin()，求sin 2的值解析：(1)由sin sin ，知sin sin ，又，为锐角，0，0，sin().又sin()，cos().sin 2sin()()sin()cos()cos()sin().14已知sin，sin，其中，求角的值解析：因为，所以0.因为，所以.由已知可得cos，cos，则cos()coscoscossinsin.因为，所以.