2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第二章 第六节　对数与对数函数 .docx

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1、第六节对数与对数函数2019考纲考题考情1对数的概念(1)对数的定义如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0，且a1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质alogaNN(a0且a1，N0)。logaaNN(a0，且a1)。(2)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零，且不等于1，N0)。logab，推广logablogbclogcdlogad。(3)对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么l

2、oga(MN)logaMlogaN。logalogaMlogaN。logaMnnlogaM(nR)。logamMnlogaM(m，nR)。3对数函数的图象与性质4.yax与ylogax(a0，a1)的关系指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称。1指数与对数的等价关系：axNxlogaN。2换底公式的三个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab；(3)logablogbclogcdlogad。3对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。故0cd1abcBacbCcbaDcab解析因为0a1，

3、b1。所以cab。故选D。答案D二、走近高考3(2018全国卷)下列函数中，其图象与函数ylnx的图象关于直线x1对称的是()Ayln(1x)Byln(2x)Cyln(1x)Dyln(2x)解析ylnx图象上的点P(1,0)关于直线x1的对称点是它本身，则点P在ylnx图象关于直线x1对称的图象上，结合选项可知，B项正确。故选B。解析：设Q(x，y)是所求函数图象上任一点，则其关于直线x1的对称点P(2x，y)在函数ylnx图象上，所以yln(2x)。故选B。答案B4(2018全国卷)已知函数f(x) log2(x2a)，若f(3)1，则a_。解析根据题意有f(3)log2(9a)1，可得9a

4、2，所以a7。答案7三、走出误区微提醒：对数的运算性质不熟致误；对数函数的图象特征不熟致误；忽视对底数的讨论致误。5有下列结论：lg(lg10)0；lg(lne)0；若lgx1，则x10；若log22x，则x1；若logmnlog3m2，则n9。其中正确结论的序号是_。解析lg101，则lg(lg10)lg10；lg(lne)lg10；底的对数等于1，则x10；底的对数等于1；logmn，log3m，则2，即log3n2，故n9。答案6已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1Ba1,0c1C0a1D0a1,0c1解析由题图可知，

5、函数在定义域内为减函数，所以0a0，即logac0，所以0c0，a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1，则a_。解析分两种情况讨论：当a1时，有loga4loga21，解得a2；当0a2N0。由2loga(M2N)logaMlogaN，得loga(M2N)2loga(MN)，所以(M2N)2MN，所以M25MN4N20，即(M4N)(MN)0，所以M4N或MN(舍去)，所以4。(2)由2a5b10可得a，b，所以2(lg2lg5)2，所以2。答案(1)4(2)21对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论，在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形。2利用对

6、数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化，需注意真数大于0。 【变式训练】(1)求值：_。(2)设函数f(x)3x9x，则f(log32)_。解析(1)原式。答案(1)(2)6考点二 对数函数的图象及应用【例2】(1)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是() ABCD(2)设实数a，b，c分别满足2a3a2，blog2b1，clog5c1，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCcbaDacb解析(1)由于ya|x|的值域为y|y1，所以a1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称。

7、因此yloga|x|的图象应大致为选项B。(2)令f(x)2x3x2，则f(x)在R上单调递增，且f(0)f(1)2120，即a(0,1)。在同一坐标系中作出y，ylog2x，ylog5x的图象，由图象得1bba。故选C。答案(1)B(2)C1在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项。2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解。 【变式训练】(1)函数f(x)loga|x|1(0a0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x1。答案(1)A(2)(1，)考点三 对数函

8、数的性质及应用微点小专题方向1：比较对数值的大小【例3】(2018天津高考)已知alog3，b，clog，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCcbaDcab解析loglog3151log35，因为函数ylog3x为增函数，所以log35log3log331，因为函数yx为减函数，所以ab。故选D。答案D对数值的大小比较方法：化为同底的对数后利用函数的单调性比较；利用作差或作商法比较；利用中间值(0或1)比较；化为同真数的对数后利用图象比较。 方向2：解不等式【例4】(1)已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)log3x，则满足不等式f(x)0的x的取值范围是_。(2)设函数f(

9、x)若f(a)0的x的取值范围是(1，0)(1，)。答案(1)(1,0)(1，)(2)(，1)(0,1)解此类不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f”，变原函数不等式为对数不等式，再把对数不等式化为同底的对数不等式，再利用对数函数的单调性进行求解。 方向3：对数性质的综合应用【例5】已知函数f(x)log4(ax22x3)。(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。解(1)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，即a1，这时f(x)log4(x22x3)。由x22x30，得1x3，即函数f

10、(x)的定义域为(1,3)。令g(x)x22x3，则g(x)在(1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减。又ylog4x在(0，)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1,3)。(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有解得a。故存在实数a，使f(x)的最小值为0。利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的。 【题点对应练】1(方向1)设alog2

11、，be，cln，则()AcabBacbCabcDbac解析易知a0,0b1。故abc。故选C。答案C2(方向2)若loga1时，函数ylogax在(0，)上为增函数，所以logalogaa1总成立。当0a1时，函数ylogax在(0，)上是减函数，由logalogaa得a，所以0a。综上，实数a的取值范围是(1，)。答案(1，)3(方向3)已知函数f(x)log (x22x3)，规定区间E，对任意x1，x2E，当x1x2时，总有f(x1)0，得x3或x1，若x1时，当x增大时，x22x3减小，f(x)log (x22x3)增大，即(，1)为函数f(x)log (x22x3)的单调递增区间，而(

12、3，1)(，1)，所以(3，1)可作为E。故选D。答案D1(配合例2使用)函数ylncosx的大致图象是()解析在上，tcosx是减函数，则ylncosx是减函数，且函数值y0，故排除B，C；又因为ylncosx是偶函数，排除D。故选A。答案A2(配合例2使用)已知函数f(x)x2logmx在上恒有f(x)0成立，则实数m的取值范围为_。解析要使函数f(x)x2logmx在上恒有f(x)0成立，则有x2logmx在上恒成立，则有0m1。在同一坐标系中作出yx2和ylogmx的图象(如图所示)。因为当x时，yx2，所以只需ylogmlogmm，所以m，即m，又因为0m1，所以m1，所以实数m的取

13、值范围是m1。答案mbaBbcaCacbDabc解析因为a2 01701,0blog2 017log2 0172 0171，clog2 018bc。故选D。答案D4(配合例4使用)若loga(a21)loga2a0且a1，故必有a212a，又loga(a21)loga2a0，所以0a1，所以a。综上，a。故选C。答案C5(配合例4使用)已知函数f(x)ln(axb)(a0且a1)是R上的奇函数，则不等式f(x)alna的解集是()A(a，)B(，a)C当a1时，解集是(a，)，当0a1时，解集是(，a)，当0aalnaxlnaalna。当a1时，xa；当0a1时，xa。故选C。答案C6(配合例

14、5使用)已知为圆周率，e2.718 28为自然对数的底数，则()Ae3logeC3e2log3e解析对于A，因为函数yxe是(0，)上的增函数，且3，所以e3e，A项错误；对于B，log3e3logeln3ln333，B项正确；对于C,3e23e23e3log3eln0，则，的大小关系不可能是()A BC D【解析】解法一：取x2，则由log2xlog3ylog5z得y3，z5，此时易知，此时选项C正确；取x4，则由log2xlog3ylog5z得y9，z25，此时易知，此时选项A正确；取x，则由log2xlog3ylog5z得y，z，此时易知0，接下来对k与1的大小关系加以讨论。若k1，则1，1，1，所以，所以选项C有可能正确；若0k3k15k1，所以1，则根据函数f(t)tk1在(0，)上单调递增可得2k13k15k1，所以0，则单调递增；若0，则为常数函数；若0，则单调递减。 【变式训练】设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A3y2x5zB2x3y5zC3y5z2xD5z2x3y解析取z1，则由2x3y5得xlog25，ylog35，所以2xlog225log2325z,3ylog31253y。综上可得，3y2x5z。故选A。解析：设2x3y5zk，则xlog2k，ylog3k，z答案A