2016年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷3）理数.doc

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1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（课标全国卷3）理数一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合S=x|（x2）（x3）0，T=x|x0，则ST=（）A2，3B（，23，+）C3，+）D（0，23，+）2（5分）若z=1+2i，则=（）A1B1CiDi3（5分）已知向量=（，），=（，），则ABC=（）A30B45C60D1204（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15，B点表示四月的平均最低气温约为5，下面叙述不正确的是（）A

2、各月的平均最低气温都在0以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于20的月份有5个5（5分）若tan=，则cos2+2sin2=（）ABC1D6（5分）已知a=2，b=3，c=25，则（）AbacBabcCbcaDcab7（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A3B4C5D68（5分）在ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）ABCD9（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A18+36B54+18C90D8110（5分）在封闭的直三棱柱AB

3、CA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A4BC6D11（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（ab0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）ABCD12（5分）定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A18个B16个C14个D12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13（5分）（2

4、015新课标II）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为14（5分）函数y=sinxcosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到15（5分）已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ln（x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是16（5分）已知直线l：mx+y+3m=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）已知数列an的前n项和Sn=1+an，其中0（1）证明an是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=

5、，求18（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图注：年份代码17分别对应年份20082014（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，2.646参考公式：r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=19（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC

6、的中点（1）证明：MN平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值20（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点（）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；（）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程21（12分）设函数f（x）=acos2x+（a1）（cosx+1），其中a0，记|f（x）|的最大值为A（）求f（x）；（）求A；（）证明：|f（x）|2A请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，O中的中点为P，

7、弦PC，PD分别交AB于E，F两点（1）若PFB=2PCD，求PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OGCD选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（+）=2（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2xa|+a（1）当a=2时，求不等式f（x）6的解集；（2）设函数g（x）=|2x1|，当xR时，f（x）+g（x

8、）3，求a的取值范围2016年普通高等学校招生全国统一考试（课标全国卷3）理数参考答案与试题解析一、1D【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可【解答】解：由S中不等式解得：x2或x3，即S=（，23，+），T=（0，+），ST=（0，23，+），故选：D2C【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可【解答】解：z=1+2i，则=i故选：C3A【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cosABC的值，根据ABC的范围便可得出ABC的值【解答】解：，；又0ABC180；ABC=30故选A4 D【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推

9、理判断即可【解答】解：A由雷达图知各月的平均最低气温都在0以上，正确B七月的平均温差大约在10左右，一月的平均温差在5左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10，正确D平均最高气温高于20的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D5A【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2+sin2），再将“弦”化“切”即可得到答案【解答】解：tan=，cos2+2sin2=故选：A6A【分析】b=4=，c=25=，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案【解答】解：a=2=，b=3，c=25=，综上可得：bac，故选A7B【分析】模拟执行程序

10、，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s16，退出循环，输出n的值为4【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s16，退出循环，输出n的值为4故选：B8C【分析】作出图形，令DAC=，依题意，可求得cos=，sin=，利用两角和的余弦即可求得答案【解答】解：设ABC中

11、角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，ADBC于D，令DAC=，在ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，BD=AD=a，CD=a，在RtADC中，cos=，故sin=，cosA=cos（+）=coscossinsin=故选：C9B【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，进而得到答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，其底面面积为：36=18，前后侧面的面积为：362=36，左右侧面的面积为：32=18，故棱柱的表面积为：18+36+9=54+18故选：B10B【分析】根据已知可得直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为

12、，代入球的体积公式，可得答案【解答】解：ABBC，AB=6，BC=8，AC=10故三角形ABC的内切圆半径r=2，又由AA1=3，故直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B11A【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值【解答】解：由题意可设F（c，0），A（a，0），B（a，0），令x=c，代入椭圆方程可得y=b=，可得P（c，），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=c，可得M（c，k（ac），令x

13、=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e=故选：A12C【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1

14、，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1共14个故选：C二、13【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：14【分析】令f（x）=sinx+cosx=

15、2in（x+），则f（x）=2in（x+），依题意可得2in（x+）=2in（x），由=2k（kZ），可得答案【解答】解：y=f（x）=sinx+cosx=2in（x+），y=sinxcosx=2in（x），f（x）=2in（x+）（0），令2in（x+）=2in（x），则=2k（kZ），即=2k（kZ），当k=0时，正数min=，故答案为：152x+y+1=0【分析】由偶函数的定义，可得f（x）=f（x），即有x0时，f（x）=lnx3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（x）=f（x），当x0时，f（x）=ln（x）+3x，即有x0时

16、，f（x）=lnx3x，f（x）=3，可得f（1）=ln13=3，f（1）=13=2，则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程为y（3）=2（x1），即为2x+y+1=0故答案为：2x+y+1=0164【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30，再利用三角函数求出|CD|即可【解答】解：由题意，|AB|=2，圆心到直线的距离d=3，=3，m=直线l的倾斜角为30，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，|CD|=4故答案为：4三、17 【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可（2）根据条件建立方程关系进行求解就可【解答】解：（1

17、）Sn=1+an，0an0当n2时，an=SnSn1=1+an1an1=anan1，即（1）an=an1，0，an010即1，即=，（n2），an是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+a1=a1，即a1=，an=（）n1（2）若S5=，则若S5=1+（）4=，即（）5=1=，则=，得=118 【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：r=0

18、.996，0.9960.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）=0.103，=1.3310.10340.92，y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.109+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨19【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NGBC，且NG=，再由已知得AMBC，且AM=BC，得到NGAM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NMAG，由线面平行的判定得到MN平面PAB；法二、证明MN平面PAB，转化为证明平面NEM平面PAB，在PAC中，过N作NEAC

19、，垂足为E，连接ME，由已知PA底面ABCD，可得PANE，通过求解直角三角形得到MEAB，由面面平行的判定可得平面NEM平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CMAD，进一步得到平面PNM平面PAD，在平面PAD内，过A作AFPM，交PM于F，连接NF，则ANF为直线AN与平面PMN所成角然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，N为PC的中点，NGBC，且NG=，又AM=，BC=4，且ADBC，AMBC，且AM=BC，则NGAM，且NG=AM，四边形AMNG为平行四边形，则NMAG，AG平面PAB，NM平面P

20、AB，MN平面PAB；法二、在PAC中，过N作NEAC，垂足为E，连接ME，在ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cosACB=，ADBC，cos，则sinEAM=，在EAM中，AM=，AE=，由余弦定理得：EM=，cosAEM=，而在ABC中，cosBAC=，cosAEM=cosBAC，即AEM=BAC，ABEM，则EM平面PAB由PA底面ABCD，得PAAC，又NEAC，NEPA，则NE平面PABNEEM=E，平面NEM平面PAB，则MN平面PAB；（2）解：在AMC中，由AM=2，AC=3，cosMAC=，得CM2=AC2+AM22ACAMcosMAC=AM2+MC2=AC2，则

21、AMMC，PA底面ABCD，PA平面PAD，平面ABCD平面PAD，且平面ABCD平面PAD=AD，CM平面PAD，则平面PNM平面PAD在平面PAD内，过A作AFPM，交PM于F，连接NF，则ANF为直线AN与平面PMN所成角在RtPAC中，由N是PC的中点，得AN=，在RtPAM中，由PAAM=PMAF，得AF=，sin直线AN与平面PMN所成角的正弦值为20 【分析】（）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明PRA=PRF，即可证明ARFQ；（）利用PQF的面积是ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程【解答】（）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及

22、APBQ，得AFP+BFQ=180，PFQ=90，R是PQ的中点，RF=RP=RQ，PARFAR，PAR=FAR，PRA=FRA，BQF+BFQ=180QBF=PAF=2PAR，FQB=PAR，PRA=PRF，ARFQ（）设A（x1，y1），B（x2，y2）， F（，0），准线为 x=， SPQF=|PQ|=|y1y2|，设直线AB与x轴交点为N，SABF=|FN|y1y2|，PQF的面积是ABF的面积的两倍，2|FN|=1，xN=1，即N（1，0）设AB中点为M（x，y），由得=2（x1x2），又=，=，即y2=x1AB中点轨迹方程为y2=x121 【分析】（）根据复合函数的导数公式进行求解

23、即可求f（x）；（）讨论a的取值，利用分类讨论的数学，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f（x）|2A【解答】（I）解：f（x）=2asin2x（a1）sinx（II）当a1时，|f（x）|=|acos2x+（a1）（cosx+1）|a+2（a1）=3a2=f（0），因此A=3a2当0a1时，f（x）等价为f（x）=acos2x+（a1）（cosx+1）=2acos2x+（a1）cosx1，令g（t）=2at2+（a1）t1，则A是|g（t）|在1，1上的最大值，g（1）=a，g（1）=3a2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小

24、值为g（）=1=，令11，得a（舍）或a因此A=3a2g（1）=a，g（1）=3a+2，a3a+2，t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为3a+2综上可得：t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为3a+2A=3a+2当0a时，g（t）在（1，1）内无极值点，|g（1）|=a，|g（1）|=23a，|g（1）|g（1）|，A=23a，当a1时，由g（1）g（1）=2（1a）0，得g（1）g（1）g（），又|g（）g（1）|=0，A=|g（）|=，综上，A=（III）证明：由（I）可得：|f（x）|=|2asin2x（a1）sinx|2

25、a+|a1|，当0a时，|f（x）|1+a24a2（23a）=2A，当a1时，A=+1，|f（x）|1+a2A，当a1时，|f（x）|3a16a4=2A，综上：|f（x）|2A22【分析】（1）连接PA，PB，BC，设PEB=1，PCB=2，ABC=3，PBA=4，PAB=5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证【解答】（1）解：连接PB，BC，设PEB=1，PCB=2，ABC=3，PBA=4，PAB=5，由O中的中点为P，可得4=5，在EBC中

26、，1=2+3，又D=3+4，2=5，即有2=4，则D=1，则四点E，C，D，F共圆，可得EFD+PCD=180，由PFB=EFD=2PCD，即有3PCD=180，可得PCD=60；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OGCD23 【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=cos，y=sin，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线x+y4=0平行的直线方程为x+

27、y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2+sin2=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为sin（+）=2，即有（sin+cos）=2，由x=cos，y=sin，可得x+y4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y4=0；（2）由题意可得当直线x+y4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线x+y4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t23=0，由直线与椭圆相切，可得=36t216（3t

28、23）=0，解得t=2，显然t=2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|=，此时4x212x+9=0，解得x=，即为P（，）24 【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x2|+26，由此能求出不等式f（x）6的解集（2）由f（x）+g（x）=|2x1|+|2xa|+a3，得|x|+|x|，由此能求出a的取值范围【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x2|+2，f（x）6，|2x2|+26，|2x2|4，|x1|2，2x12，解得1x3，不等式f（x）6的解集为x|1x3（2）g（x）=|2x1|，f（x）+g（x）=|2x1|+|2xa|+a3，2|x|+2|x|+a3，|x|+|x|，当a3时，成立，当a3时，|a1|0，（a1）2（3a）2，解得2a3，a的取值范围是2，+）第18页（共18页）