一元二次方程解法——公式法.doc

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1、一元二次方程解法四公式法复习回顾：一、 利用开平方法解下列方程(1)4（x-3）2=25 (2) (3) 二、 利用配方法解下列方程(1) (2) (3) 三、利用因式分解法解下列方程(1) (2) (3)x2+4x-12=0 (4)9x2-24x+16=0 用合适的方法解下列一元二次方程。(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7) (8) (9) 新知探索适用范围：可解全部一元二次方程1、求根公式的推导问题：已知ax2+bx+c=0（a0），试推导它的两个根x1=，x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？) 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具

2、体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解：移项，得：ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+x=-配方，得：x2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=4a20，4a20, 当b2-4ac0时0 （x+）2=()2直接开平方，得：x+= 即x= x1=，x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，对公式的理解：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)

3、（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根2、一元二次方程根的判别式：=通过根的判别式=来判断一元二次方程有几个根(1)若b2-4ac0，则原方程无实数解(2)若b2-4ac0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式求解(3)若b2-4ac=0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式求解。例1.不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)； (2)； (3)（4）不解方程，判断关于x的方程根的情况。例2用公式法解下列方程（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 （4）4

4、x2-3x+2=0 （5）（x-2）（3x-5）=0例3某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出 你能解决这个问题吗？ 分析：能（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）0（2）要使它为一元一次方程，必须满足:或或 解：（1）存在根据题意，得：m2+1=2， m2=1 m=1 当m=1时，m+1=1+1=20 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） 当m=1时，方程为2x2-1-x=0， a=2，b

5、=-1，c=-1 b2-4ac=（-1）2-42（-1）=1+8=9 x= x1=，x2=- 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=- （2）存在根据题意，得：m2+1=1，m2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-10所以m=0满足题意 当m2+1=0，m不存在 当m+1=0，即m=-1时，m-2=-30 所以m=-1也满足题意 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程

6、的根为x=-例4、解关于x的方程例5、关于x的方程有两个实数根，则m为 ,只有一个根，则m为 。 例6、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？例7、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。一元二次方程解法小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公

7、式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：联系： 降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次 公式法是由配方法推导而得到 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程区别： 配方法要先配方，再开方求根 公式法直接利用公式求根 因式分解法要

8、使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0如何选择最简单的解法1看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）2看是否可以直接开方解3使用公式法求解4最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。 如果要参加竞赛，可按如下顺序：1.因式分解2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 5.配方法 6.开平方 7.求根公式 8.表示法一元二次方程解法四公式法2013-07-20 15008620708（李老师） 姓名： 1.公式法： 将方程化为一般式 写出a、b、c 求出， 若b2-4ac0，则原方

9、程无实数解 若b2-4ac0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式求解 若b2-4ac=0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式求解。2、一元二次方程根的判别式：=通过根的判别式=来判断一元二次方程有几个根（1）当 时，方程有两个不相等的实数根；（2）当 时，方程有两个相等的实数根；（3）当 时，方程没有实数根。课堂练习：1一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_ _，条件是_根的判别式为 。2下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A. B. C.D.3用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）Ax= Bx= Cx= Dx=4方程x2+4x+6=0的根是（ ）Ax1=，x2

10、= Bx1=6，x2= Cx1=2，x2= Dx1=x2=-5.利用公式法解下列方程(1) (2) (3)3x 222x240 (4)(5)2x（x3）=x3 (6) 6.利用公式法解方程：x2-2ax-b2+a2=07.已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .8.(2012山东德州中考,15,4,)若关于x的方程有实数解，那么实数a的取值范围是_9.（2012湖北襄阳，12，3分）如果关于x的一元二次方程kx2x10有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）AkBk且k0CkDk且k0课后练习：1.方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实数根，则有_ _ ，若有两个不相等的实数

11、根，则有_ _，若方程无解，则有_2.用公式法解方程x2 = -8x-15，其中b2-4ac= _，x1=_，x2=_3.不解方程，判断方程：x2+3x+7=0；x2+4=0；x2+x-1=0中，有实数根的方程有 个4.关于x的方程（m1）x22（m3）xm20有实数根，则m的取值范围为 。5.关于x的方程x2(mn)xmn0的解为_6.选用适当的方法解下列方程 (1) (2)x+ 2x + 3=0 (3)x+ 6x5=0 (4) -x-x+12 =0 (5) (6) (3x2)(x3)x14(7)x（x1）5x0. (8)(9)2（2x1）x（12x）=0 (10)(11) (12)x6x+9 =0 (13)（2x-1）2 +3（2x-1）+2=0 (14)(15) (16) 7.为何值时，方程组（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.