黄冈名师2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练五十二10.6椭圆理含解析新人教A版.doc

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1、核心素养提升练五十二椭圆(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.【解析】选D.由已知,以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,所以2b=,即a=3b,c=2b,所以椭圆的离心率e=.2.(2018张掖模拟)设A,B是椭圆C:+=1的左、右两个焦点,点P是椭圆C与圆M:x2+y2=10的一个交点,则|PA|-|PB|=()A.2B.4C.4D.6【解析】选C.由已知,A(-,0),B(,0),圆M:x2+y2=10恰好经过A,B两点,点P是椭圆C与圆M:x2+y2=10的一个交点,

2、得PAPB,所以所以2|PA|PB|=8,|PA|-|PB|2=32,|PA|-|PB|=4.【变式备选】(2018承德模拟)椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=()A.B.C.D.4【解析】选A.a2=4,b2=1,所以a=2,b=1,c=,不妨设P在x轴上方,则F1(-,0),设P(-,m)(m0),则+m2=1,解得m=,所以|PF1|=,根据椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-|PF1|=22-=.3.已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作一条直线(不与x轴垂直)与

3、椭圆交于A,B两点,如果ABF1恰好为以A为直角顶点的等腰直角三角形,该直线的斜率为()A.1B.2C.D.【解析】选C.不妨设|AF1|=m,则|AF2|=2a-m,|BF2|=|AB|-|AF2|=m-(2a-m)=2m-2a,于是|BF1|=2a-|BF2|=2a-(2m-2a)=4a-2m,又F1AB=90,所以|BF1|=m,所以4a-2m=m,a=m,因此|AF2|=2a-m=m,tanAF2F1=,直线AB斜率为-,由对称性,知还有一条直线斜率为.【变式备选】椭圆+=1上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|为()A.2B.4C.8D.【解析】选B.根据椭圆

4、定义得|MF2|=8,N为MF1的中点,则ON为MF1F2的中位线,所以|ON|=|MF2|=4.4.若椭圆+y2=1的两个焦点分别是F1,F2,点P是椭圆上任意一点,则的取值范围是()A.1,4B.1,3C.-2,1D.-1,1【解析】选C.椭圆+y2=1两个焦点分别是F1(-,0),F2(,0),设P(x,y),则=(-x,-y),=(-x,-y),=(-x)(-x)+y2=x2+y2-3.因为y2=1-,所以=x2-2,又-2x2,所以的取值范围是-2,1.5.(2018郑州模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的左顶点和上顶点分别为A,B,左、右焦点分别是F1,F2,在线段AB上有且只有一

5、个点P满足PF1PF2,则椭圆的离心率的平方为()A.B.C. D.【解析】选B.由直线AB的方程为+=1,整理得bx-ay+ab=0,由已知,直线AB与圆O:x2+y2=c2相切,得d=c,两边平方,整理得c4-3c2a2+a4=0,两边同时除以a4,又e2=,所以e4-3e2+1=0,解得e2=,又椭圆的离心率e(0,1),所以e2=,即椭圆的离心率的平方为.二、填空题(每小题5分,共15分)6.椭圆+4y2=1(a0)的焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则ABF2的周长为_.【解析】由题意可得:e2=1-=,所以a2=1,由椭圆的定义可得:题中三角形的周长

6、为4a=4.答案:47.(2018成都模拟)与椭圆+=1有相同离心率且经过点(2,-)的椭圆方程为_.【解析】因为e=,若焦点在x轴上,设所求椭圆方程为+=1(mn0),则1-=,从而=,=.又+=1,所以m2=8,n2=6.所以方程为+=1.若焦点在y轴上,设方程为+=1(hk0),则+=1,且=,解得h2=,k2=.故所求方程为+=1.答案:+=1或+=18.已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为_,最小值为_.【解析】椭圆方程化为+=1,设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0),所以|AF1|=,|PA|+|PF|

7、=|PA|-|PF1|+6,又-|AF1|PA|-|PF1|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立),所以|PA|+|PF|6+,|PA|+|PF|6-.答案:6+6-三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018遂宁模拟)设椭圆+=1(ab0)的离心率e=,左焦点为F,右顶点为A,过点F的直线交椭圆于E,H两点,若直线EH垂直于x轴时,有|EH|=.(1)求椭圆的方程.(2)设直线l:x=-1上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为,求直线AP的方程.【解析】(1)设F(-c,0)(c0),因为e=,所以a=2c,由|E

8、H|=得=,又a2=b2+c2,所以a2=1,b2=,所以椭圆的方程为x2+=1.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m0),与直线l的方程x=-1联立得点P-1,-,所以Q-1,.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=.由点B异于点A,得点B,.由Q-1,得直线BQ的方程为 -(x+1)-+1y-=0,令y=0,解得x=,所以D,0,所以|AD|=1-=,又因为APD的面积为,所以=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=,所以直线AP的方程为3x+y-3=0,或3x-y-3=0.10.(2019开封模拟)已知椭圆C

9、:+=1(ab0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程.(2)直线l平行于OM,且与椭圆C交于A,B两个不同的点.若AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.【解析】(1)依题意有解得故椭圆C的方程为+=1.(2)由直线l平行于OM,得直线l的斜率k=kOM=,又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=x+m.由得x2+2mx+2m2-4=0.因为直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点,所以=(2m)2-4(2m2-4)0,解得-2m2.设A(x1,y1),B(x2,y2).又AOB为钝角等价于0且m0,则=x1x2+y1y2=x1x2+=x1x2+(x1+x2)+

10、m20,将x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4代入上式,化简整理得m22,即-m,故m的取值范围是(-,0)(0,).【变式备选】(2018凉山模拟)若A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,且x1+x2=2.(1)若y1+y2=1,求线段AB的垂直平分线的方程.(2)求直线AB在y轴上截距的最小值.【解析】(1)设AB的中点为M,则M1,由得+(y1-y2)(y1+y2)=0,所以 (x1-x2)+(y1-y2)=0=-,即kAB=-,所以线段AB的垂直平分线的斜率为,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=(x-1),即9x-2y-8=0.(2)由题意知

11、AB斜率存在,设直线AB:y=kx+m.由得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,x1+x2=-=2,即9k2+9km+1=0,因为A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,所以k0,=(18km)2-4(1+9k2)(9m2-9)0,即9k2-m2+10,结合得m=(-k)+ ,当且仅当k=-时,取等号,此时,k=-,m=满足.所以直线AB在y轴上截距的最小值为.(20分钟40分)1.(5分)过椭圆+=1(ab0)的两个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆有四个交点,且这四个交点恰好为正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为()A.B.C. D.【解析】选B.因为

12、过椭圆的两个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆有四个交点,且这四个交点恰好为正方形的四个顶点,所以c=,即ac=a2-c2,所以e2+e-1=0,因为0eb0)的左焦点为F1,y轴上的点P在椭圆外,且线段PF1与椭圆E交于点M,若|OM|=|MF1|=|OP|,则椭圆E的离心率为()A.B.C.-1D.【解析】选C.如图所示,|OM|=|MF1|=|OP|,设MF1O=,不妨设|OP|=,则|OM|=|MF1|=1,在MOF1中由余弦定理可得cos =,所以sin =,tan =,因为tan =,则=,解得c=1,所以MOF1为等边三角形,M-,所以+=1,因为a2-b2=c2=1,由可得4a4-8

13、a2+1=0,解得a2=b0)的右焦点为F2(1,0),点H在椭圆上.(1)求椭圆的方程.(2)点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过点M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点,求证:PF2Q的周长是定值.【解析】(1)设椭圆的左焦点为F1,根据已知,椭圆的左、右焦点分别是F1(-1,0),F2(1,0),c=1,因为H在椭圆上,所以2a=|HF1|+|HF2|=+=6,所以a=3,b=2,故椭圆的方程是+=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则+=1,|PF2|=,因为0x13,所以|PF2|=3-x1,在圆中,M是切点,所以|PM|=x1,所以|PF2|+|PM|=3-x1+x1=3,同理:|QF2|+|QM|=3,所以|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6,因此PF2Q的周长是定值6.