黄冈名师2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练二十四4.7应用举例理含解析新人教A版.doc

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1、核心素养提升练二十四应 用 举 例(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图,测量员在水平线上点B处测量得一塔AD塔顶仰角为30,当他前进10 m到达点C处时,测得塔顶仰角为45,则塔高为()A.15 mB.10 mC.(5+5)mD.(5-5)m【解析】选C.设塔高为x m,因为在点B处测量得塔AD塔顶仰角为30,点C处测塔顶仰角为45,所以BD= x,CD=x.因为BC=10,所以 x-x=10,所以x=5(+1).2.甲船在岛的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向匀速航行,当甲、乙两船

2、相距最近时,它们所航行的时间是()A.小时 B.小时 C.小时 D.小时【解析】选A.假设经过x小时两船相距最近,甲乙分别行至C,D,如图所示:可知BC=10-4x,BD=6x,CBD=120,由余弦定理可得,CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD=(10-4x)2+36x2+2(10-4x)6x=28x2-20x+100,所以当x=时两船相距最近.3.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,此时测得点A的仰角为45.再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D,测得BDC=45,则塔AB的高是()A.10 mB.10 mC.10 mD.10 m【解析

3、】选B.设塔高为x米,根据题意可知在ABC中,ABC=90,ACB=45,AB=x,从而有BC=x,在BCD中,CD=10,BCD=90+15=105,BDC=45,CBD=30,由正弦定理可得=,可以求得BC=10=x,所以塔AB的高为10 m.4.已知A船在灯塔C的北偏东85方向且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C的西偏北25方向且B到C的距离为 km,则A,B两船的距离为()A. kmB. kmC.2 kmD.3 km【解析】选A.画出图形如图所示,由题意可得ACB=(90-25)+85=150,又AC=2,BC=.在ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 1

4、50=13,所以AB=,即A,B两船的距离为 km.5.如图,为了估测某塔的高度,在塔底D和A,B(与塔底D在同一水平面上)处进行测量,在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45,30,且A,B两点相距140 m ,由点D看A,B的张角为150,则塔的高度CD=()A.140 mB.20 mC.20 mD.140 m 【解析】选C.设CD=x m,在RtADC中,由CAD=45可得:AD=x m,同理可得:BD= x m,在ABD中,由余弦定理可得:AD2+BD2-2ADBDcos 150=AB2,即:x2+(x)2-2xxcos 150=1402,解得:x=20,即塔的高度CD=20 m.二、填

5、空题(每小题5分,共15分)6.一艘海轮从A出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A观察灯塔,其方向是东偏南20,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,则B,C两点间的距离是_海里.【解析】 如图,由已知可得,BAC=30,ABC=105,AB=20,从而ACB=45 .在ABC 中,由正弦定理,得BC=sin 30=10.答案:107.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为_km.【解析】因为

6、A,B,C,D四点共圆,圆内接四边形的对角和为.所以B+D=,所以由余弦定理可得AC2=52+32-253cos D=34-30cos D ,AC2=52+82-258cos B=89-80cos B,因为B+D=,即cos B=-cos D ,所以-=,解得AC=7.答案:78.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于_ m.【解析】如图,由图可知,DAB=15,因为tan 15=tan (45-30)=2-.在RtADB中,因为AD=60,所以DB=ADtan 15=60(2-)=120-60.在RtADC中,DAC=

7、60,AD=60,所以DC=ADtan 60=60.所以BC=DC-DB=60-(120-60)=120(-1)(m).所以河流的宽度BC等于120(-1)m.答案:120(-1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.渔政船在东海某海域巡航,已知该船正以15海里/时的速度向正北方向航行,该船在A点处时发现在北偏东30方向的海面上有一个小岛,继续航行20分钟到达B点,此时发现该小岛在北偏东60方向上,若该船向正北方向继续航行,船与小岛的最小距离为多少海里?【解析】根据题意画出相应的图形,如图所示,过C作CDAD于点D,由题意得:AB=15=5(海里)因为A=30,CBD=60,所以BCA=30

8、,则ABC为等腰三角形,所以BC=5.在BCD中,因为CBD=60,CDAD,BC=5,所以CD=,则该船向北继续航行,船与小岛的最小距离为7.5海里.10.如图所示,在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15,向山顶前进10米后到达点B,又从点B测得斜度为,建筑物的高CD为5米.(1)若=30,求AC的长.(2)若=45,求此山对于地平面的倾斜角的余弦值.【解析】(1)当=30时,ABC=150,ACB=BAC=15,所以BC=AB=10,由余弦定理得:AC2=102+102-21010cos 150=200+100,故AC=10=5+5.(2)当=45时,在AB

9、C中,由正弦定理得BC=20=5(-),在BCD中,sinBDC=-1,所以cos =cos=sinADC=-1.(20分钟40分)1.(5分)如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB=45,CAB=105后,就可以计算出A,B两点的距离为()A.50 mB.50 mC.25 mD. m【解析】选A.在ABC中,AC=50 m,ACB=45,CAB=105,则ABC=30,则由正弦定理=,得AB=50(m).2.(5分)如图,要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为

10、45,30.在水平面上测得BCD=120,C,D两地相距600 m,则铁塔AB的高度是()A.120 mB.480 mC.240 mD.600 m【解析】选D.设AB=x,则BC=x,BD= x,在BCD中,由余弦定理知cos 120=-,解得x=600 m,(x=-300舍去).故铁塔AB的高度为600 m.3.(5分)如图,勘探队员朝一座山行进,在前后A,B两处观察山顶C的仰角分别是30和45,两个观察点A,B之间的距离是100米,则此座山CD的高度为_米.【解析】设山高CD为x,在RtBCD中,有BD=CD=x,在RtACD中,有AC=2x,AD=x.而AB=AD-BD=(-1)x=10

11、0.解得:x=50+50(米).答案:(50+50)4.(12分)如图,某快递小哥从A地出发,沿小路ABBC以平均速度为20公里/小时送快件到C处,已知BD=10公里,DCB=45,CDB=30,ABD是等腰三角形,ABD=120.(1)试问,快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处?(2)快递小哥出发15分钟后,快递公司发现快件有重大问题,由于通讯不畅,公司只能派车沿大路ADDC追赶,若汽车的平均速度为60公里/小时,问,汽车能否先到达C处?【解析】(1)因为ABD是等腰三角形,所以AB=10公里,BCD中,由=,得BC=5(公里),6051.2150,所以快递小哥不能在50分钟内将快件送到C

12、处. (2)在ABD中,由AD2=102+102-21010=300,得AD=10公里,在BCD中,CBD=105,由=,得CD=5(1+)(公里), 60+15=20+1545.9851.21,所以汽车能先到达C处.5.(13分)如图,已知一艘船由A岛以v海里/小时的速度往北偏东10的B岛行驶,计划到达B岛后停留10分钟后继续以相同的速度驶往C岛.C岛在B岛的北偏西65的方向上,C岛在A岛的北偏西20的方向上.上午10时整,该船从A岛出发.上午10时20分,该船到达D处,此时测得C岛在北偏西35的方向上.如果一切正常,此船何时能到达C岛?(精确到1分钟)【解析】在ACD中, CAD=30,ADC=135,根据正弦定理得,=,即CD=AD.在BCD中,BCD=30,CBD=105,根据正弦定理得,=,即DB+BC=CD.所以DB+BC=AD,即DB+BC= AD=AD=(1+)AD,从而,此船行驶DB和BC共需20(1+)分钟.故由A岛出发到达C岛全程需要50+20分钟.即该船于11时18分到达岛.(说明:11时19分,也正确.)