2022年辅助角公式的推导 .pdf

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1、1 辅助角公式22sincossin()abab的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sincosab为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等. 为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法, 教师们总结出公式sincosab=22sin()ab或sincosab=22abcos(), 让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用. 但事与愿违 , 半个学期不到 , 大部分学生都忘了 , 教师不得不重推一遍. 到了高三一轮复习 , 再次忘记, 教师还得重推 ! 本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导, 体现一种解决问题的过程与方法 , 减轻学生的记忆负担 ; 同时

2、说明“辅助角”的范围和常见的取角方法 , 帮助学生澄清一些认识 ; 另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用, 优化解题过程与方法 ; 最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用, 让学生把握辅助角与原生角的范围关系 , 以更好地掌握和使用公式. 一. 教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1. 引例例 1求证：3sin+cos=2sin （+6）=2cos（-3）. 其证法是从右往左展开证明, 也可以从左往右“凑” , 使等式得到证明 , 并得出结论: 可见, 3sin+cos可以化为一个角的三角函数形式. 一般地 ,asin+bcos是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2. 辅助角

3、公式的推导例 2 化sincosab为一个角的一个三角函数的形式. 解: asin+bcos=22ab(22aabsin+22babcos), 令22aab=cos,22bab=sin, 则 asin+bcos=22ab(sincos+cossin) =22absin(+),( 其中 tan=ba) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2 令22aab=sin,22bab=cos, 则asin+bcos=22ab(sinsin+coscos)=22abcos(-),( 其中 tan=ab) 其中的大小可以由 sin、

4、cos的符号确定的象限 , 再由 tan的值求出. 或由 tan=ba和(a,b) 所在的象限来确定 . 推导之后 , 是配套的例题和大量的练习. 但是这种推导方法有两个问题: 一是为什么要令22aab=cos,22bab=sin?让学生费解 . 二是这种“规定”式的推导, 学生难记易忘、易错 ! 二. 让辅助角公式sincosab=22sin()ab来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春. 我又一次代 2008 级学生时 , 终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法 . 首先要说明，若 a=0或 b=0时，sincosab已经是一

5、个角的一个三角函数的形式，无需化简 . 故有 ab0. 1. 在平面直角坐标系中 , 以 a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b) 如图 1 所示,则总有一个角, 它的终边经过点P.设OP=r,r=22ab, 由三角函数的定义知sin=br=22bab, cos=22aarab. 所以 asin+bcos=22abcos sin+22absincos=22sin()ab.( 其中 tan=ba) r 图 1 O 的终边P(a,b) yx ?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 2. 若在平面直角坐标系中 , 以

6、b 为横坐标 , 以 a 为纵坐标可以描点P(b,a),如图 2 所示, 则总有一个角的终边经过点 P(b,a), 设 OP=r,则 r=22ab. 由三角函数的定义知 sin=ar=22aab, cos=br=22bab. asin+bcos=2222sincoscosab sinab =22s()ab co. ( 其中 tan=ab) 例 3 化3sincos为一个角的一个三角函数的形式. 解 : 在 坐 标 系 中 描 点P(3,1),设 角的 终 边 过 点P, 则OP =r=2231=2.sin=12,cos=32. 3sincos=2cossin+2sincos=2sin().ta

7、n=33. 26k, 3sincos=2sin(6). 经过多次的运用 , 同学们可以在教师的指导下, 总结出辅助角公式asin+bcos=22ab(22aabsin+22babcos)=22sin()ab,( 其中 tan=ba). 或者asin+bcos=22ab(22aabsin+22babcos)=22cos()ab,( 其中 tan=ab) 图 2 r O x y 的终边P(b,a) ?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 我 想 这 样 的 推 导 , 学 生 理 解 起 来 会 容 易 得 多 , 而

8、且 也 更 容 易 理 解asin+bcos凑成22ab(22aabsin+22babcos) 的道理 , 以及为什么只有两种形式的结果. 例 4 化sin3cos为一个角的一个三角函数的形式. 解 法 一 : 点 (1,-3) 在 第 四 象 限 .OP=2. 设 角过P 点 . 则3sin2,1cos2.满足条件的最小正角为53,52,.3kkZ13sin3cos2(sincos )2(sincoscossin)22552sin()2sin(2)2sin().33k解 法 二 : 点P(-3,1)在 第 二 象 限 ,OP=2, 设 角过P点 . 则1sin2,3cos2.满足条件的最小正

9、角为56,52,.6kkZ13sin3cos2(sincos )2(sinsincoscos )22552cos()2cos(2)2cos().66k三. 关于辅助角的范围问题由22sincossin()abab中, 点 P(a,b) 的位置可知 , 终边过点 P(a,b) 的角可能有四种情况 ( 第一象限、第二象限、第三象限、第四象限 ). 设满足条件的最小正角为1, 则12k. 由诱导公式 ( 一) 知22221sincossin()sin()ababab 其精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 中1(0,2 )

10、，1tanba，1的具体位置由1sin与1cos决定，1的大小由1tanba决定类似地，22sincoscos()abab，的终边过点（，） ，设满足条件的最小正角为2，则22.k由诱导公式有22222sincoscos()cos()ababab，其中2(0,2 )，2tanab，2的位置由2sin和2cos确定，2的大小由2tanab确定注意：一般地，12；以后没有特别说明时，角1（或2）是所求的辅助角四关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为221sincossin()aba

11、b的形式或222sincoscos()abab的形式 可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理例化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式（）3sincos；（）26sin()cos()6363解：（）313sincos2(sincos)222(sincoscossin)2sin()666精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 （）26sin()cos()63632 13sin()cos()323232sin()coscos()sin3333322sin()33在本例第（）小题中，3a，1b，我们并没有取点（3，）

12、，而取的是点 （3，） 也就是说， 当a、b中至少有一个是负值时 我们可以取（a，b） ，或者（b，a） 这样确定的角1（或2）是锐角，就更加方便例 6 已知向量(cos(),1)3axr,1(cos(),)32bxr, (sin(),0)3cxr, 求函数( )h x=2a bb cr rr r的最大值及相应的x的值. 解:21( )cos ()sin()cos()23233h xxxx =21cos(2)1233sin(2)2232xx =1212cos(2)sin(2)22323xx =22222cos(2)sin(2)222323xx =211cos(2)2212xmax2( )2.2

13、h x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 这时111122,.1224xkxkkZ. 此处, 若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁, 而且易错 , 请读者一试 . 五. 与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见, 而且涉及辅角的范围, 在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点. 例 7 如图 3, 记扇 OAB的中心角为45, 半径为 1, 矩形 PQMN 内接于这个扇形, 求矩形的对角线l的最小值 . 解 : 连 结OM,设 AOM=. 则MQ=sin,OQ=cos,OP=PN=sin. PQ=OQ-OP=cossin. 222lMQPQ =22sin(cossin) =31(sin 2cos2 )22 =135sin(2)22, 其中11tan2,1(0,)2,11arctan2. 04Q,111arctan2arctan.2222min3522l,min512l. 所以当11arctan422时, 矩形的对角线l的最小值为512. N B M A Q P O 图 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页