平面几何中添加辅助线例谈（丁国华正稿）.doc

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1、目录一、添加辅助线在几何论证、解答中重要的作用及作法1 （一）中点、中位线问题的辅助线作法2（二）在比例线段证明中，辅助线的作法3（三）对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法3（四）关于求阴影部分面积的几何题3（五）涉及角平分线的几何问题的辅助线作法51、作垂线段52、在角平分线两侧作全等三角形53、作圆周角，构造相似三角形64、作平行线，构造等腰三角形65、联想等腰三角形“三线重合”添加必要辅助线6二、学生添加辅助线困惑、误区分析6三、解决学生添加辅助线时出现错误的办法7（一）培养学生的逻辑思维能力7（二）培养学生的几何语言的表达能力8（三）正确熟练地掌握辅助线的作法和规律81从已知出发,弄清

2、题意,作出辅助线82分析结论，作出辅助线83“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线94找出辅助线的一般规律914平面几何中添加辅助线例谈2004年春数学与应用数学专业本科 丁国华摘要：数学在提高人的逻辑推理能力、抽象能力、想象能力和创造能力等方面有着独特作用，其中几何教学在培养学生逻辑思维品质和创新意识方面起着独特作用。同时解决几何问题的一个常用数学思想是转化，即：将复杂问题转化为简捷问题，将陌生的问题转化为熟知的问题，这种转化思想需要学生在探究活动中锻炼培养。在解决几何论证与计算等问题时，条件与结论往往没有直接联系，条件之间有时联系并不紧密，有的图形构造并不完整，添加辅助线是解决这类几

3、何问题的常用手段。然而什么图形需添加辅助线？在解决什么问题时必须添加？怎样添加合理？这里面有规律可寻。广大数学教师在此有一定研究，可是作为学生对此规律的掌握仍有困惑，有必要我们数学教师在此方面总结教学实践，归纳总结方法，授给学生这一必要的思维方法（授之以鱼，不如授之以“渔”），笔者根据近二十年的教学实践，结合有关教学专家的经验和同行们的认识，谈点体会。关键词：平面几何 添加辅助线AbstractMaths plays a unique role in improving students abilities in reasoning imagining creating an so on，an

4、d geometry works especialhy well. One of the ways to work out geometry problems is transforming that is , hanging complicated problems into simple ones ,changing unfamiliar ones into familiar ones . This way of transforming should be found and developed in practice .When it comes to solving problems

5、 of comduding and calculating ,it is usually the case that there is no direct relationship between the conditions and conclusions or that the geometric figure are not complete in that case , the usual method is to add aided lines . But when how and where shall we add aided lines ? there are some law

6、s in it . In this essay ,Ill try my best to throw light on how to add aided lines .Key words: plain geometry add aided lines平面几何是初中数学的一门重要课程，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习方体几何和其他学科的基础。但对不少初中学生来说，平面几何也是一门难度较大的学科。解数学题的一个基本思路是将复杂的问题转化为较为熟悉的或简捷的问题。不少平面几何问题都需要进行这种转化，在许多情况下，图形并不完整或直接条件不充分，成为解决几何问题的障碍。合理添

7、加辅助线就是实现这种转化的一种重要手段。一、添加辅助线在几何题论证解答中重要的作用及作法ABCDPO图2ABCbcDa图1要系统地掌握添加辅助线的方法并非易事。探讨添加辅助线的基本规律，以帮助初中学生掌握解决平面几何问题的基本方法，发展他们创新思维能力显得尢为重要。添加辅助线在几何论证解答几何题中有极其重要的作用。（1）弥补不足条件，沟通已知与未知的关系。例如图1，在锐角三角形ABC中，求证=。论证此题，应引导分析：条件提到“锐角三角形”，然而结论涉及“sinB,sinC”（根据直角三角形函数定义：sinB=,sin类同）。因而通过作BC边上的高，将B和C放到两个直角三角形中去思考，问题就迎刃

8、而解（题目选自初中平几教材第三册P44-4）；（2）转化结论，使新的结论与条件发生直接关系。例：如图2，已知弦AB和CD相交于O内一点P，求证PAPB=PCPD（初中平几第三册）。逆向思考：PAPB=PCPDPA：PC= PD：PB需要创设相似三角形连结AC，BD，利用圆周角性质解决；（3）利用辅助线构设基本图形，利用基本图形的属性解决复杂问题：例，求弓形面积问题，如图3、4、5。学生在初识弓形时，对春面积求法一筹莫展，但只要提醒学生弓形是圆的一部分，与圆面积、扇形面积有关，先将弓形补成圆，再用扇形面积和三角形面积将其转化即可；（4）利用辅助线将不规则图形转化为规则图形。对于刚刚接触几何的初中

9、学生来讲，常常会感到无从入手，思路不清。如何把复杂隐蔽的几何问题转化为简洁透明的问题加以解决，是几何证明面临的一个重要问题，而适当添加辅助线就是解决这个问题的一个好方法。下面就我个人的一些数学教学实践，浅谈一下常用辅助线的作法：（一）中点、中位线问题的辅助线作法 在几何题中，如果题目的条件或结论涉及到中点或中线问题，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 例1 已知如图6，ABC中，D是BC边的中点，E是AD边的中点，连结BE并延长交AC于点F。 求证：FC=2AF 。 分析：由已知，D是BC边的中点，E是AD边的中点，容易想到用中位线来解决问题。过点D做DGBF,则AF=FG

10、,FG=GC,所以2AF=FC 证明：过点D做DGBF，交AC于G D是BC边的中点,DGBF FG=GC 同理，AF=FG 2AF=2FG=FG+GC=FC 图6 即 FC=2AF 例2 已知如图，ABC中，AD是BC 边上的中线 求证：AD 证明：延长AD到E,使DE=AD ADC=BDE,BD=DC BDECDA BE=CA 在ABE中,AEAB+BE 图7 2ADAB+AC AD （二）、在比例线段证明中，辅助线的作法 根据平行线分线段成比例定理及推论，常常可以利用直线形中的平行线得出有关比例式，但有时图形中缺平行线，因而有时巧妙作出平行线能得出一组或几组与结论或条件有联系的比例式。

11、例3 如图，ABC中，D是AC上一点，F是CB延长线上一点，且AD=BF,DF交AB于E。求证：EF:ED=AC:BC . 图8分析：证明本题的基本思想是添加平行线，作平行线时可保留EF:ED这个比。 证法一：过点D作DMCF,交AB于点M,则 BF:MD=EF:ED AC:BC=AD:MD, AD=BF EF:ED=AC:BC 证法二：过点F作FGAC,交AB延长线于G,则 FG:AD=FE:DE,AC:BC=FG:FB 图9AD=BF EF:ED=AC:BC （三）、 对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法1、过上底的两端点向下底作垂线 例4. 如图3，在梯形ABCD中，AD/BC，AD3，

12、DC6，求梯形的面积S。图10解：过点A、D分别作，垂足分别为E、F在中，因为，所以所以，CF=在中，因为，所以AEBE，因为AD/BC，所以四边形AEFD为矩形，所以，所以，所以2、过上底的一个端点作一腰的平行线 例5. 如图2，已知梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，求证：图11证明：过点D作DE/AB，交BC于一点E，因为AB/DE，所以。又因为AD/BC，所以四边形ABED为平行四边形，所以ABDE，又因为ABDC，所以DEDC，所以，所以3、过上底的一个端点作一对角线的平行线例6. 如图1，已知在梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，求证：ABCD图12证明：过点D作DE/AC，交

13、BC的延长线于点E。因为DE/AC，所以。又因为AD/BC，所以四边形ACED为平行四边形，所以ACDE，又因为ACBD，所以BDDE，所以，所以在和中所以所以ABDC4作梯形的中位线例7. 如图5，已知梯形ABCD中，AD/BC，E为AB的中点，且，求证：证明：取CD中点M，连结EM，因为EM为梯形ABCD的中位线图13所以又因为，所以所以为，所以（四）、关于求阴影部分面积的几何题有些求阴影面积的几何题，条件比较隐蔽，用常规思路解答，常常无从下手。若能恰当地添加辅助线，利用“等底等高的三角形面积相等”的原理解题，就能化难为易，使问题迅速得到解决。图14例8. 如图1所示，三角形ABC的面积是

14、24平方厘米，BE=EF=FC，AD=DE，求阴影部分的面积。图15分析与解：如图所示，连结AF，将阴影部分分成ADF和AFC两部分。因为在ABC中，BE=EF=FC，所以ABEAEFAFC等底等高，因此SABE=SAEF=SAFC，又因为在AEF中，AD=DE，所以ADF与DEF是等底等高的两个三角形，所以它们的面积相等。即： SAD F=SAEF =SABC综上所述：S四边形ADFC=SAD+SADF=SABC+SABC= 24（+）=12（平方厘米）例9. 如图所示，长方形ABCD的面积是32平方厘米，且AE=ED，DF=FC，求阴影部分的面积。图17图16分析与解：如图所示，连结BD，

15、把长方形ABCD分成两个面积相等的三角形，即SABD =SBCD =长方形ABCD。因为AE=ED，所以可知ABE与EBD是等底等高的两个三角形，由此可得SABE=。因为，所以可知与是等底等高的两个三角形，由此可得SABE =SABD =S长方形ABCD，又因为AE=ED，所以可知在EFDBCF中，ED=AD=BC，DF=CF，所以。SEFC =SBCF =S长方形ABCD，综上可知： SBFE =S长方形ABCD- SABE -SBCF -SEFD= S长方形ABCD-S长方形ABCD-S长方形ABCD-S长方形ABCD= 32（1-）=12（平方厘米）（五）、涉及角平分线的几何问题的辅助线

16、作法角平分线问题在三角形、多边形及圆中都有广泛的应用本文仅就已知角平分线如何巧妙添加辅助线来解决问题1、作垂线段：过角平分线上的点向这个角两边作垂线段。例10 已知：ABC的角平分线BM、CN相交于P求证：点P到ABC三边AB、BC、CA的距离相等图18证明 作PDAB，PEBC，PFAC，垂足分别为D、E、FBM、CN是ABC的角平分线，PD=PE，PE=PFPD=PE=PF，即点P到ABC三边AB、BC、CA的距离相等2、在角平分线两侧作全等三角形。根据轴对称的性质，观察角平分线两侧部分，如果涉及到全等形问题，要细心观察其它条件，利用全等三角形判定定理选择辅助线作法。例11 如图，已知：A

17、=90，ADBC，P是AB的中点，PD平分ADC求证：CP平分DCB证明 作PEDC，垂足为E，3=4=A=90图19PD平分ADC，1=2，PA=PEP是AB的中点，PA=PB，PE=PB，点P在DCB的平分线上CP平分DCB例12 如图，已知：ABC中ABAC，AD是BAC的平分线，P是AD上一点求证：AB-ACPB-PC证明 在AB上截取AE=AC图20AD是BAC的平分线，1=2APEAPC，PE=PC在BPE中，BEPB-PE，AB-AEPB-PC，即AB-ACPB-PC3、作圆周角，构造相似三角形在圆中解决相似三角形问题，有时需要寻求相等的对应角，而圆周角定理及推论为我们提供了依据

18、，解题者要善于观察同弧（等弧）、同弦所对的圆周角，多数情况下，只要作出重要的弦就能解决问题。例13 如图，ABC内接于O，ABC角平分线AD交O于D，交BC于M，求证=证明 连接BD，则D=C又AD平分BAC，1=2，图21ABDAMC=4、作平行线，构造等腰三角形例14 如图，已知：AD是ABC的角平分线求证：=证明 过C作CEAD交BA延长线于E，2=3，1=E图221=2，3=E，AE=ACCEAD，= ， =5、联想等腰三角形“三线重合”添加必要辅助线学生熟悉等腰三角形“三线重合”定理后，在遇到与角平分线有关的轴对称图形（其它一部分）后，设法构建“三线重合”模型；当角平分线能成为等腰三

19、角形顶角平分线时，找垂直、找中点、想等腰等等。DABCE图23F例15 如图，已知：ABC中AD垂直于C的平分线于D，DEBC交AB于E求证：EA=EB证明 延长AD与BC交于F1=2，ADCDADCFDC，AD=FD又DEBC，EA=EB二、学生添加辅助线时常犯的错误及原因分析ABODCMF图24例16 初中数学总复习中有这样一道题：如图：已知：AB为O的直径，弦CDAB，M为上一点，AM的延长线交DC的延长线于F，求证：AMD=FMC（证明过程如下）证明：连结ADCDAB FMC=ADC从这道题我们可以看出：只要能够正确作出辅助线AD，问题就迎刃而解了。实际上，适当添加辅助线是解决几何证明

20、题的一个关键，并且也是平面几何教学中的一个重点和难点。但是由于诸多方面因素的影响，许多学生在完成几何作业或考试答卷中常常出现辅助线的作法和叙述上的错误。例17 如图，已知：O的半径为5cm，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm。求：AB和CD的距离。这道题的辅助线如图，可是ABCDMNO在作业中同学们却出现了如下种种叙述方法：1 作AB和CD的垂线段MN2 过O点作直线MN垂直AB和CD3 过O点作AB和CD的垂直平分线图254 作OMAB，并延长交CD于N5 连结AB、CD的中点MN，并使之通过O点6 连结MN，使MNAB，MNCD经过分析，这几种叙述方法都是错误的。而这种种错误，归纳起来

21、大致有以下2个原因：不会使用几何作图的规范用语；违反了几何作图的基本要求，利用基本尺规作图一次性作出，而不能将需证的结论强加于作法之中。那么，如何解决同学们在作辅助线时出现的问题呢？三、解决学生添加辅助线时出现错误的办法（一）培养学生的逻辑思维能力在教学过程中，教师应起主导作用，但教师的“主导”在一定程度上又表现为给学生“引导”，即表现为给学生“引路”，而不是代替或“背”着学生“走路”，也可以说教师是学生的“向导”。因此，在日常教学中，教师要改变“一讲到底”的教学方法，从过去的“重讲清、讲透，逐步转变为重学生动脑、动手、动口，以及全体参与”，使学生变被动为主动，着力发展学生分析问题和解决问题的

22、能力，并从中锻炼他们的逻辑思维能力。如，解决平面几何问题时，让学生细心揣摩条件之间的联系，条件与结论之间的联系，观察图形，若图形不完整，或推理解答或“桥梁”，启发他们思考是否需要辅助线这种“桥梁”作用。（二）培养学生的几何语言的表达能力从学生开始学习几何时就应引入和应用规范用语，突出几何语言，特别是在学习尺规作图时，更应突出作图规范用语的培养和训练，否则就会出现前文中出现的辅助线作法的叙述上的错误。下面介绍几种常用的辅助线的正确叙述方法：1.连结：连结AC、BD，交于O点2作平行线：过D点作DGAE，交BC于G（学生容易丢掉）ABDCOAAABBBCCCDDDEEFFG图26图27图28图29

23、FE3.作垂线：分别过A、D两点作AEBC，DFBC，垂足分别为E、F（学生容易丢掉）4延长：延长AC交O于F，连结DF(三)正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法：ABCDEFM1从已知出发,弄清题意,作出辅助线：例18已知：在ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=FC图30分析：题设中含有D是BC中点，E是AD中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法： （1）过D点作DNCA，交BF于N，可得N为BF中点，由中位线定理得DN=，再证AEFD

24、EN，则有AF=DN，进而有AF= （2）过D点作DMBF，交AC于M，可得FM=CM，FM=AF，则有AF=2分析结论，作出辅助线例19：如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径，求证：ABAC=AEADABDCE分析：要证ABAC=AEAD，需证图31（或），需证ABEADC（或ABDAEC），这就需要连结BE（或CE），形成所需要的三角形，同时得ABE=ADC=900(或ADB=ACE=900)又E=C（或B=E）因而得证。3“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线DAcB5EFMN例20：过ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E，求证：AEED=2AF

25、FB分析：已知D是BC中点，那么在三角形中可过中点作平行线得中位线；图32若要出现结论中的AEED，则应有一条与EF平行的直线。所以，过D点作DMEF交AB于M，可得，再证BF=2FM即可。4找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。比如在“圆”部分就有许多规律性辅助线：ABCDEO（1）有弦，作“垂直于弦的直径”图33例21：已知，如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC=BD分析：过O点作OEAB于E，则AE=BE，CE=DE，即可证得AC=BDABCDE12O（2）有直径，构成直径上的圆周角（直角）例22：已知：如图，以ABC的

26、AC边为直径，作O交BC、BA于D、E两点，且，求证：B=CABCDO123图34 分析：连结AD，由于AC为直径，则有ADBC，又，有1=2，由内角和定理得B=C（3）见切线，连半径，证垂直例23：如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分DAB图35分析：连结OC，由于CD为切线，可知OCCD，易证：1=2，又因为2=3，所以1=3，则可得AC平分DABABCO（4）证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”例24：已知，直线AB经过O上的一点，并且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是O的切线图36分析：连结OC，要证AB是O的切线，

27、需证OCAB，由已知可证OACOBC，ABCDOE可得OCA=OCB=900，结论得证。例25：已知，梯形ABCD中，ABCD，A=900，BC是O的直径，BC=CD+AB，求证：AD是O的切线分析：过O点作OEAD，垂足为E，图37要证AD是O的切线，只要证OE是OABCDO1O2MNT12的半径即可，也就是说需要证OE=，由于A=900，ABCD，可得ABCDOE，再由平行线等分线段定理得DE=EA，进而由梯形中位线定理得OE=，所以E点在O上，AD是O的切线。（5）两圆相切，作两圆的公切线例26：已知，O1、O2相切于点T，直线AB、CD经过点T，交O1于点A、C，交O2于点B、D，图3

28、8求证：ACBD分析：过T点作O1与O2的内公切线MN，ABCDPMN12则1=C，2=D，又1=2，则C=D，可得ACBD例27：如图，两圆内切于点P，AB、PA和PB是大圆的弦，而PA、PB分别交小圆于C、D两点，求证：ABCD图39分析：过P点作两圆的外分切线MN，GABCDEFOO则1=2，1=B，则2=B，可得ABCD（6）两圆相交，连结公共弦例28：已知，两圆相交于A、B两点，过B点的直线交O于C，交O于D，G为圆外一点，GC交O于E，GD交O于F，求证：GEA+GFA=1800图40分析：连结AB，有GEA=ABC，GFA=ABD，又ABC+ABD=1800，所以GEA+GFA=

29、1800 关于辅助线的添加，方法有很多,单凭本人的一些观点是不够的，主要还是应靠学生自己在学习中不断摸索、积累，以致形成经验。教师的作用就是把基本的规律、基本的方法、基本的经验教给学生，促进学生形成技能，得到提高。让学生掌握作辅助线的技能不仅是解决几何问题的需要，而且也是培养学生探究式学习习惯和创新性思维能力的有效途径，根据笔者的实践，培养此种技能应在三种教学阶段引起重视：（1）初识某类尺规作图或授新课时，启发学生自主探究，弄清为什么这样作，为什么这样叙述作法；（2）学期复习时将以前所学的辅助线作法有机归纳小结，形成正确的思维模式；（3）初三总复习时教师分门别类找一些需作辅助线的题目，让学生自

30、己总结规律。在上述三个阶段扎实有效进行，学生一定会形成较高的作辅助线技能。另外，还应注意添加辅助线时，往往不是一下子可以作出来的，应根据分析逐步完成。参考文献1苏步青 刘群 柳斌 中学百科全书（数学卷） 北京师范大学出版社 1994年第1版 P2032张奠宙中学教学全书（数学卷）上海教育出版社 1996年出版P174 3翟刚 黎亚贤 特级教师点晴丛书 大众文艺出版社1998年出版P236 4左宗明 蒋声 初中数学题典江苏科学技术出版社 1991年出版P3085王长明 怎样添加平面几何辅助线 中国教育出版社 2004年出版P96 6薛金星 初中平面几何添加辅助方法与技巧北京教育出版社 2005年

31、出版P123年7翟香清 几何题解答中如何添加辅助线8冯忠 梯形中有关辅助线的作法9王炜炘 怎样解决学生添加辅助线出现的错误中学理科月刊 广西师范大学杂志社 2002年第3期10石生民 如何解决阴影部分面积的几何题中学数学参考 陕西师范大学 2003年第6期后记本文在撰写过程中，得到了指导老师王文江老师及许多同事的热情支持和帮助，同时也提出了许多宝贵意见。尤其是指导老师王文江多次打电话从论文的选题、写作要求到写成初稿，给予了很多宝贵的意见和建议，初稿送上去后，王老师又细致地批改，图例按序都一一标出，可见其治学之严谨，实属大家之风范。在此，表示衷心的感谢！本人力求在理论和实践上反映教师教学与学生实际，但由于水平和时间有限，文中如有疏漏，恳请有关专家、同仁给予批评指正。