2022年近十年全国高中数学联赛试题一试 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载十年全国高中数学联赛试题一试解析几何圆锥曲线部分一、选择题2000、已知点A为双曲线x2y2=1 的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，ABC是等边三角形，则ABC的面积是【答】 （）(A) 33 (B) 233 (C) 33 (D) 63答案：C 。 解析：如图所示， 设 BD=t， 则 OD=3t-1 ， 从而 B （3t-1 ， t） 满足方程122yx，可以得到t=3, 所以等边三角形，ABC的面积是33. 2002直线x4+y3=1 与椭圆x216+y29=1 相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得 PAB面积等于 3这样的点P共有A1 个B2 个C3 个D4 个

2、解：直线与椭圆的交线长=5直线方程3x+4y12=0设点P(4cos ，3sin ) 点P与直线的距离d=12|cos +sin 1|5，当 02时，d125(21)，SABC6(21)3 即此时没有三角形面积=3；当22 时，d125(2+1) ，SABC6(2+1) 即此时有2 个三角形面积=3选B2003. 2设,0,a bR ab那么直线0axyb和曲线22bxayab的图形是【答】（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载题设方程可化为baxy和122byax, 观察图形可知；2003.3

3、 过抛物线282yx的焦点 F 作倾斜角为60的直线 . 若此直线与抛物线交于A， B两点，弦AB的中垂线与x轴交于 P点，则线段PF的长等于【答】 （）（A）163 (B)83 (C)1633 (D) 8 3易知直线 AB的方程为xy3, 因此 A,B 两点的横坐标满足方程016832xx,从而弦 AB中点的横坐标为340 x,纵坐标340y, 进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点 P的横坐标即 PF=316；2004、已知 M=32|),(22yxyx， N=bmxyyx|),(，若对于所有的Rm，均有,NM则b的取值范围是A26,26 B。 （26,26）C 。 （332,332） D

4、。332,332 答： 解 ：MN相 当 于 点 （ 0 ， b ） 在 椭 圆2223xy上 或 它 的 内 部22661,322bb。故选 A。2005. 方程13cos2cos3sin2sin22yx表示的曲线是A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线解：),23cos()22cos(,223220,32即. 3sin2sin又,03cos2cos,03cos,02cos,32,220方 程 表精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载示

5、的曲线是椭圆。)()4232sin(232sin22)3cos2(cos)3sin2(sin.0)(, 0)4232sin(.423243,432322, 0232sin,02322式即.3cos2cos3sin2sin曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选C。2007. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2， 且离心率分别是212rrc和|221rrc的圆锥曲线 （当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0 时，轨迹是两个同心圆）。当r

6、1=r2且r1+r22c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当 02c|r1-r2| 时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1r2且r1+r2）上任意两点P，Q，若OPOQ，则乘积OPOQ的最小值为 _三、解答题2000、已知C0:x2+y2=1 和C1:12222byax(ab0) 。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点 ,与C0外切 , 与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。答案：所求条件为21a+21b=1. 证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心. 假设论成立 , 则对点 ( a, 0 ), 有( a, 0 )为项点的菱形与C1内接 ,

7、与 Co外切 . ( a, 0 )的相对顶点为 ( - a, 0 ),由于菱形的对角线互相垂直平分, 另外两个顶点必在y 轴上 , 为(0, b) 和(0, -b) .菱形一条边的方程为ax+by=1, 即 bx+ay=ab. 由于菱形与CO外切 , 故必有22baab=1, 整理得21a+21b=1. 必要性得证 . 充分性 : 设21a+21b=1,P 是 C1上任意一点 , 过 P、O作 C1的弦 PR ，再过 O作与 PR垂直的弦 QS ，则 PQRS 为与 C1内接菱形 . 设 OP = r1, OQ =r2, 则点 O的坐标为 (r1cos, r1sin), 点 Q的坐标为 (r2

8、cos(+2),r2sin(+2), 代入椭圆方程, 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载221cosar+221sinbr=1, 222)2cos(ar+222)2sin(br=1, 于是 ,21OP+21OQ=222111RR=(2222sincosba)+22)2(cosa+22)2(sinb =21a+21b=1. 又在 Rt POQ 中，设点O到 PQ的距离为h，则h1=21OP+21OQ=1,故得 h=1 同理，点O到 QR ，RS ， SP的距离也为1，故菱形 PQRS 与 C0外

9、切 .充分性得证 . 注 对于给出2222baba，22baab=1 等条件者，应同样给分. 2002已知点A(0，2) 和抛物线y2=x4 上两点B，C，使得ABBC，求点C的纵坐标的取值范围解：设B(y024，y0) ，C(y124，y1) 则kAB=y02y204=1y0+2kBC=y1y0y21y20=1y1+y0由kABkBC=1，得 (y1+y0)(y0+2)=1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载y02+(y1+2)y0+(2y1+1)=0 =(y1+2)24(2y1+1)=y124

10、y10，y10，y1 4当y1=0 时，得B( 3， 1)，当y1=4 时，得B(5 ， 3) 均满足要求，故点C的纵坐标的取值范围是 ( ， 0 4 ，+) 2005. 过抛物线2xy上的一点A （1,1 ）作抛物线的切线，分别交x轴于 D，交y轴于 B.点 C在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1ECAE; 点 F 在线段BC 上，满足2FCBF，且121，线段 CD与 EF交于点 P.当点 C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程 . 解 一 ： 过 抛 物 线 上 点A 的 切 线 斜 率 为 ：,2|21xxy切 线AB 的 方 程 为DBxy、.12的坐标为DDB),0,21(),1

11、,0(是线段 AB的中点 . 5 分设),(yxP、),(200 xxC、),(11yxE、),(22yxF，则由1ECAE知，;11,11120111011xyxx,2FCBE得.11,1220222022xyxxEF所在直线方程为：,11111111111101202101120122021201xxxxxxxy化简得.1 3)()1 ()(202020122012xxxxyx 10 分当210 x时，直线CD的方程为：12202020 xxxxy联立、解得020133xxxy，消去0 x，得P 点轨迹方程为：.)13(312xy 15分精选学习资料 - - - - - - - - - 名

12、师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载当210 x时， EF方程为：CDxy,4123)34141(23212方程为：21x，联立解得.121,21yx也在 P点轨迹上 . 因 C与 A不能重合，.32, 10 xx所求轨迹方程为).32()13(312xxy20分解二：由解一知，AB的方程为),0,21(),1,0(, 12DBxy故 D是 AB的中点 . 5 分令,1,1,2211CFCBtCECAtCPCD则. 321tt因为 CD为ABC的中线，.22CBDCADCABSSS而,23,232)11(212212121212121ttttttt

13、tSSSSSSCBCACFCEttCBDCFPCADCEPCABCEFP是ABC的重心 . 10 分设),(),(200 xxCyxP因点 C异于 A，则, 10 x故重心 P的坐标为,3311),32( ,31310202000 xxyxxxx消去,0 x得.)13(312xy故所求轨迹方程为).32()13(312xxy20 分2006. 给定整数2n，设),(000yxM是抛物线12nxy与直线xy的一个交点 . 试证明对于任意正整数m，必存在整数2k，使),(00mmyx为抛物线12kxy与直线xy的一个交点 . 【证明】因为12nxy与xy的交点为20042nnxy. 显然有001x

14、nx。（ 5 分）若),(00mmyx为抛物线12kxy与直线xy的一个交点，则001mmkxx. （ 10 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载记001mmmkxx，则101101()mmmmmkkxknkkx，(2)m（13.1 ）由于1kn是整数，22220020011()22kxxnxx也是整数， 所以根据数学归纳法，通过 （13.1 ） 式可证明对于一切正整数m，001mmmkxx是正整数 . 现在对于任意正整数m，取001mmkxx，使得12kxy与xy的交点为),(00mmyx.

15、 （20 分）2008 如图， P 是抛物线22yx上的动点， 点B C,在y轴上，圆22(1)1xy内切于PBC，求PBC 面积的最小值 解 设00(,),(0, ),(0, )P xyBb Cc，不妨设bc直线 PB 的方程 :00ybybxx，化简得000()0yb xx yx b又圆心(1,0)到 PB 的距离为1，0022001()ybx bybx，5 分故22222000000()()2()ybxybx b ybx b，易知02x，上式化简得2000(2)20 xby bx，同理有2000(2)20 xcy cx 10分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

16、 - - - - - - -第 9 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载所以0022ybcx，002xbcx，则22200020448()(2)xyxbcx因00(,)P xy是抛物线上的点，有2002yx，则220204()(2)xbcx，0022xbcx15 分所以00000014()(2)4222PBCxSbcxxxxx2448当20(2)4x时，上式取等号，此时004,2 2xy因此PBCS的最小值为820 分2009. （本小题满分14 分）设直线l：ykxm=+（其中k，m为整数）与椭圆2211612xy+=交于不同两点A，B，与双曲线221412xy-=交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量0ACBD+=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页